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Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques et son corrigé: suites numériques
Niveau
Première STI2D
Mots clé
suite, suites numériques, suite récurrente, construction graphique, étude de fonction, devoir corrigé de mathématiques, maths
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\selectlanguage{francais}
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé de l'interrogation de mathématiques en 1STI2D: suites},
    pdftitle={Correction du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, suites}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}

\bgex
$f(x)=x^3-9x^2+15x+1$, 
donc 
$f'(x)=3x^2-18x+15$

Cette fonction dérivée est du second degré, de discriminant 
$\Delta=144>0$ et admet donc deux racines réelles distinctes 
$x_1=1$ et $x_2=5$. 

On obtient alors 
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$&$-\infty$&&$1$&&$5$&&$+\infty$\\\hline
$f'(x)$ &&$+$&\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$8$&&&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&$-24$&&\\
\hline\end{tabular}\]
\enex

\bgex
\bgen
\item $u_1=\dfrac12u_0+1=5$, 
  $u_2=\dfrac12u_1+1=\dfrac72$ 
  et $u_3=\dfrac12u_2+1=\dfrac{11}4$

\item 
  \bgen[a)]
  \item $v_0=u_0-2=6$, $v_1=u_1-2=5-2=3$ 
    et $v_2=u_2-2=\dfrac72-2=\dfrac32$. 
  \item $v_{n+1}=u_{n+1}-2=\lp\dfrac12u_n+1\rp-2=\dfrac12u_n-1$ 
    
    or $v_n=u_n-2\iff u_n=v_n+2$ 
    et donc, $v_{n+1}=\dfrac12\lp v_n+2\rp-1=\dfrac12v_n$
  \enen
\enen
\enex


\bgex
\bgen
\item $f$ est du second degré, donc on conna\^it directement son sens de variation (ou on calcule la dérivée $f'$, puis son signe \dots). 

Le minimum est atteint en $-b/(2a)=3$ et vaut $f(3)=0$. 
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
&&&&&\\
$x$ & $-\infty$ &&$3$&&$+\infty$\\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&0&&\\\hline
\end{tabular}\]
\item Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection, 
  alors $y=x=f(x)$ et donc 
  $f(x)=x\iff x^2-7x+9=0$. 

  Le discriminant de cette équation du second degré est 
  $\Delta=13>0$ et elle admet donc deux solutions: 
  $x_1=\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}\simeq1,7$ 
  et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}\simeq5,3$. 

  Ainsi, il y a deux points d'intersection: 
  $A\lp x_1;x_1\rp$ 
  et $B\lp x_2;x_2\rp$. 


\item \[\psset{unit=1.8cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-.2,-.5)(9,6)
 \psline{->}(-0.2,0)(8.2,0)
 \psline{->}(0,-0.2)(0,6)
 \psline(1,-0.1)(1,0.1)%
 \psline(-0.01,1)(0.01,1)%
 \rput(-0.1,1){1}%
 \rput(1,-0.1){1}%
 \rput(1.7,1.7){$\tm$}\rput(1.9,1.7){$A$}
 \rput(5.3,5.3){$\tm$}\rput(5.4,5.2){$B$}
 % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n)
 \newcommand{\f}[1]{#1 2 exp 6 #1 mul sub 9 add}
 % Et son tracer:
 \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{10}{\f{x}}
 % ainsi que le tracer de la droite y=x
 \psplot{-0.2}{10}{x}

 % Defintion de la fonction itérée:
 % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x)))
 \newcommand\fn[2]{%
  \ifnum#1=1
  \f{#2}%
  \else
  \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
  \fi
 }
 % Valeur initiale (u_0)
 \def\xinit{5}
 \def\nmax{4}

 % Initialisation pour u_0
 \psline[linestyle=dashed]
 (\xinit,0)
 (!\xinit\space\f{\xinit})
 (!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
 \rput(\xinit,-0.2){$u_0$}
 % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax
 \multido{\i=1+1}{\nmax}{
  \psline[linestyle=dashed]
  (!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.2){$u_\i$}
 }
\end{pspicture*}\]
\enen
\enex


\bgex
\bgen
\item On a $f=\dfrac{u}{v}$ 
  avec $u(x)=x+6$ donc $u'(x)=1$ 
  et $v(x)=2x+1$ donc $v'(x)=2$, et alors 
  $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ 
  soit 
  \[f'(x)=\dfrac{1\tm(2x+1)-(x+6)\tm2}{(2x+1)^2}
  =\dfrac{-11}{(2x+1)^2}\]
  Ainsi, on a le tableau de variation
  \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
  $x$ &0&&$+\infty$ \\\hline
  $-11$&&$-$& \\\hline
  $(2x+1)^2$ && $+$ &\\\hline
  $f'(x)$ && $+$ &\\\hline
  &&&\\
  $f$&&\Large{$\searrow$}&\\
  &&&\\\hline\end{tabular}\]

\item Soit $M(x;y)$ un point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$,   alors on a
  $y=x=f(x)$ et donc, 
  $f(x)=x$, soit 
  $\dfrac{x+6}{2x+1}=x$ ou encore, 
  en mulitpliant par $2x+1\not=0$ car $x\geqslant0$, 
  $2x^2=6$ d'où 
  $x=-\sqrt3$ ou $x=\sqrt3$. 
  
  Comme on est sur $[0;+\infty[$, il y a un seul point d'intersection 
      $A\lp\sqrt3;\sqrt3\rp$. 
  
\[\psset{unit=2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-.2,-.8)(6.2,7)
 \psline{->}(-0.2,0)(6,0)
 \psline{->}(0,-.8)(0,6.5)
 \psline(1,-0.1)(1,0.1)%
 \psline(-0.1,1)(0.1,1)%
 \rput(-0.2,1){1}%
 \rput(1,-0.2){1}%
 \rput(1.732,1.732){$\tm$}\rput(1.7,2){$A$}
 % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n)
 \newcommand{\f}[1]{#1 6 add 2 #1 mul 1 add div}
 % Et son tracer:
 \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{10}{\f{x}}
 % ainsi que le tracer de la droite y=x
 \psplot{-0.2}{10}{x}

 % Defintion de la fonction itérée:
 % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x)))
 \newcommand\fn[2]{%
  \ifnum#1=1
  \f{#2}%
  \else
  \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}%
  \fi
 }
 % Valeur initiale (u_0)
 \def\xinit{0.2}
 \def\nmax{5}

 % Initialisation pour u_0
 \psline[linestyle=dashed]
 (\xinit,0)
 (!\xinit\space\f{\xinit})
 (!\f{\xinit}\space\f{\xinit})
 \rput(\xinit,-0.15){$u_0$}
 % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax
 \multido{\i=1+1}{\nmax}{
  \psline[linestyle=dashed]
  (!\fn{\i}{\xinit} \space 0)
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})
  (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$}
  \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.05){$u_\i$}
 }
\end{pspicture*}\]


\enen
\enex




\label{LastPage}
\end{document}

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