Source Latex: Devoir de mathématiques en Première STI2D


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Type: Devoir
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Description
Devoir sur les polynômes et fractions rationnelles: racines, factorisation et signe. Problème menant à du second degré
Niveau
Première STI2D
Mots clé
second degré, polyomes, fraction rationnelle, 2nd degré, équation du second degré, inéquation du second degré, tableaux de signe, devoir corrigé de mathématiques, maths
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Source Latex sujet du devoir

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm


\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-2cm}

$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$STI\hspace{4cm} 
{\Large Devoir Surveill�}
%\hfill 1/10/2008
\vspace{1cm}


\bgex

On consid�re la fonction: $\dsp f(x)=\frac{-3}{x+3}+\frac{2}{x-2}$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Ecrire la fonction $f$ sous la forme d'une fraction rationnelle
  (quotient de deux polyn�mes).

\vspd
\item[b)] Etablir le tableau de signes de la fonction $f$, puis
  r�soudre l'in�quation $f(x)\leq 0$. 
\enit

\enex


\bgex
Soit \ $P(x)=3x^3-4x^2-27x+36$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Quel est le degr� du polyn�me $P$ ? Quel est le coefficient
  du terme de degr� 2 ? de degr� 1 ? 

\vspd
\item[b)] Calculer $P(3)$ et en d�duire une factorisation du polyn�me
  $P$. 

\vspd
\item[c)] D�terminer alors toutes les racines du polyn�me $P$. 
\enit

\enex

\vspace{0.5cm}
\bgex

\vspd
\bgit
\item[1)] D�terminer les solutions de l'�quation: \  $3x^3-7x^2-7x+3=0$
  (on pourra remarquer que $\alpha=-1$ est
  une racine du polyn�me). 

\vspd
\item[2)] On consid�re la fraction rationnelle 
  $\dsp f(x)=\frac{3x^3-7x^2-7x+3}{3x^2-x-2}$. 

  R�soudre l'in�quation $f(x)\geq 0$ 
\enit
\enex


\vspace{1.5cm}
\bgex

\vspq
  \bgmp{9.5cm}
  $ABCD$ est un rectangle de c�t�s $AB=24$ cm et $AD=7$ cm. 
  $E$ est un point de $[AB]$ et $G$ un point de $[AD]$ tels que
  $EB=GD=x$ cm. 

  \vsp
  $F$ est le point tel que $AEFG$ soit un rectangle. 
  \enmp
  \hspace{1cm}
  \bgmp{5cm}
  
  \vspace{-2cm}
  \setlength{\unitlength}{0.9cm}
  \begin{picture}(5,5)
    \put(0,0){\line(1,0){6}}
    \put(0,4){\line(1,0){6}}
    \put(0,0){\line(0,1){4}}
    \put(6,0){\line(0,1){4}}
    %
    \put(0,3){\line(1,0){5}}
    \put(5,0){\line(0,1){3}}
    %
    \put(-.4,-.4){A}
    \put(5,-.4){E}
    \put(6.2,-.4){B}
    \put(-.4,4.2){D}
    \put(6.3,4.2){C}
    \put(-.4,3){G}
    \put(5,3.2){F}
  \end{picture}
  \enmp
  

  \vspq
  \vspd
  \bgit
  \item[a)] Exprimer, en fonction de $x$, l'aire $\mathcal{A}(x)$ du
    rectangle $AEFG$. 
  
    \vspd
  \item[b)] Comment faut-il choisir $x$ pour que l'aire du rectangle
    $AEFG$ soit �gale � la moiti� de l'aire du rectangle $ABCD$. 

  \enit

\enex




\end{document}

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