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Description
Cours de mathématiques en 2nde: calcul numérique et algébrique - calcul sur les fractions, développement, factoisation, identités remarquables
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Les différents ensembles de nombres
    • Ensembles de nombres et nature d'un nombre
    • Nombres premiers
  • Calcul numérique et algébrique sur les fractions
  • Calcul algébrique
    • Développement
    • Carré d'un nombre
    • Carré d'une expression algébrique: identités remarquables
    • Factorisation
  • Racine carrée
    • Définition
    • Règles de calcul sur les radicaux
    • Méthode pour rendre entier un dénominateur comportant une racine carrée
  • Puissance d'un nombre
    • Règles de calcul sur les puissances
    • Puissances de 10
    • Ecriture scientifique
Mots clé
Cours de mathématiques, calcul numérique, calcul algébrique, développement, factorisation, identités remarquables, ensembles de nombres, fractions, racine carrée, puissance, puissance de 10, écriture scientifique
Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumerate}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Calcul numérique et algébrique},
    pdftitle={Calcul numérique et algébrique},
    pdfkeywords={Mathématiques, seconde, 2nde, calcul numérique, 
      calcul algébrique, fraction, puissance, racine carrée, 
      identités remarquables, factorisation, développement}
}
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    anchorcolor = red,
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    urlcolor = red
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\voffset=-1.5cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
%\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Q{{\rm \psline[linewidth=.06em](.1,0.01)(.1,.28) Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\nwc{\tm}{\times}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk\noindent{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Théorème:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}

\newenvironment{Notation}{\paragraph{\ulg{Notation:}} \it}{}
\nwc{\bgnot}{\begin{Notation}}\nwc{\enot}{\end{Notation}}

\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}

\nwc{\sectionc}[1]{\stepcounter{section}%
\setcounter{subsection}{0}\setcounter{subsubsection}{0}%
\bigskip\bigskip\noindent%
{\Large\bf\ulr{\Roman{section}\ - #1}}%
\addcontentsline{toc}{section}{#1}}

\nwc{\subsectionc}[1]{\stepcounter{subsection}%
\setcounter{subsubsection}{0}%
\bigskip\noindent%
{\large\bf\ulb{\arabic{subsection}\ - #1}}%
\addcontentsline{toc}{subsection}{#1}}

\nwc{\subsubsectionc}[1]{\stepcounter{subsubsection}%
\bigskip\noindent%
{\large\bf\alph{subsubsection})\ul{\ #1}}%
\addcontentsline{toc}{subsubsection}{#1}}


% Dimensions des pages
\textwidth=18.5cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.2cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\footskip=.8cm


\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\linewidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Propriété}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ulb{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\linewidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}


% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul numérique et algébrique}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{http://xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$


%\tableofcontents

\sectionc{Les différents ensembles de nombres}
\bgdef{\vspace{-.8em}

  \bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
    \item L'ensemble des nombres {\bf entiers naturels}: 0; 1; 2; 3; ... est
      noté $\N$. 
    \item L'ensemble des nombres {\bf entiers relatifs}: ...; -3; -2; -1; 0;
      1; 2; 3; ... est noté~$\Z$.  
    \item L'ensemble des nombres {\bf décimaux}: -5,67; -2; 0,4; 1,217,
      ... est noté $\D$. 
      Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la
      forme $\dfrac{a}{10^n}$, avec $a$ et $n$ des entiers. 
    \item L'ensemble des nombres {\bf rationnels}: $-\dfrac{3}{2}$;
      $-\dfrac{185}{4}$; 2; \dots ; est noté $\Q$.
      Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous
      la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, avec
      $b$ non nul.
    \item L'ensemble de tous les nombres s'appelle l'ensemble des
      {\bf nombres réels}; on le note~$\R$. 
      L'ensemble des nombres réels est aussi l'ensemble des abscisses
      des points d'une droite graduée. 
  \enit
}


\bigskip\noindent\ulg{Exemple} Compléter le tableau suivant: si le nombre appartient à
l'ensemble de nombres, le réécrire sous une forme adaptée, sinon
mettre une croix dans la case.  

\vspd 
\begin{tabular}{|c|*5{p{2.3cm}|}}\hline
\raisebox{0.5cm}[0.6cm][0.4cm]{}& $\N$ & $\Z$ & $\D$ & $\Q$ & $\R$ \\\hline
\ \raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$25$} &&&&& \\\hline
 \raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$-12$} &&&&&\\\hline
 \raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$-5.2$}  &&&&&\\\hline 
 \raisebox{0.3cm}[1.cm][0cm]{$-\dfrac{12}{3}$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1.1cm][0.cm]{$\dfrac{\sqrt{81}}{3}$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1cm][0.cm]{$\dfrac{5}{4}$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1cm][0.2cm]{$\dfrac{2}{3}$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.2cm}[0.7cm][0.cm]{$\sqrt{3}+2$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[0.9cm][0.cm]{$\dfrac{\pi}{3}$}  &&&&&\\\hline
\end{tabular}


\bgnot
\bgit
  \item Le Symbole ``$\in$'' signifie ``appartient à'', 
    par exemple $11\in \N$; $11\in \D$; $\pi\in\R$.
  \item Le symbole ``$\subset$'' signifie ``est inclus dans'', 
    par exemple $\N\subset\Z$. 
\enit
\enot

\bgprop{
  $\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R$
}

\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-.8)(15,5.8)
  \psellipse(6.9,2.5)(8,3)
   \rput(13.2,3){$\R$}
   \rput(13.2,2.2){$\pi; \sqrt2$}
   \rput(13,1.4){$\dots$}
  \psellipse(5.9,2.5)(6.2,2.8)
   \rput(10.6,3){$\Q$}
   \rput(10.8,2.2){$\dfrac13; -\dfrac27$}
   \rput(10.6,1.4){$\dots$}
  \psellipse(5.2,2.5)(4.6,2.2)
   \rput(8.2,3){$\D$}
   \rput(8.4,2.4){$0,12; -34,5$}\rput(8.4,1.9){$-1,7104$}
   \rput(7.7,1.4){$-4,0003$}\rput(7.6,1){$\dots$}
  \psellipse(4.2,2.5)(3.,1.5)
   \rput(5.5,3){$\Z$}
   \rput(5.5,2.4){$-1; -2$}\rput(5.5,2.){$-3; -4$}\rput(5.5,1.5){$\dots$}
  \psellipse(3.2,2.5)(1.3,1.)
   \rput(3.2,2.9){$\N$}\rput(3.5,2.3){$0; 1; 2; \dots$}
\end{pspicture}\]


Donner la nature d'un nombre, c'est donner le plus petit  ensemble de
nombres auquel il appartient. 

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} 
$\bullet$\ \ $-5,2\in \R$\ ,\ \ $-5,2\in \Q$\ ,\ \ $-5,2\in \D$\ ,\ \ 
et $-5,2\notin\Z$, 
donc $-5,2$ est un nombre décimal.

\vsp\hspace{0.65cm}
$\bullet\ \dfrac53\in\R$\ ,\ \ $\dfrac53\Q$\ ,\ \ 
mais $\dfrac53\notin\D$, 
donc $\dsp\dfrac{5}{3}$ est un nombre rationnel.



\sectionc{Multiples, diviseurs et nombres premiers}

\subsectionc{Multiples et diviseurs}

\bgdef{Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers tels qu'il existe un nombre entier $k$ avec $a=kb$, on dit que 
$a$ est un \textbf{multiple} de $b$ ou encore que 
$b$ est un \textbf{diviseur} de $a$.}

\bigskip\noindent\ulg{Exemple}
$30=6\tm5$ donc 
30 est un multiple de 6, et 6 divise 30. 

On a aussi que 30 est un multiple de 5, et 3 et 2 (car $6=3\tm2$). 

\medskip
Les diviseurs de 30 sont donc 2, 3 et 5, et aussi 1 et 30 !

\bgdef{Un nombre entier $n$ est 
\bgit
\item \textbf{pair} lorsque qu'il existe un entier $p$ tel que $n=2p$.
\item \textbf{impair} lorsque qu'il existe un entier $p$ tel que $n=2p+1$.
\enit}

\bigskip
\noindent\ulg{Exemple}
$62=2\tm31$ est pair, tandis que $11=2\tm5+1$ est impair. 

\subsectionc{Nombres premiers}
 
\bgdef{On appelle nombre premier tout nombre entier qui a exactement
  deux diviseurs : 1 et lui-même. 
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $11=11\tm1$, n'est divisible que par 1 et lui-même: 11 est
un nombre premier. 

\hspace{3em} $63=7\tm9$ n'est pas un nombre premier. 

\medskip\noindent
\ul{\bf Remarques:} \vsp 
\bgit
\item 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers : tout
  nombre divise 0, tandis que seul 1 divise 1.
  
\item 2 est le plus petit nombre premier, et c'est le seul qui soit pair. 
  
\item Les nombres premiers inférieurs à 20 sont: 
  2, 5, 7, 11, 13, 17, 19
\enit

\bgprop{Tout nombre entier non premier plus grand que 2 peut s'écrire, de manière unique, comme un produit de nombres premiers.
}
  
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $12=2\tm2\tm3=2^2\tm3$, $42=2\tm3\tm7$, 
$600=6\tm100=2\tm3\tm(5\tm2)^2=2^3\tm3\tm5^2$

\medskip\noindent  
\ul{{\bf Activité:} Carrelage d'une pièce}\vspd 
 
On souhaite carreler une pièce rectangulaire de longueur L=462 m et
de largeur l=70 m, à l'aide de carrelages carrés. 
On souhaite de plus utiliser le plus petit nombre possible de
carrelages, ou, en d'autres termes, des carrelages de côté le plus
grand possible. \\
Quelle est la taille de ces carrelages ? 


\sectionc{Calcul numérique et algébrique sur les fractions}
\bgprop{Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$, 
  \bgen[$\bullet$]
  \item $\dfrac{a\tm c}{b\tm c}=\dfrac{a}{b}$, pour $b\not=0$ et $c\not=0$
  \item $a\tm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\tm b}{c}
    =\dfrac{a}{c}\tm b
    =a\tm b\tm\dfrac1c$, pour $c\not=0$ 
  \enen
}

\bgdef{Une fraction est dite {\bf irréductible} n'ont pas de diviseur commun autre que 1.}

\bigskip\noindent\ulg{Exemple}
\bgit
\item $\dfrac{27}{4}$ est irréductible car 3 est le seul diviseur de 27 et 2 le seul de 4 (autre que 1). 

\item $\dfrac{18}4=\dfrac{2\tm9}{2\tm2}=\dfrac92$, et $\dfrac92$ est irréductible. 

\item $\dfrac{150}{105}=\dfrac{2\tm3\tm5^2}{3\tm5\tm7}=\dfrac{10}{7}$ et $\dfrac{10}7$ est irréductible. 

\enit



\bgdef{On appelle inverse du nombre $a$ non nul, le nombre 
  $\dsp \dfrac{1}{a}$. 
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple}: L'inverse de 2 est $\dfrac{1}{2}=0,5$. 
   
\bgprop{L'inverse de la fraction $\dsp\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$
  sont des nombres non nuls, est
  $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a}$.  
}

\noindent
\ulg{Exemples:} $\bullet$ L'inverse de $\dfrac23$ et 
$\dfrac{1}{\dfrac23}=\dfrac32$. \\[.4em]
\hspace*{5.2em}$\bullet\ \dfrac{3}{\dfrac52}=3\tm\dfrac{1}{\dfrac52}=3\tm\dfrac25=\dfrac65$

\bgex \'Ecrire sous la forme d'une seule fraction irréductible les expressions suivantes: \\[.1em]
$A=\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{3}$ \quad 
$B=\dfrac{7}{12}-\dfrac{2}{3}$ \quad  
$C=2+\dfrac{5}{7}$\quad 
$D=4+\dfrac{3}{9}$ \quad 
$E=\dfrac{1}{\dsp\dfrac{2}{5}}$ \quad 
$F=\dfrac{4}{\dsp\dfrac{2}{6}}$ \quad
$G=\dfrac{\dsp\dfrac{5}{2}}{\dsp\dfrac{10}{6}}$ \quad 
$H=\dfrac{\dsp\dfrac{7}{9}}{\dsp\dfrac{14}{27}}$ \\[-.6em]
$I=\dfrac{5}{7}\tm\dfrac{4}{15}$ \quad  
$J=\dfrac{\dsp\dfrac{8}{9}}{\dsp\dfrac{3}{5}}$ \quad 
$K=\dfrac{\dsp\dfrac{5}{3}}{\dsp\dfrac{2}{6}}$ \quad 
$L=\dfrac{\dsp\dfrac{8}{3}}{6}$ \quad 
$M=1+\dfrac13\tm\dfrac{5}{2-\dfrac53}$ \quad 
$N=\dfrac{2}{\dsp\dfrac{x+1}{3}}$ \quad 
$P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x+2}$ \\[-.6em]
$Q=\dfrac{3x}{x+1}+\dfrac{2}{5x}$ \quad 
$R=5+\dfrac{3}{2+x}$ \quad 
$S=2+\dfrac{\dsp\dfrac{1}{3}x}{x+1}$ \quad 
$T=\dfrac{1}{2-3x}-\dfrac{1}{2+3x}$ \quad 
$U=1-\dfrac{\dfrac32(x+1)}{x}$
\enex


\sectionc{Calcul algébrique}

\subsectionc{Dévelopement}
\bgdef{\textbf{Développer} une expression algébrique consiste 
  à transformer les produits de plusieurs termes en sommes ou différences:\\
  Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$, on a: 
  \bgen[$\bullet$]
  \item $k(a+b)=ka+kb$ \qquad $\bullet\ k(a-b)=ka-kb$
  \item $(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$
  \enen
}

\bgex Développer les expressions suivantes, et regrouper et ordonner
les termes: \\[.5em]
$A(x)=3(x+2)$ \quad 
$B(x)=-2(3x-4)$ \quad 
$C(x)=-(x-6)$ \quad 
$D(x)=3-(-3x+6)$ \quad 
$E(x)=(x+2)(x+3)$ \\[.5em]
$F(x)=(2x+2)(3x+3)$ \quad 
$G(x)=(x-2)(-2x+3)$ \quad
$H(x)=(x+2)(2x-3)$ \quad 
$I(x)=(3-2x)(3x-2)$ \\[.5em]
$J(x)=(-x+2)(-2x-2)$ \quad 
$K(x)=(5x+2)(-2+3x)$ \quad
$L(x)=2x^2-(2x+3)(2x-2)$
\enex

\subsectionc{Carré d'un nombre}

\bgdef{Le \textbf{carré} d'un nombre réel $a$, noté $a^2$, 
  est le produit de ce nombre par lui-m\^eme: 
  \[a^2=a\tm a\]
  Le carré de $a$, $a^2$, est l'aire du carré de c\^oté $a$.} 

\bigskip\noindent
\ulg{Exemples:} 
$3^2=3\tm3=9$\ ;\ $(-5)^2=(-5)\tm(-5)=25$ \ ;\ 
$-5^2=-5\tm5=-25$\\[.4em]
\hspace*{4em}
$\lp\dfrac23\rp^2=\dfrac23\tm\dfrac23=\dfrac49$ \ ; \ 
$\dfrac{2^2}{3}=\dfrac{2\tm2}{3}=\dfrac43$\\[.4em]
\hspace*{4em}
$(2+1)^2=(2+1)(2+1)=3\tm3=9$ 



\vspace{-1em}
\bgmp{10cm}
{\red Attention:} En général, $(a+b)^2\not=a^2+b^2$ !
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(3,3)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline(1,0)(1,3)\psline(0,1)(3,1)
  \rput(.5,-.25){$a$}
  \rput(2,-.25){$b$}
  \rput(-.2,.5){$a$}
  \rput(-.2,2){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$(a+b)$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$(a+b)$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,.5){.22}
  \rput(.5,.5){$a^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](1,1)(3,1)(3,3)(1,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,2){.22}
  \rput(2,2){$b^2$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgprop{Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a: \\
$\bullet\ (ab)^2=a^2b^2$ \qquad
$\bullet\ \lp\dfrac{a}{b}\rp^2=\dfrac{a^2}{b^2}$
}

\bigskip\noindent
\ulg{Exemples:} 
$(2\tm3)^2=2^2\tm3^2=4\tm9=36$ \\[.4em]
\hspace*{5em}$(-5)^2=(-1\tm5)^2=(-1)^2\tm5^2=25$ \\[.4em]
\hspace*{5em}$(3x)^2=3^2x^2=9x^2$\\[.4em]
\hspace*{5em}$\lp\dfrac52\rp^2=\dfrac{5^2}{2^2}=\dfrac{25}{4}$\ ; \ 
\hspace*{5em}$0,6^2=\lp\dfrac{6}{10}\rp^2=\dfrac{6^2}{10^2}
=\dfrac{36}{100}=0,36$


\bgex
Démontrer que le carré d'un nombre pair est aussi un nombre pair. 
\enex

\subsectionc{Carré d'une expression algébrique: identités remarquables}

\bigskip\noindent
Ce sont les cas particuliers: 
\bgen[$\bullet$]
\item $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$
\item $(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$
\item $(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$
\enen


\bigskip\noindent
\bgmp{8cm}
\bgprop{\vspace{-1em}
  \bgen[$\bullet$]
  \item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  \item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  \item $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
  \enen
}
\enmp\hfill


\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(3,5)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline(1,0)(1,3)\psline(0,1)(3,1)
  \rput(.5,-.25){$a$}
  \rput(2,-.25){$b$}
  \rput(-.2,.5){$a$}
  \rput(-.2,2){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$(a+b)$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$(a+b)$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,.5){.22}
  \rput(.5,.5){$a^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](1,1)(3,1)(3,3)(1,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,2){.22}
  \rput(2,2){$b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=black](0,1)(1,1)(1,3)(0,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,2){.22}
  \rput(.5,2){$ab$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=black](1,0)(3,0)(3,1)(1,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,.5){.22}
  \rput(2,.5){$ab$}
\end{pspicture}
\[(a+b)^2={\red a^2}+2ab+{\blue b^2}\]
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  %\psline(1,0)(1,3)\psline(0,1)(3,1)
  %\rput(.5,-.25){$a$}
  \rput(2.5,-.25){$b$}
  %\rput(-.2,.5){$a$}
  \rput(-.2,2.5){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$a$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$a$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1,1.05)(.8,.35)
  \rput(1,1){$(a-b)^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](2,2)(3,2)(3,3)(2,3)
  %\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,2.5){.22}
  %\rput(2.5,2.5){$b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](3,3)(4,3)(4,4)(3,4)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](3.5,3.5){.22}
  \rput(3.5,3.5){$b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt,hatchcolor=black](0,2)(3,2)(3,3)(0,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1.5,2.5){.22}
  \rput(1.5,2.5){$ab$}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt,hatchcolor=black](2,0)(3,0)(3,2)(2,2)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,1.5){.22}
  \rput(2.5,1.5){$ab$}
\end{pspicture}
\[{\red (a-b)^2}+2ab=a^2+{\blue b^2}\]
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  %\psline(1,0)(1,3)\psline(0,1)(3,1)
  %\rput(.5,-.25){$a$}
  \rput(2.5,-.25){$b$}
  %\rput(-.2,.5){$a$}
  \rput(-.2,2.5){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$a$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$a$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(3,0)(3,2)(2,2)(2,3)(0,3)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1,1.05)(.8,.35)
  \rput(1,1){$a^2-b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](2,2)(3,2)(3,3)(2,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,2.5){.22}
  \rput(2.5,2.5){$b^2$}
  \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)
  \psline[linestyle=dashed](0,2)(2,2)
  \rput(-.2,3.5){$b$}
  \psarc[linewidth=1.4pt]{->}(3,2.5){1.5}{270}{125}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt](2,0)(3,0)(3,2)(2,2)
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt](0,3)(2,3)(2,4)(0,4)
  \psline{<->}(0,4.6)(2,4.6)
  \rput(1,4.9){$(a-b)$}
\end{pspicture}
\[{\red a^2-b^2}=(a+b)(a-b)\]
\enmp

\bgex Développer: \quad 
$A=(2+3)^2$ \quad
$B=(5-2)^2$ \quad 
$C=(-2+3)^2$ \quad
$D=(-2-1)^2$ \\[.3em]
$E=\Bigl( (1+3)^2-1\Bigr)^2$ \quad
$F=(x+2)^2$ \quad 
$G=(x-3)^2$ \quad 
$H=(x-y)^2$ \quad 
$I=(x-2)(x+2)$\\[-.4em]
$J=(2x-3)(2x+3)$ \quad
$K=(x-2y)(x+2y)$ \quad 
$L=(2x+3)^2$ \quad 
$M=(3x-2)^2$ \quad
$P=\lp 3x+\dfrac13\rp^2$ \\[-.4em]
$Q=\lp\dfrac12x-4\rp^2$ \quad 
$R=(x+2)(2x-3)(-3x+1)$\quad
$S=(3x-4)^2(x+2)$ \quad 
$T=(x+3)^3$ \quad
$U=(2x-1)^3$
\enex


\subsectionc{Factorisation}

\bgdef{\textbf{Factoriser} une expression consiste à tranformer les sommes 
  et différences en produits.\\
  Pour factoriser une expression, on peut soit:
  \bgen[$\bullet$]
  \item identifier un terme commun et le mettre en facteur
  \item utiliser une identité remarquable
  \enen
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemples:}
\bgen
\item $3{\red x}+2{\red x}={\red x}(3+2)=5x$ 
\item $6{\red x}-k{\red x}={\red x}(6-k)$
\item $3{\red (x+2)}+(x+1){\red (x+2)}
  ={\red (x+2)}\Bigl(3+(x+1)\Bigr)=(x+2)(x+4)$
\item ${\red (x+1)}(3x+2)+{\red (x+1)}(x+5)
  ={\red (x+1)}\Bigl((3x+2)+(x+5)\Bigr)=(x+1)(4x+7)$
\item $x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$
\item $(3x+2)^2-(x+2)^2=\Bigl((3x+2)+(x+2)\Bigr)\Bigl((3x+2)-(x+2)\Bigl)
  =(4x+4)(2x)=4(x+1)(2x)=8x(x+1)$
\enen


\bgex
Factoriser les expressions suivantes:\\[.4em]
$A(x)=(2x-3)(x-2)+(2x-3)(x+4)$\qquad
$B(x)=(x-3)(3x-7)-(x-3)(x+4)$\\[.6em]
$C(x)=(5x+3)(x+2)+(3-4x)(x+2)$\qquad
$D(x)=(2x+2)(3x-3)-(x-3)(2x+2)$\\[.6em]
$E(x)=(3x^2+2x)(x-6)-(x+7)(3x^2+2x)$\quad
$F(x)=(-2x+5)^2+(-2x+5)(3x-4)$ \\[.6em]
$G(x)=(x+2)^2-9$ \qquad 
$H(x)=(2x+3)^2-(x-3)^2$ \qquad
$I(x)=2(x^2-9)-(x-3)(x+2)$
\enex


\bgex On considère l'expression algébrique 
$A(x)=(3x+2)(-x+1)-(3x+2)(x-2)$. 
\bgen
\item Donner les expressions développée et factorisée de $A(x)$. 
\item Calculer $A(0)$, $A(1)$, $A(2)$, $A(3)$, $A(-1)$ et $A(-2)$. 
\enen
\enex

\bgex On considère l'expression algébrique 
$B(x)=\dfrac{x+2}{2x-3}-\dfrac{x+2}{3x-2}$
\bgen
\item \'Ecrire $B(x)$ sous la forme d'une fraction dont les 
  numérateurs et dénominateurs sont développés. 
\item \'Ecrire $B(x)$ sous la forme d'une fraction dont les 
  numérateurs et dénominateurs sont factorisés. 
\item Calculer $B(0)$, $B(1)$, $B(-1)$, $B(2)$, $B(-2)$, 
  $B\lp\dfrac12\rp$, $B\lp\dfrac23\rp$, $B\lp\dfrac32\rp$. 
\enen
\enex

\bgex \'Ecrire sous la forme d'une seule fraction irréductible:
$a=\dfrac{6x+12}{2x}$ \\[-.4em]
$b=\dfrac{x^2+2x}{x^2+3x}$ \quad 
$c=\dfrac{x}{\dfrac{3x}{6x+12}}$ \quad 
$d=\dfrac{4}{x}\tm\dfrac{\dfrac12x^2}{x^2-3x}$ \quad 
$e=\dfrac{2(x+1)-(x-3)(x+1)}{x^2+x}$ \quad
$f=\dfrac{\dsp\dfrac{x^2+x}{x-3}}{\dsp\dfrac{x+1}{x^2-9}}$ \quad 
\enex

\bgex
Démontrer que la carré d'un nombre impair est aussi un nombre impair. 
\enex


\sectionc{Racine carrée}

\subsectionc{Définition}

\bgdef{La {\textbf racine carrée} d'un nombre réel positif $a$, 
  notée $\sqrt{a}$, 
  est le nombre dont le carré est égal à $a$: \\
  Pour $a\geqslant0$, $\sqrt{a}$ est le nombre réel tel que 
  $\Bigl(\sqrt{a}\Bigr)^2=a$. } 

\ulg{Exemples:} 
$\sqrt9=3$ car $3^2=9$ \ ;\ 
$\sqrt121=11$ car $11^2=121$ \ ;\ 

Pour $x\geqslant 0$, $\sqrt{4x^2}=2x$ car $(2x)^2=(2x)\tm(2x)=4x^2$

$\sqrt2=\dots \sqrt2$ qui est le nombre réel tel que 
$\sqrt2^2=2$

\subsectionc{Règles de calcul sur les radicaux}
\bgprop{Soit $a$ et $b$ deux nombres \ul{positifs}, alors: \vspd 
   
 \bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
 \item $\dsp \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ \vspt
 \item $\dsp \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
 \enit   
}

\medskip
\ul{\ul{Mais}}, comme pour les identités remarquables, 
$\sqrt{a+b}\not=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, et 
$\sqrt{a-b}\not=\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

\medskip\noindent
\ulg{Exemples:} 
\hspace{0.4cm}
\bgmp[t]{10cm}
\bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item $\sqrt{9\tm16}=\sqrt{9}\tm\sqrt{16}=3\tm4=12$
  \medskip
\item $\sqrt{\dfrac{49}{25}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=
  \dfrac{7}{5}$. 
  \medskip
\item
  $\sqrt{2}\lp\sqrt{2}+\sqrt{8}\rp=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}\sqrt{8}
  =2+\sqrt{16}=2+4=6$
  \medskip
\item $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\not=\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$
\enit
\enmp

\medskip
\bgex Simplifier l'écriture des nombres suivants: 
\[ A=\sqrt{27}\tm5\sqrt{6}\ ;\ \ 
B=7\sqrt{75}-2\sqrt{12}\ ;\ \ 
C=2\sqrt{5}+\sqrt{0,0045}\ ;\ \ 
D=\lp 11\sqrt{5}-5\sqrt{11}\rp\lp 11\sqrt{5}+5\sqrt{11}\rp
\]
\enex

\bgex
1. \ Calculer le nombre $X=\sqrt{10-\sqrt{84}}+\sqrt{10+\sqrt{84}}$ 
à la calculatrice. 
\setcounter{enumi}{2}
\bgen
\item Développer $X^2$, puis en déduire $X$, et retrouver le résultat
  précédent.  
\item Mêmes questions avec $Y=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ 
  et $Z=\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{15+\sqrt{216}}$.
\enen
\enex


\medskip
\bgex 1. \ Soit $X=\sqrt{24}-\sqrt{6}$. 
  Calculer $X^2$, puis en déduire la valeur de $X$. 

2. \ Soit $X=\sqrt{50}-\sqrt{8}$. 
Calculer $X^2$, puis en déduire la valeur de $X$. 
\enex

\bigskip
\subsectionc{Méthode pour rendre entier un dénominateur comportant une racine
  carrée} 

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} \'Ecrire les fractions sans racine carrée au dénominateur: 
$\dsp \dfrac{2}{\sqrt{3}}$\ ;\ \ 
$\dsp \dfrac{1}{2+\sqrt{5}}$\ ;\ \ 
$\dsp \dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$

\vspd
\bgit
\item[\textbf{\ulb{Méthode 1:}}] Le dénominateur est un produit ayant
  pour facteur 
  $\sqrt{a}$ (avec $a$ positif): on multiplie le numérateur et le
  dénominateur par $\sqrt{a}$, et on utilise la règle
  $\lp\sqrt{a}\rp^2=a$. 

  \medskip\noindent
  \ulg{Exemple:} 
  $\dfrac{7}{3\sqrt{5}}
  =\dfrac{7}{3\sqrt{5}}\tm \dfrac{\blue \sqrt5}{\blue\sqrt5}
  =\dfrac{7\sqrt{5}}{15}$

 \bigskip
\item[\textbf{\ulb{Méthode 2:}}] Le dénominateur est une somme dont les termes
  contiennent une racine carré, 

  \medskip
  \bgen
  \item Si le dénominateur s'écrit $a+\sqrt{b}$, on multiplie le
    numérateur et le dénominateur par $a-\sqrt{b}$;
  \item Si le dénominateur s'écrit $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, on
    multiplie le numérateur et le dénominateur par
    $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. 
  \enen
  
  \medskip\noindent
  \ulg{Exemples}: 
  $\dfrac{3}{2+\sqrt3}
  =\dfrac{3{\blue \tm(2-\sqrt3)}}{{\blue\Bigl(}2+\sqrt3{\blue\Bigr)\tm(2-\sqrt3)}}
  =3(2-\sqrt3)$

  \medskip
  $\dfrac{6}{\sqrt5-\sqrt2}
  =\dfrac{6{\blue\tm(\sqrt5+\sqrt2)}}{{\blue\Bigl(}\sqrt5-\sqrt2{\blue\Bigr)(\sqrt5+\sqrt2)}}
  =\dfrac{6(\sqrt5+\sqrt2)}{3}
  =2(\sqrt5+\sqrt2)$

\enit

\bgex Ecrire les nombres suivants sous forme d'une seule fraction 
sans radicaux au dénominateur:  

\medskip\noindent
$a=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}\ ; \quad \ 
b=\dfrac{14}{3\sqrt{7}}\ ;\quad \ 
c=\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}\ ;\quad \ 
d=\dfrac{2+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\ ;\quad \ 
e=\dfrac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\ ;\quad \ 
f=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$

\medskip\noindent
$g=\dfrac{2}{4-\sqrt2}\ ; \quad \ 
h=\dfrac{3}{4\sqrt{2}-3}\ ;\quad \ 
i=\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\ ;\quad \ 
j=\dfrac{1-\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt3}\ ;\quad \ 
k=\dfrac{1}{2-\sqrt2}-\dfrac{1}{2+\sqrt2}$

\medskip\noindent
$l=\dfrac{1}{\sqrt2-2}+\dfrac{3}{\sqrt3}\ ;\quad \ 
m=\dfrac{\sqrt3x}{\sqrt2}-\dfrac{\sqrt2x}{\sqrt3}\ ;\quad \ 
n=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\ ;\quad \
p=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$
\enex

\sectionc{Puissance d'un nombre}

\subsectionc{Règles de calcul sur les puissances}
\bgdef{Si a est un nombre et n un entier naturel non nul,  
  on appelle puissance n-ième de a, le nombre 
  $\dsp a^n = \underbrace{a\tm a\tm \cdots \tm a}_{\mbox{n termes}}$. 
  On pose, pour $a\not=0$, 
  $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$. 
  
  \medskip
  Par convention, on pose $a^0=1$, pour tout nombre $a$ non nul. 
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $3^2=9$\ ;\quad \  $2^4=2\tm 2\tm 2\tm 2=16$\ ;
\quad \ 
$2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$\ 

\medskip 
$(-3)^2=(-3)\tm(-3)=9$\ ;\quad \ $-3^2=-3\tm3=-9$

\medskip
$3^4\tm 3^5
=\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{4 termes}}
\tm\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{5 termes}}
=\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{9 termes}}=3^9$

\medskip
$\lp\dfrac{5}{2}\rp^2
=\dfrac{5}{2}\tm\dfrac{5}{2}
=\dfrac{5^2}{2^2}$\ ;\quad 
$(-3)^3=(-3)\tm(-3)\tm(-3)=-3^3=-27$

\medskip
$4^5\tm4^{-2}
=4^5\tm\dfrac{1}{4^2}
=\dfrac{4\tm\dots\tm4}{4\tm4}
=4\tm4\tm4=4^3$
 
\bgprop{Si a et b sont des nombres et n et m des entiers relatifs,
  alors  
  \bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
   \item $a^n\tm a^m = a^{n+m}$ \vspd 
   \item $a^n\tm b^n = \lp a\tm b\rp^n$ \vspd
   \item $\lp\dfrac{a}{b}\rp^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ \vspd
   \item $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$\vspd
   \item $\lp a^n\rp^m=a^{n\tm m}$
   \enit
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} 
$2^3\tm2^2=2^5$\ ;\quad \ 
$5^7\tm5^{-4}=5^3$\ ;\quad \ 
$\lp\dfrac25\rp^3=\dfrac{2^3}{5^3}=\dfrac{8}{125}$



\bgex Simplifier les expressions suivantes: 
$A=a^2\tm a^5\tm a^{-3}$ \quad 
$B=a\tm a^3$ \quad 
$C=\dfrac{x}{x^3}$\\
$D=\dfrac{\lp3x\rp^2}{6x}$ \quad 
$E=\lp a^{-2}\rp^3\tm a$ \quad
$F=\lp a^{-5} b^2\rp^{-1}\tm a b^{-3}$ \quad
$G=\dfrac{a^5 b^{-4}}{a^{-5}b^{-2}}$ \quad
$H=\dfrac{16^{-4}\tm 3^{21}}{6^3\tm 9^7}$ \quad 
$I=\lp -2 x^5\rp^{-4}$ \\[.4em]
$J=-2 x^3\tm 5x\tm 3^{-2} x^{-5}$ \quad
$K=\dfrac{2^{-5}\tm (-6)^3\tm 3^{-4}}{-9^{-2}\tm 8^{-4}}$ \quad
$L=\dfrac{ab^{-3}\lp a^{-2}b^3\rp\lp ab^{-1}\rp^2}{\lp ab^2\rp^{-1} a b}$
\enex  


\bgex \!\!\!On sait que $b^3=5,832$ et $b^5=18,89$. Sans calculer b,
calculer $b^2$ et $b^6$. 
En déduire~$b$. 
\enex


\subsectionc{Cas des puissances de 10}

\bgprop{
  Si n est un entier naturel, 
  \[10^n=\underbrace{10\tm10\tm\cdots\tm10}_{\mbox{n fois}}
  =1\underbrace{00\cdots0}_{\mbox{n zéros}} \ \mbox{, et, } \ 
  10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}=\underbrace{0,00\cdots0}_{\mbox{n zéros}}1 \]
}

\ul{Ex}: $10^2=100$; $10^5=100\,000$; $10^{-1}=0,1$; $10^{-4}=0,000\,4$


\bgex Ecrire sous la forme d'une puissance de 10: 
\[ 
I=1000^7\tm 0,01^{10}\ ;\ \ 
J=\dfrac{100^3}{0,1^9\tm 10000^3}\ ;\ \ 
K=\dfrac{(0,001)^3 (-10000)^5}{(0,01)^{-4}}\ ;\ \ 
L=\dfrac{(0,0001)^{-4}(10000)^5(-0,001)^7}{(10\tm 0,01^3)^4}
\]
\enex

\subsectionc{Ecriture scientifique}

\bgprop{
  Tout nombre réel $r$ peut s'écrire sous la forme 
  $r=\pm M\tm10^n$, où $M$ est un nombre décimal tel que 
  $1\leq M <10$, et $n$ est un entier relatif. 
  
  Cette écriture s'appelle \ul{l'écriture scientifique} du nombre $r$. 
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $126=1,26\tm10^2$, $232\,519=2,325\,19\tm10^5$, 
$0,000\,0536=5,36\tm10^{-5}$

\label{LastPage}
\end{document}

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