Source Latex: Devoir de mathématiques en Première STI2D


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Type: Devoir
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Description
Devoir de mathématiques: produit scalaire, vecteurs et géométrie
Niveau
Première STI2D
Mots clé
produit scalaire, vecteurs, géométrie, coordonnées, devoir de mathématiques, maths
Voir aussi:

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Source Latex sujet du devoir

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\Ga}{\Gamma}

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\V}{\overrightarrow}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm


\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-2cm}

$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$STI\hspace{4cm} 
{\Large Devoir Surveill�}
%\hfill 1/10/2008
\vspace{1cm}

\bgex
On consid�re les nombres complexes $z_A=1+i\sqrt{3}$ et
$z_B=[4;-\frac{\pi}{6}]$. On note $A$ et $B$ les points d'affixe
respective $z_A$ et $z_B$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Ecrire $z_A$ sous forme trigonom�tique et $z_B$ sous forme
  alg�brique . 
\vsp
\item[b)] Placer dans un rep�re  orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$ les
  points $A$ et $B$. 

\vsp
\item[c)] En d�duire une mesure de l'angle $\lp\V{OB},\V{OA}\rp$. 
\vsp
\item[d)] Donner les coordonn�es des vecteurs $\V{OA}$ et $\V{OB}$. 
  En d�duire alors la valeur du produit scalaire $\V{OA} \cdot \V{OB}$. 

\enit
\enex

\vspq
\bgex
Le plan est rapport� � un rep�re $(O;\vec{u},\vec{v})$ (unit�
graphique 1cm). 

On consid�re dans $\C$ la transformation $f$ qui, � tout nombre
complexe $z$, fait correspondre le nombre : 

\[ f(z) = iz+2+i \,.
\]

\bgit
\item[a)] Calculer $f(i)$, $f(1)$ et $f(2+3i)$. 
\vsp
\item[b)] On pose $z=x+iy$. 
  Ecrire sous forme alg�brique $f(x+iy)$. 

  Quelle est la partie r�elle de $f(x+iy)$ ? 
  Quelle est la partie imaginaire de $f(x+iy)$ ? 
\vsp
\item[c)] D�terminer $x$ et $y$ pour que $f(z)=0$. 

  On appelle $A$ le point dont l'affixe est le nombre complexe ainsi
  d�termin�. 
  Placer $A$ dans le rep�re orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$. 
\vsp
\item[d)] Quelle condition doit-on avoir sur $x$ pour que $f(z)$ soit
  un nombre r�el ? 

  Repr�senter l'ensemble de tous les points $M$ du plan dont l'affixe
  $z$ v�rifie cette condition. 
\vsp
\enit
\enex

\vspd
\bgex
Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ et  $\vec{w}$ les vecteurs dont les
coordonn�es dans la rep�re orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ sont : 
\[ \vec{u}(2;1)  \ \ , \ 
\vec{v}(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{1+2\sqrt{3}}{4}) \ \ , \ 
\vec{w}(-\frac{6+\sqrt{3}}{4};\frac{-3+2\sqrt{3}}{4}) \ \ , \ 
\]

Calculer $||\vec{u}||$, $||\vec{v}||$, $||\vec{w}||$,
$\vec{u}\cdot\vec{v}$ et $\vec{v}\cdot\vec{w}$. 

En d�duire une mesure de l'angle $(\vec{u},\vec{v})$. 
\enex


\vspq
\bgex
On cherche � d�terminer la masse d'une plaque d'aluminium 
de forme triangulaire et de 5 mm d'�paisseur.

On note $A$, $B$ et $C$ les sommets du triangle, et $\widehat{A}$,
$\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ les angles associ�s. 

On conna�t: $AB=35$ cm, $AC=15$ cm, $\widehat{A}=52\,^\circ$, aisni
que la masse volumique de l'aluminium: $\rho=2,7\, g.cm^{-3}$.

\vspt
\bgit
\item[a)] D�terminer la longueur $BC$. 

\vsp
\item[b)] On appelle $H$ le sommet de la hauteur issue de $C$. 
  Exprimer $\sin \widehat{A}$ et en d�duire la longueur $HC$. 

\vsp
\item[c)] Cacluler alors l'aire du triangle ABC, et en d�duire le
  volume puis la masse de la plaque d'aluminium. 
\enit
\enex


\end{document}

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