Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques 1ère STI2D: produit scalaire et géométrie vectorielle},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={produit scalaire, vecteurs, géométrie, coordonnées, correction, devoir corrigé, Mathématiques, 1ère STI2D, première STI2D}
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par
l'expression
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$.
\vsp
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$
(pr\'eciser les valeurs exactes des \'eventuels minimums et maximums).
\enex
\bgex
Dans un rep\`ere orthonorm\'e $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on consid\`ere les vecteurs
$\vec{u}\lp 4;3\rp$, et $\vec{v}\lp -1;1\rp$.
Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$,
puis d\'eterminer une mesure de l'angle $\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ \`a un
degr\'e pr\`es.
\enex
\bgex
Dans un rep\`ere orthonorm\'e $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
on consid\`ere le vecteur
$\vec{u}\lp -2;5\rp$, et le vecteur $\vec{v}$ tel que
$\|\vec{v}\|=6$.
On sait de plus que $\vec{u}\cdot\vec{v}=12$.
D\'eterminer une mesure de l'angle $\lp\vec{u},\vec{v}\rp$ \`a un
degr\'e pr\`es.
\enex
\bgex
\bgmp{10cm}
Une machine \`a commande num\'erique fabrique des pi\`eces, dont celle
sch\'ematis\'ee ci-contre.
Lors du per\c cage des trous $B$ et $C$, la pi\`ece est plac\'ee dans un
rep\`ere orthonormal.
\vspd
On donne $A(5;15)$, $B(-9;41)$ et $C(21;10)$.
\bgen
\item Calculer les coordonn\'ees des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$.
\item Calculer les normes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$.
\item Calculer le produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$.
\item En d\'eduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au
dixi\`eme de degr\'e pr\`es.
\enen
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(5,5)
\psline{->}(-3,0)(5,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,5)
\rput(-0.2,-0.2){$O$}
%
\pscircle(-1.5,4){0.6}
\psline[linestyle=dashed](-2.4,4)(-0.6,4)
\psline[linestyle=dashed](-1.5,3.1)(-1.5,4.9)
\rput(-1.75,4.25){$B$}
%
\pscircle(3,1.3){0.6}
\psline[linestyle=dashed](2.1,1.3)(3.9,1.3)
\psline[linestyle=dashed](3,0.4)(3,2.2)
\rput(3.25,1.55){$C$}
%
\psline[linestyle=dashed](0.5,1)(0.5,2.7)
\psline[linestyle=dashed](-0.4,1.8)(1.4,1.8)
\rput(0.75,2){$A$}
%
\pscurve[linewidth=1.6pt]%,showpoints=true]
(-3.2,4.)(-3,5.)(-1.5,5)
(-0.15,4)(-0.1,3.8)(-0.1,3)(-0.1,2.5)(-0.1,2.2)(0.2,1.8)
(1,1.5)(2,2)(3,2.2)(4.5,1)
(3,0.1)(2,0.)(0,0.)
(-0.5,0.1)(-1,0.5)(-1.5,1.5)
(-2,2.8)(-3,2.9)
(-3.2,4.)
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bgex
$ABCD$ est un rectangle dans lequel
$A'$ et $C'$ sont les projet\'es orthogonaux des points $A$ et $C$ sur
la droite $(BD)$.
\bgmp{12cm}
Le plan est muni d'un rep\`ere orthonormal $\lp A;\vec{i},\vec{j}\rp$,
dans lequel les points $B$ et $D$ ont pour coordonn\'ees
$B(3;0)$ et $D(0;2)$.
\medskip
En exprimant et calculant le produit scalaire $\V{AC}\cdot\V{DB}$
de deux fa\c cons différentes, calculer la longueur $A'C'$.
\enmp\qquad
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0.2)(4,3.4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.66,0)\rput(0.8,-0.3){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1.5)\rput(-0.3,0.8){$\vec{j}$}
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3)
\psline(0,3)(5,0)
\psline(0,0)(1.3235,2.2059)
\psline(1.2,2)(1.4,1.88)(1.52,2.088)
%
\psline(3.6765,0.7941)(5,3)
\psline(3.8,1)(3.6,1.13)(3.47,0.918)
%
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(5.2,-0.2){$B$}
\rput(5.2,3.2){$C$}
\rput(-0.2,3.2){$D$}
\rput(1.5,2.45){$A'$}
\rput(3.5,0.5){$C'$}
%
% \psplot{-1}{6}{5 3 div x mul}
% \psplot{-1}{6}{5 3 div x mul -16 3 div add}
% \psplot{-1}{6}{-3 5 div x mul 3 add}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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