Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques en Première STI2D


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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques et son corrigé: fonctions dérivées et étude de fonctions
Niveau
Première STI2D
Mots clé
dérivée, dérivation, tangente, étude de fonctionsdevoir de mathématiques, devoir corrigé, 1STI2D, STI2D, maths
Voir aussi:

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lien vers la documentation Latex
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Source Latex de la correction du devoir

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
%\selectlanguage{francais}
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques 1ère STI2D: dérivée},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={dérivée, dérivation des fonctions, tangente, correction, devoir corrigé, Mathématiques, 1ère STI2D, première STI2D}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
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\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}

\bgex

\bgmp{9.6cm}
On donne ci-contre une partie de la courbe $\mathcal{C}_f$
repr\'esentant une fonction $f$ d\'efinie et d\'erivable sur~$\R$. 


\vspd
\bgen
\item Voir graphique.
\item Par lecture graphique: 
  \bgen[a.]
  \item $f(-1)=-1$, $f(0)=1$, $f(1)=0$, $f'(-1)\simeq 4,5$, 
    $f'(1)\simeq -1,5$, $f'(2)=0$
    \vspd
  \item 
    \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $0$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
    &&&$1$&&&&\\
    $f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} 
    &&\LARGE{$\nearrow$} &\\
    &&&&&$-1$&&\\\hline
    \end{tabular}\]
  \enen
\enen

\enmp
%\hspace{0.4cm}
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1.cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3,-3.5)(5,4.5)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.4,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3.3)(0,5.4)
  \multido{\i=-2+1}{7}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,5.2)
    \rput(\i,-0.2){\i}
  }
  \multido{\i=-3+1}{9}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-2.4,\i)(4.2,\i)
    \rput(-0.3,\i){\i}
  }
  %\pscurve(-1,-1)(0,1)(1,0)(2,-1)(3,1)
  \psplot[plotpoints=100,linewidth=1.4pt]{-1.4}{3.65}{
    0.5 x mul x mul x mul 
    -1.5 x mul x mul add
    1 add
  }
  \rput(-1.6,-2.5){$\mathcal{C}_f$}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-2.5}{3.2}{-1.5 x mul 1.5 add}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-1.6}{.4}{4.5 x mul 3.5 add}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-2.5}{4.4}{-1}
\end{pspicture}
\enmp

\enex


\bgex

a)\ $f'(x)=5x^4+3$ \hfill 
b)\ $g'(x)=24x^7-\dfrac{1}{x^2}$ \hfill 
c)\ $h'(x)=-\dfrac{3}{(3x-2)^2}$ \hfill 
d)\ $k'(x)=\dfrac{13}{(2x+3)^2}$ \hfill

\enex

\bgmp{12cm}
\bgex
\bgen
\item $f'(x)=3x^2-8x+2$.
\item $T_1: y=f'(1)(x-1)+f(1)$, 
  avec $f'(1)=-3$ et $f(1)=-2$, 

  d'o\`u, \ul{$T_1: y=-3(x-1)-2=-3x+1$}. 

  \vspd
  $T_0: y=f'(0)(x-0)+f(0)$, 
  avec $f'(0)=2$ et $f(0)=-1$, 

  d'o\`u, \ul{$T_0: y=2(x-0)-1=2x-1$}. 
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{7cm}
3. 
  \begin{pspicture}(-3,-5.5)(4,2.8)
    \psline[arrowsize=5pt]{->}(-3,0)(4,0)
    \psline[arrowsize=5pt]{->}(0,-5)(0,2.5)
    \rput(-0.2,-0.2){$O$}
    \psline(2,-0.1)(2,0.1)\rput(2,0.3){2}
    \psline(-1,-0.1)(-1,0.1)\rput(-1,0.3){-1}
    \psline(-0.1,-1)(0.1,-1)\rput(-0.3,-1){-1}
    \psline(-0.1,-2)(0.1,-2)\rput(-0.3,-2){-2}
    \psline(-0.1,-3)(0.1,-3)\rput(-0.3,-3){-3}
    \psline(-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.3,1){1}
    \psplot[plotpoints=200]{-0.8}{2.8}{x 3 exp -4 x 2 exp mul add 2 x mul add -1 add}
    \rput(-0.85,-3.9){$\mathcal{C}_f$}
    % T_1
    \psplot{-0.6}{2.5}{-3 x mul 1 add}
    \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-2)(0,-2)\rput(1,0.3){1}
    \rput(-0.6,1.8){$T_1$}
    % T_0
    \psplot{-2}{1.9}{2 x mul -1 add}
    \rput(1.8,1.8){$T_0$}
    % T_{-1}
    %\psplot{-2}{3}{13 x mul 5 add}
    %\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,-8)
  \end{pspicture}
\enmp

\bgex
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par
l'expression 
$f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$. 

$f=\dfrac{u}{v}$ avec 
$\la\bgar{ll}
u(x)&=x^2+3 \\
v(x)&=4x+1
\enar\right.$
soit
$\la\bgar{ll}
u'(x)&=2x \\
v'(x)&=4
\enar\right.$ 

\vsp
On a donc, 
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
soit 
$f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2}
=\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2}
$

\vsp
Le trin\^ome du num\'erateur a pour discriminant: 
$\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$, et admet donc deux racines 
$x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$ 
et 
$x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$ . 

\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline
\rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm}
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline
$4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline
$(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb &$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\db &$-$&\zb&$+$&\\\hline
&&&$-1$&&&&&&\\
$f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} 
&\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\
&&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline
\end{tabular}
\bgar{ll}
\bullet\ 
f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm]
\bullet\ 
f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1}
=\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7}
=\dfrac34\\
\enar
\]

\enex



\label{LastPage}
\end{document}


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