Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques 1ère STI2D: produit scalaire et géométrie vectorielle},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={produit scalaire, vecteurs, géométrie, coordonnées, correction, corrigé du devoir, Mathématiques, 1ère STI2D, première STI2D}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par
l'expression
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec
$\la\bgar{ll}
u(x)&=x^2+3 \\
v(x)&=4x+1
\enar\right.$
soit
$\la\bgar{ll}
u'(x)&=2x \\
v'(x)&=4
\enar\right.$
\vsp
On a donc,
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit
$f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2}
=\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2}
$
\vsp
Le trin\^ome du num\'erateur a pour discriminant:
$\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$, et admet donc deux racines
$x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$
et
$x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$ .
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm}
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline
$4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline
$(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb &$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\db &$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$}
&\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline
\end{tabular}
\bgar{ll}
\bullet\
f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm]
\bullet\
f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1}
=\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7}
=\dfrac34\\
\enar
\]
\enex
\bgex
$\vec{u}\cdot\vec{v}=4\tm(-1)+3\tm(1)=-1$.
On a aussi,
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\tm\|\vec{v}\|\tm\cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp$,
avec,
$\|\vec{u}\|=\sqrt{4^2+3^2}=5$
et
$\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$,
d'o\`u
$\cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp=\dfrac{-1}{5\sqrt{2}}$,
et donc
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp=\cos^{-1}\lp\dfrac{-1}{5\sqrt{2}}\rp
\simeq \cos^{-1}\lp -0,14\rp\simeq 98^\circ
$.
\enex
\bgex
On a $\|\vec{u}\|=\sqrt{(-2)^2+5^2}\simeq 5,38$.
Ainsi,
$\vec{u}\cdot\vec{v}
=12
\simeq 5,38\tm 6\tm\cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp
\simeq 32,28 \cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp
$,
d'o\`u,
$\cos\lp\vec{u},\vec{v}\rp\simeq \dfrac{12}{32,28}$,
et
$\lp\vec{u},\vec{v}\rp\simeq 68,18^\circ$,
ou $\lp\vec{u},\vec{v}\rp\simeq -68,18^\circ$.
\enex
\bgex
\bgen
\item $\V{AB}\lp -14;26\rp$;\ $\V{AC}\lp 16;-5\rp$
\item $\|\V{AB}\|=AB=\sqrt{\lp-14\rp^2+26^2}\simeq 29,53$;\
$\|\V{AC}\|=AC=\sqrt{16^2+\lp-5\rp^2}=16,76$
\item $\V{AB}\cdot\V{AC}=-14\tm16+26\tm(-5)=-354$
\item On a aussi,
$\V{AB}\cdot\V{AC}
=AB\tm AC\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp
\simeq 19,53\tm16,76\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp
\simeq 494,92\cos\lp\widehat{BAC}\rp
$.
On en d\'eduit que
$\cos\lp\widehat{BAC}\rp\simeq \dfrac{-354}{494,92}$,
soit $\lp\widehat{BAC}\rp\simeq 135,7^\circ$
\enen
\enex
\bgex
Les projet\'es orthogonaux de $A$ et $C$ sur la droite $(BD)$ sont
respectivement $A'$ et $C'$, et donc,
$\V{AC}\cdot\V{DB}=\V{A'C'}\tm \V{DB}=A'C'\tm DB$, car $\V{A'C'}$ et
$\V{DB}$ sont colin\'eaires et de m\^eme sens.
\medskip
On a les coordonn\'ees:
$A(0;0)$ et $C(3;2)$ d'o\`u
$\V{AC}\lp 3;2\rp$,
et $\V{DB}(3;-2)$.
Ainsi, $\V{AC}\cdot\V{DB}=3\tm3+2\tm(-2)=5$.
D'apr\`es les questions pr\'ec\'edentes, on a donc:
$A'C'\tm DB=\V{AC}\tm \V{DB}=5$,
d'o\`u $A'C'=\dfrac{5}{DB}$.
Or, d'apr\`es le th\'eor\`eme de Pythagore, $DB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$,
d'o\`u, $A'C'=\dfrac{5}{\sqrt{13}}$.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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