@ccueil Colles

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Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques et son corrigé: produit scalaire, vecteurs et géométrie
Niveau
Première STI2D
Mots clé
produit scalaire, vecteurs, géométrie, coordonnées, devoir corrigé de mathématiques, maths
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: produit scalaire},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: produit scalaire},
    pdfkeywords={produit scalaire, géométrie, vecteurs, géométrie, STI2D, 
      STI, première, Mathématiques}
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    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
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    urlcolor = red
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\oddsidemargin=-1.cm

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\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\vspace*{-2em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}


\bgex
Dans un rep\`ere orthonorm\'e $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
on consid\`ere les vecteurs 
$\vec{u}\lp 4;3\rp$, et $\vec{v}\lp -1;1\rp$. 

Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, 
puis d\'eterminer une mesure de l'angle $\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ \`a un
degr\'e pr\`es. 

\enex


\bgex
Soit trois points $A(-6;1)$, $B(6;6)$ et $C(18;11)$. 

\vsp
Ces trois points sont-ils align\'es ?

\enex


\bgex
Un artisan doit r\'ealiser une porte en bois comme l'indique la figure
indicative suivante. 

Pour consolider cette porte, il fixe deux barres m\'etalliques $OB$ et
$OD$. 
Ce syst\`eme de consolidation est efficace si l'angle $\alpha$ est
compris entre $35^\circ$ et $45^\circ$. 

\bgmp{11cm}
On donne $\widehat{AOE}=90^\circ$, 
$OA=2$\,m, 
$OE=3$\,m. 
 et les coordonn\'ees des points $B$ et $D$
sont 
$B(1;2,4)$ et $D(3;1,7)$. 

On note $\alpha$ l'angle $\widehat{BOD}$. 

\bgen
\item D\'eterminer les coordonn\'ees des vecteurs $\V{OB}$ et $\V{OD}$. 
\item Calculer les longueurs $OB$ et $OD$. 
  Arrondir les r\'esultats au centi\`eme. 
\item Calculer le produit scalaire $\V{OB}\cdot\V{OD}$. 
\item Calculer l'angle $\alpha$. Arrondir le r\'esultat au degr\'e. 
\item Conclure sur l'efficacit\'e de la consolidation envisag\'ee. 
\enen

\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
  \psline{->}(0,0)(4,0)\rput(4.2,-0.2){$x$}
  \psline{->}(0,0)(0,3)\rput(-0.2,3.2){$y$}
  \rput(-0.2,-0.2){$O$}
  \pscurve(0,2)(1,2.4)(3,1.7)%(3,0)
  \rput(-0.15,2){$A$}\rput(3,-0.15){$E$}
  \psline(3,1.7)(3,0)
  %
  \psline(0,0)(1,2.4)\rput(1,2.6){$B$}
  \psline(0,0)(3,1.7)\rput(3.15,1.85){$D$}
  \psarc(0,0){0.6}{30}{68}\rput(0.5,0.6){$\alpha$}
\end{pspicture}
\enmp

\enex


\bigskip

\hrulefill

\bigskip
\setcounter{nex}{0}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}


\bgex
Dans un rep\`ere orthonorm\'e $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
on consid\`ere les vecteurs 
$\vec{u}\lp 4;3\rp$, et $\vec{v}\lp -1;1\rp$. 

Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, 
puis d\'eterminer une mesure de l'angle $\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ \`a un
degr\'e pr\`es. 

\enex


\bgex
Soit trois points $A(-6;1)$, $B(6;6)$ et $C(18;11)$. 

\vsp
Ces trois points sont-ils align\'es ?

\enex


\bgex
Un artisan doit r\'ealiser une porte en bois comme l'indique la figure
indicative suivante. 

Pour consolider cette porte, il fixe deux barres m\'etalliques $OB$ et
$OD$. 
Ce syst\`eme de consolidation est efficace si l'angle $\alpha$ est
compris entre $35^\circ$ et $45^\circ$. 

\bgmp{11cm}
On donne $\widehat{AOE}=90^\circ$, 
$OA=2$\,m, 
$OE=3$\,m. 
 et les coordonn\'ees des points $B$ et $D$
sont 
$B(1;2,4)$ et $D(3;1,7)$. 

On note $\alpha$ l'angle $\widehat{BOD}$. 

\bgen
\item D\'eterminer les coordonn\'ees des vecteurs $\V{OB}$ et $\V{OD}$. 
\item Calculer les longueurs $OB$ et $OD$. 
  Arrondir les r\'esultats au centi\`eme. 
\item Calculer le produit scalaire $\V{OB}\cdot\V{OD}$. 
\item Calculer l'angle $\alpha$. Arrondir le r\'esultat au degr\'e. 
\item Conclure sur l'efficacit\'e de la consolidation envisag\'ee. 
\enen

\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
  \psline{->}(0,0)(4,0)\rput(4.2,-0.2){$x$}
  \psline{->}(0,0)(0,3)\rput(-0.2,3.2){$y$}
  \rput(-0.2,-0.2){$O$}
  \pscurve(0,2)(1,2.4)(3,1.7)%(3,0)
  \rput(-0.15,2){$A$}\rput(3,-0.15){$E$}
  \psline(3,1.7)(3,0)
  %
  \psline(0,0)(1,2.4)\rput(1,2.6){$B$}
  \psline(0,0)(3,1.7)\rput(3.15,1.85){$D$}
  \psarc(0,0){0.6}{30}{68}\rput(0.5,0.6){$\alpha$}
\end{pspicture}
\enmp

\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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