Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1cm}
%\ul{Nom:}
\hspace{5cm}
{\Large Devoir Surveill�}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$STI%3/10/2008
\vspace{0.8cm}
\bgex Soit la fonction $f$ d�finie par
$\dsp f(x)=x+2-\frac{4}{-x+3}$.
Dresser le tableau de variation de $f$.
\enex
\bgex Soit la fonction $g$ d�finie par
$\dsp g(x)=\frac{x-1}{x^2+3}$.
Dresser le tableau de variation de $g$.
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par
$\la\bgar{l} \dsp u_0=1 \\
\dsp u_{n+1}=\frac{u_n}{1+2u_n} \ ,\ \mbox{pour tout entier n. }
\enar\right.$
On admet que pour tout entier $n$, $\dsp u_n\not= -\frac{1}{2}$.
\vspd
\bgit
\item[1)] Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle �tre arithm�tique ? g�om�trique ?
\vspd
\item[2)] On suppose que pour tout entier $n$, $u_n$ est diff�rent de
0, et on pose $\dsp v_n=\frac{1}{u_n}$.
\bgit
\item[a)] Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
\vsp
\item[b)] Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, puis en
fonction de $u_n$.
\vsp
Exprimer alors $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, et montrer que la
suite $v_n$ est une suite arithm�tique dont on pr�cisera la raison
et le premier terme.
\vsp
\item[c)] En d�duire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis
de $u_n$ en fonction de $n$.
\vsp
Calculer $u_{50}$.
\enit
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] Soit $u_n$ la suite d�finie pour tout entier $n$ par
$u_n=2n-1$.
Montrer que $u_n$ est une suite arithm�tique dont on pr�cisera la
raison et le premier terme ({\it on pourra calculer la diff�rence
$u_{n+1}-u_n$})
Calculer alors, en fonction de $n$, la somme
$S_n=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n$.
\vspd
\item[b)] Soit $(v_n)$ la suite d�finie par $v_n=2^{u_n}$.
Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
\vsp
Exprimer en fonction de $n$, le produit
$P_n=v_0\tm v_1\tm v_2\tm \dots \tm v_n$.
\enit
\enex
\end{document}
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