Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques 1ère STI2D: fonctions},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: fonctions},
pdfkeywords={Mathématiques, correction, 1ère STI2D, première STI2D, fonctions}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen[a)]
\item $A(x)=(x+3)(-2x+5)$ \qquad
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-3$ && $\frac{5}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
$x+3$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$-2x+5$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
$A(x)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
\end{tabular}
\item
$B(x)=(2x-3)-(2-x)(2x-3)
=(2x-3)(x-1)$ \qquad
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $1$ && $\frac{3}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
$2x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
$x-1$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$B(x)$ && $+$ &\zb& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\item
$C(x)=\dfrac{2}{3x-6}-3=\dfrac{-9x+20}{3x-6}$
\qquad
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $2$ && $\frac{20}{9}$ && $+\infty$ \\\hline
$-9x+20$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
$3x-6$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$C(x)$ && $-$ &\db& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
\end{tabular}
\enen
\enex
\bgex
\par
\bgmp{11cm}
\bgen
\item L'image de $-1$ est $f(-1)=2$;
celle de $0$ est $f(0)=2,5$.
\vspd
\item Il y a deux ant\'ec\'edents de $-1,5$: $2,5$ et environ $3,2$.
Il y trois ant\'ec\'edents de $1$: environ $-1,2$; $1$ et $3,5$.
\vspd
\item
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-1,5$ && $-0,5$ && $3$ && $3,5$ \\\hline
&&&$3$&&&&$2$\\
$f(x)$ &&
\Large{$\nearrow$} &&
\Large{$\searrow$} &&
\Large{$\nearrow$}&\\
&$0$&&&&$-2,5$&&\\\hline
\end{tabular}
\item L'\'equation $f(x)=2$ admet tois solutions :
$x=-1$, environ $x=0,3$, et $x=3,5$.
\item
\bgit
\item[a.] $g$ est une fonction affine, sa courbe repr\'esentative
$\mathcal{C}_g$ est donc une droite.
\item[b.] Les solutions de l'\'equation $f(x)=g(x)$ sont donn\'ees
par les abscisses des points d'intersections des deux courbes,
soit $x=-1$, $x=2,5$ et environ $x=3,1$.
\enit
\vspd
\enen
\enmp
\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1.2cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-2.4,-3.5)(5,3.4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.8,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2.9)(0,3.8)
\multido{\i=-2+1}{7}{
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dashed](\i,-2.8)(\i,3.6)
\rput(\i,-0.2){\i}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i.5,-2.8)(\i.5,3.6)
}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.5,-2.8)(-0.5,3.6)
\multido{\i=-2+1}{6}{
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dashed](-2.4,\i)(4.7,\i)
\rput(-0.3,\i){\i}
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dashed](-2.4,\i.5)(4.7,\i.5)
}
\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dashed](-2.4,-0.5)(4.7,-0.5)
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(-1.5,0)(-1,2)(-0.5,3)(0,2.5)(1,1)(2,0)(2.5,-1.5)
(2.8,-2.3)(3,-2.5)(3.2,-2)(3.4,0)(3.5,2)
\psplot[linewidth=1pt]{-2.2}{4.1}{-1 x mul 1 add}
\rput(-1.7,3.3){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bgex
Soit $g$ la fonction d\'efinie par $g(x)=-2x^2+4x+1$.
\bgen
\item
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
&&&$3$&&\\
$f(x)$ &&
\Large{$\nearrow$} &&
\Large{$\searrow$} &\\
&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\item $-2(x-1)^2+3=-2\lp x^2-2x+1\rp+3=-2x^2+4x-2+3=g(x)$.
\item $g(0)=1$ et $g(1)=3$.
\item Calculer le taux de variation de $g$ entre $M_1$ et $M_2$
est
$\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=\dfrac{-5-1}{3}=-2$
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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