Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques en Première STI2D


Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques et son corrigé: fonctions
Niveau
Première STI2D
Mots clé
fonctions, inéquation, tableau de signes, position relative de deux courbes, devoir de mathématiques, devoir corrigé, 1STI2D, STI2D, maths
Voir aussi:

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Source Latex de la correction du devoir

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
%\selectlanguage{francais}
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques 1ère STI2D: fonctions},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, 1ère STI2D, première STI2D, fonctions}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
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\textheight=26.5cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.7cm

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\bgen[a)]
\item On dresse le tableau de signe de l'expression: 
  $(x+3)(-2x+5)$ 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-3$ && $\frac{5}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
    $x+3$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $-2x+5$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
    $(x+3)(-2x+5)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
  \end{tabular}\]

  Ainsi, $(x+3)(-2x+5)\geqslant 0 \iff x\in\lb-3;\dfrac{5}{2}\rb$.
  \vspd
\item 
  $\bgar[t]{ll}
  (2x-3) > (2-x)(2x-3)
  &\iff 
  (2x-3)-(2-x)(2x-3)> 0 \\ 
  &\iff 
  (2x-3)\Bigl[ 1 - (2-x)\Bigr] > 0 \\
  &\iff 
  (2x-3)(x-1)> 0
  \enar$
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $1$ && $\frac{3}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
    $2x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    $x-1$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $(2x-3)(x-1)$ && $+$ &\zb& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
  \end{tabular}
  \]
  Ainsi, 
  $(2x-3) > (2-x)(2x-3) \iff x\in]-\infty;1[\cup]\frac{3}{2};+\infty[$. 

  \vsp
\item 
  $\dfrac{2}{3x-6}< 3
  \iff \dfrac{2}{3x-6} -3 < 0 
  \iff \dfrac{-9x+20}{3x-6}< 0
  $
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $2$ && $\frac{20}{9}$ && $+\infty$ \\\hline
    $-9x+20$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
    $3x-6$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $\dfrac{-9x+20}{3x-6}$ && $-$ &\db& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
  \end{tabular}
  \]
  Ainsi, 
  $\dfrac{2}{3x-6}< 3 
  \iff x\in \Bigl]-\infty;2\Bigr[\cup\Bigl[\frac{20}{9};+\infty\Bigr[$
\enen
\enex


\bgex
Soit $f$, $g$ et $h$ les fonctions définies par: 
$f(x)=2x+1$, $g(x)=-2x+2$ et $h(x)=x^2-4x-1$. 

\bgen
\item $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $2>0$ 
  donc croissante sur $R$: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline
  &&&\\
  $f$&&\Large{$\nearrow$}&\\
  &&&\\
  \hline\end{tabular}\]
  $g$ est une fonction affine de coefficient directeur $-2<0$ 
  donc décroissante sur $R$: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline
  &&&\\
  $f$&&\Large{$\searrow$}&\\
  &&&\\
  \hline\end{tabular}\]
  $h$ est une fonction du second degré avec $a=1>0$ 
  et $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\tm1}=2$, et donc 
  \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ &2& $+\infty$ \\\hline
  &&&\\
  $f$&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}\\
  &&$-5$&\\
  \hline\end{tabular}\]

\item 
  \[\psset{arrowsize=8pt}\begin{pspicture*}(-4.2,-6.2)(5.4,5.2)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(-4,0)(5,0)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,-6.2)(0,5.2)
  \multido{\i=-3+1}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-6.2)(\i,5)}
  \multido{\i=-6+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-5,\i)(5,\i)}
  \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{-4}{4}{2 x mul 1 add}
  \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=red]{-4}{4}{-2 x mul 2 add}
  \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=magenta]{-4}{5.5}{x 2 exp -4 x mul add -1 add}
  \rput(1.4,4.5){\large\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_f$}}
  \rput(3.6,-4.5){\large\textcolor{red}{$\mathcal{C}_g$}}
  \rput(4.7,4.5){\large\textcolor{magenta}{$\mathcal{C}_h$}}
  \psline{<-}(.25,0)(.25,1.5)\rput(.4,-.25){\small$0,\!3$}
  \end{pspicture*}\]

\item Graphiquement on trouve $x\simeq0,3$. 

  On a $f(x)=g(x)\iff 2x+1=-2x+2 \iff 4x=1 \iff x=\dfrac14$

  On trouve donc exactement $x=\dfrac14$. 

\item Graphiquement on trouve 2 solutions: $x\simeq-1$ et $x\simeq3$. 


\item Le taux de variation de $h$ entre $M_1$ et $M_2$ est 
  $\dfrac{h(2)-h(0)}{2-0}=\dfrac{-5-(-1)}{2}=-2$
\item 
  \bgen[a)]
  \item Pour tout nombre réel $x$, 
    $(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$. 
  \item Pour \'etudier la position relative des courbes 
    $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ on étudie le signe de 
    $h(x)-g(x)$ soit ici 
    $h(x)-g(x)=\lp x^2-4x-1\rp-\lp-2x+2\rp=x^2-2x-3$. 

    D'après la question précédente, on a alors 
    $h(x)-g(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ et on peut dresser le tableau de signes: 
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $3$ && $+\infty$ \\\hline
    $x+1$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    $h(x)-g(x)$ && $+$ &\zb& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
    \end{tabular}\]
    On trouve donc que $\mathcal{C}_h$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ 
    lorsque $x\in]-1;3[$ 
    et $\mathcal{C}_h$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ 
    lorsque $x\in]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$. 
  \enen

\enen

\enex




\label{LastPage}
\end{document}


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