Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdftitle={Devoir de mathématiques: produit scalaire},
pdfkeywords={produit scalaire, géométrie, vecteurs, géométrie, STI2D,
STI, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-2em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Dans un rep\`ere orthonorm\'e $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on consid\`ere les vecteurs
$\vec{u}\lp 4;3\rp$, et $\vec{v}\lp -1;1\rp$.
Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$,
puis d\'eterminer une mesure de l'angle $\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ \`a un
degr\'e pr\`es.
\enex
\bgex
Soit trois points $A(-6;1)$, $B(6;6)$ et $C(18;11)$.
\vsp
Ces trois points sont-ils align\'es ?
\enex
\bgex
Un artisan doit r\'ealiser une porte en bois comme l'indique la figure
indicative suivante.
Pour consolider cette porte, il fixe deux barres m\'etalliques $OB$ et
$OD$.
Ce syst\`eme de consolidation est efficace si l'angle $\alpha$ est
compris entre $35^\circ$ et $45^\circ$.
\bgmp{11cm}
On donne $\widehat{AOE}=90^\circ$,
$OA=2$\,m,
$OE=3$\,m.
et les coordonn\'ees des points $B$ et $D$
sont
$B(1;2,4)$ et $D(3;1,7)$.
On note $\alpha$ l'angle $\widehat{BOD}$.
\bgen
\item D\'eterminer les coordonn\'ees des vecteurs $\V{OB}$ et $\V{OD}$.
\item Calculer les longueurs $OB$ et $OD$.
Arrondir les r\'esultats au centi\`eme.
\item Calculer le produit scalaire $\V{OB}\cdot\V{OD}$.
\item Calculer l'angle $\alpha$. Arrondir le r\'esultat au degr\'e.
\item Conclure sur l'efficacit\'e de la consolidation envisag\'ee.
\enen
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\psline{->}(0,0)(4,0)\rput(4.2,-0.2){$x$}
\psline{->}(0,0)(0,3)\rput(-0.2,3.2){$y$}
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
\pscurve(0,2)(1,2.4)(3,1.7)%(3,0)
\rput(-0.15,2){$A$}\rput(3,-0.15){$E$}
\psline(3,1.7)(3,0)
%
\psline(0,0)(1,2.4)\rput(1,2.6){$B$}
\psline(0,0)(3,1.7)\rput(3.15,1.85){$D$}
\psarc(0,0){0.6}{30}{68}\rput(0.5,0.6){$\alpha$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bigskip
\hrulefill
\bigskip
\setcounter{nex}{0}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Dans un rep\`ere orthonorm\'e $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on consid\`ere les vecteurs
$\vec{u}\lp 4;3\rp$, et $\vec{v}\lp -1;1\rp$.
Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$,
puis d\'eterminer une mesure de l'angle $\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ \`a un
degr\'e pr\`es.
\enex
\bgex
Soit trois points $A(-6;1)$, $B(6;6)$ et $C(18;11)$.
\vsp
Ces trois points sont-ils align\'es ?
\enex
\bgex
Un artisan doit r\'ealiser une porte en bois comme l'indique la figure
indicative suivante.
Pour consolider cette porte, il fixe deux barres m\'etalliques $OB$ et
$OD$.
Ce syst\`eme de consolidation est efficace si l'angle $\alpha$ est
compris entre $35^\circ$ et $45^\circ$.
\bgmp{11cm}
On donne $\widehat{AOE}=90^\circ$,
$OA=2$\,m,
$OE=3$\,m.
et les coordonn\'ees des points $B$ et $D$
sont
$B(1;2,4)$ et $D(3;1,7)$.
On note $\alpha$ l'angle $\widehat{BOD}$.
\bgen
\item D\'eterminer les coordonn\'ees des vecteurs $\V{OB}$ et $\V{OD}$.
\item Calculer les longueurs $OB$ et $OD$.
Arrondir les r\'esultats au centi\`eme.
\item Calculer le produit scalaire $\V{OB}\cdot\V{OD}$.
\item Calculer l'angle $\alpha$. Arrondir le r\'esultat au degr\'e.
\item Conclure sur l'efficacit\'e de la consolidation envisag\'ee.
\enen
\enmp
\bgmp{7cm}
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\psline{->}(0,0)(4,0)\rput(4.2,-0.2){$x$}
\psline{->}(0,0)(0,3)\rput(-0.2,3.2){$y$}
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
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\rput(-0.15,2){$A$}\rput(3,-0.15){$E$}
\psline(3,1.7)(3,0)
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\psline(0,0)(1,2.4)\rput(1,2.6){$B$}
\psline(0,0)(3,1.7)\rput(3.15,1.85){$D$}
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\label{LastPage}
\end{document}
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