Source Latex
sujet du devoir
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: trigonométrie, produit scalaire},
pdftitle={Devoir de mathématiques: trigonométrie, produit scalaire},
pdfkeywords={trigonométrie, produit scalaire, géométrie, STI2D,
STI, première, Mathématiques}
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgmp{10cm}
Une machine \`a commande num\'erique fabrique des pi\`eces, dont celle
sch\'ematis\'ee ci-contre.
Lors du per\c cage des trous $B$ et $C$, la pi\`ece est plac\'ee dans un
rep\`ere orthonormal.
\vspd
On donne $A(5;15)$, $B(-9;41)$ et $C(21;10)$.
\bigskip
\`A l'aide du produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$,
déterminer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au
dixi\`eme de degr\'e pr\`es.
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(5,5)
\psline{->}(-3,0)(5,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,5)
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
%
\pscircle(-1.5,4){0.6}
\psline[linestyle=dashed](-2.4,4)(-0.6,4)
\psline[linestyle=dashed](-1.5,3.1)(-1.5,4.9)
\rput(-1.75,4.25){$B$}
%
\pscircle(3,1.3){0.6}
\psline[linestyle=dashed](2.1,1.3)(3.9,1.3)
\psline[linestyle=dashed](3,0.4)(3,2.2)
\rput(3.25,1.55){$C$}
%
\psline[linestyle=dashed](0.5,1)(0.5,2.7)
\psline[linestyle=dashed](-0.4,1.8)(1.4,1.8)
\rput(0.75,2){$A$}
%
\pscurve[linewidth=1.6pt]%,showpoints=true]
(-3.2,4.)(-3,5.)(-1.5,5)
(-0.15,4)(-0.1,3.8)(-0.1,3)(-0.1,2.5)(-0.1,2.2)(0.2,1.8)
(1,1.5)(2,2)(3,2.2)(4.5,1)
(3,0.1)(2,0.)(0,0.)
(-0.5,0.1)(-1,0.5)(-1.5,1.5)
(-2,2.8)(-3,2.9)
(-3.2,4.)
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bgex
R\'esoudre dans l'intervalle $[0;2\pi[$ l'\'equation
$\cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$,
p\'eriodique de p\'eriode $T=2$, d\'efinie par
\[f(t)=\la\bgar{ll}
-t+1 & \text{ si } 0\leqslant t < 1 \\
t-1 & \text{ si } 1\leqslant t \leqslant 2
\enar\right.\]
Repr\'esenter graphiquement $f$ sur l'intervalle $[-4;4]$.
\enex
\bgex
La courbe ci-dessous est la repr\'esentation graphique d'une fonction
$f$ d\'efinie sur $\R$ par l'expression:
\[f(t)=a\sin(\omega t)\ .\]
\begin{pspicture}(-8,-2.5)(4,2.7)
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(-6.4,0)(6.6,0)\rput(6.7,-0.1){$t$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-2.4)(0,2.7)
\multido{\i=-6+1}{13}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,-2.2)(\i,2.2)
}
\multido{\i=-2+1}{5}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-6.2,\i)(6.2,\i)
}
\rput(-6.25,-0.3){-$\frac{3\pi}{4}$}
\rput(-3.8,-0.25){-$\frac{\pi}{2}$}
\rput(-2.15,-0.25){-$\frac{\pi}{4}$}
\rput(-0.15,-0.25){$0$}
\rput(1.85,-0.25){$\frac{\pi}{4}$}
\rput(4.15,-0.25){$\frac{\pi}{2}$}
\rput(5.85,-0.3){$\frac{3\pi}{4}$}
%
\rput(-0.15,1.1){$1$}
\rput(-0.15,2.1){$2$}
\rput(-0.15,-1.15){-$1$}
\rput(-0.15,-2.15){-$2$}
%
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.5pt]{-6.2}{6.2}
{x 180 mul 0.5 mul sin 2 mul}
\end{pspicture}
\bgen
\item D\'eterminer graphiquement la p\'eriode $T$ de la fonction $f$.
\item On rappelle que la pulsation $\omega$ est reli\'ee \`a la p\'eriode
par la formule $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$.
Donner la pulsation $\omega$.
\item D\'eterminer la constante $a$ \`a l'aide du graphique.
Donner alors l'expression de la fonction $f$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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