Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\Ga}{\Gamma}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$STI\hspace{4cm}
{\Large Devoir Surveill�}
%\hfill 1/10/2008
\vspace{1cm}
\bgex
On consid�re les nombres complexes $z_A=1+i\sqrt{3}$ et
$z_B=[4;-\frac{\pi}{6}]$. On note $A$ et $B$ les points d'affixe
respective $z_A$ et $z_B$.
\vspd
\bgit
\item[a)] Ecrire $z_A$ sous forme trigonom�tique et $z_B$ sous forme
alg�brique .
\vsp
\item[b)] Placer dans un rep�re orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$ les
points $A$ et $B$.
\vsp
\item[c)] En d�duire une mesure de l'angle $\lp\V{OB},\V{OA}\rp$.
\vsp
\item[d)] Donner les coordonn�es des vecteurs $\V{OA}$ et $\V{OB}$.
En d�duire alors la valeur du produit scalaire $\V{OA} \cdot \V{OB}$.
\enit
\enex
\vspq
\bgex
Le plan est rapport� � un rep�re $(O;\vec{u},\vec{v})$ (unit�
graphique 1cm).
On consid�re dans $\C$ la transformation $f$ qui, � tout nombre
complexe $z$, fait correspondre le nombre :
\[ f(z) = iz+2+i \,.
\]
\bgit
\item[a)] Calculer $f(i)$, $f(1)$ et $f(2+3i)$.
\vsp
\item[b)] On pose $z=x+iy$.
Ecrire sous forme alg�brique $f(x+iy)$.
Quelle est la partie r�elle de $f(x+iy)$ ?
Quelle est la partie imaginaire de $f(x+iy)$ ?
\vsp
\item[c)] D�terminer $x$ et $y$ pour que $f(z)=0$.
On appelle $A$ le point dont l'affixe est le nombre complexe ainsi
d�termin�.
Placer $A$ dans le rep�re orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$.
\vsp
\item[d)] Quelle condition doit-on avoir sur $x$ pour que $f(z)$ soit
un nombre r�el ?
Repr�senter l'ensemble de tous les points $M$ du plan dont l'affixe
$z$ v�rifie cette condition.
\vsp
\enit
\enex
\vspd
\bgex
Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ les vecteurs dont les
coordonn�es dans la rep�re orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ sont :
\[ \vec{u}(2;1) \ \ , \
\vec{v}(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{1+2\sqrt{3}}{4}) \ \ , \
\vec{w}(-\frac{6+\sqrt{3}}{4};\frac{-3+2\sqrt{3}}{4}) \ \ , \
\]
Calculer $||\vec{u}||$, $||\vec{v}||$, $||\vec{w}||$,
$\vec{u}\cdot\vec{v}$ et $\vec{v}\cdot\vec{w}$.
En d�duire une mesure de l'angle $(\vec{u},\vec{v})$.
\enex
\vspq
\bgex
On cherche � d�terminer la masse d'une plaque d'aluminium
de forme triangulaire et de 5 mm d'�paisseur.
On note $A$, $B$ et $C$ les sommets du triangle, et $\widehat{A}$,
$\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ les angles associ�s.
On conna�t: $AB=35$ cm, $AC=15$ cm, $\widehat{A}=52\,^\circ$, aisni
que la masse volumique de l'aluminium: $\rho=2,7\, g.cm^{-3}$.
\vspt
\bgit
\item[a)] D�terminer la longueur $BC$.
\vsp
\item[b)] On appelle $H$ le sommet de la hauteur issue de $C$.
Exprimer $\sin \widehat{A}$ et en d�duire la longueur $HC$.
\vsp
\item[c)] Cacluler alors l'aire du triangle ABC, et en d�duire le
volume puis la masse de la plaque d'aluminium.
\enit
\enex
\end{document}
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