Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours de mathématiques: compléments sur les fonctions},
pdftitle={Complément sur les fonctions},
pdfkeywords={mathématiques, cours, exercices,
fonctions, généralités}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}%
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}%
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Théorème:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}
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\newtheorem{corol}{Corollaire}
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\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
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\newenvironment{definitioncolor}{\bf{\ulb{Définition:}} \it}{}
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\newenvironment{propcolor}{\bf{\ulr{Propriété:}} \it}{}
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\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
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\begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
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\nwc{\proptitle}{Propriété}
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\nwc{\exempletitle}{Exemple}
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\hspace{-1em}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\lexpl-0.5em}{\it \ #1}
\end{minipage}
}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Compléments sur les fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/}{xymaths - 2nde}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
%\vspace*{1.5cm}
\ct{\bf \huge{\TITLE}}
\vspace{2em}
\ct{\Large Seconde}
%\[\psset{unit=.5cm,arrowsize=8pt}
%\newcommand{\f}[1]{2.718 -.5 #1 -2 add mul exp 3 mul 1 add}
%\begin{pspicture}(-10,-10)(10,10)
%\psline{->}(-10,0)(10,0)
%\psline{->}(0,-10)(0,10)
%\psset{linecolor=[rgb]{0,0,0}}
%\psplot{-7.2}{0}{x .65 mul}
%\psplot{-7.2}{0}{-.65 x mul}
%\psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{0}{9.4}{\f{x}}
%\psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{0}{9.4}{\f{x} -1 mul}
%\psset{linecolor=[rgb]{0,0,1}}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul .8 mul}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul .6 mul}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul .4 mul}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul .2 mul}
%
%\psset{linecolor=[rgb]{0,.1,1}}
%\renewcommand{\f}[1]{#1 1 mul}
%\newcommand{\g}[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul 6 div exp 3 mul}
%\multido{\i=1+1}{7}{
% \psplot[plotpoints=500]{-10}{10}{x 5 add \f{\i} add 3.14 div 180 mul 4 mul cos \g{x 5 add} mul}
%}
%\psplot[plotpoints=100]{-10}{10}{-.1 x 2 exp mul 10 add}
%\psplot[plotpoints=100]{-10}{10}{.1 x 2 exp mul -10 add}
%\end{pspicture}\]
\vspace{2em}
\[\psset{xunit=.5cm,yunit=.3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-10,-3.2)(10,3.2)
\psset{linecolor=[rgb]{0,.1,1}}
\newcommand{\f}[1]{#1 1 mul}
\renewcommand{\g}[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul 6 div exp 3 mul}
\multido{\i=1+1}{7}{
\psplot[plotpoints=500]{-10}{10}{x 5 add \f{\i} add 3.14 div 180 mul 4 mul cos \g{x} mul}
}
\end{pspicture}\]
\vspace{-2em}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\normalsize
\tableofcontents
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize
\vspace{2em}
\[\psset{xunit=.5cm,yunit=.3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-10,-3.2)(10,3.2)
\psset{linecolor=[rgb]{0,.1,1}}
\newcommand{\f}[1]{#1 1 mul}
\renewcommand{\g}[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul 6 div exp 3 mul}
\multido{\i=1+1}{7}{
\psplot[plotpoints=500]{-10}{10}{x 5 add \f{\i} add 3.14 div 180 mul 4 mul cos \g{x} mul}
}
\end{pspicture}\]
\clearpage
\section{Résolution d'équations}
Nous avons vu, dans le
\href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Cours-2nde/Cours-Resolution-Equations.php}{\ul{cours sur la résolution d'équations}}, que
\pspolygon[fillstyle=none,linearc=5pt,shadow=true,shadowsize=5pt,linecolor=green,linewidth=1.4pt](-.5,-1.5)(19.4,-1.5)(19.4,-.3)(-.5,-.3)
\bgdef{Résoudre l'équation $A(x)=a$, c'est trouver \ul{\bf tous} les nombres
$x$ tels que $A(x)=a$.
}
\bigskip
\bigskip\noindent
Par exemple, l'équation $(E): x^2-2x=0$
est l'équation $A(x)=a$ avec le nombre $a=0$ et la fonction $A$ définie par l'expression
$A(x)=x^2-2x$.
\subsection{Résolution graphique}
Dans l'exemple précédent, on sait résoudre exactement, algébriquement,
cette équation:
après factorisation, puis équation produit nul, on trouve
les deux solutions $x_1=0$ et $x_2=2$.
\medskip
En terme de fonction, on interprète cette équation ainsi:
rechercher tous les antécédents de $0$.
Graphiquement, à l'aide de la courbe de la fonction $A$, on peut
aussi résoudre approximativement cette équation:
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(5,3.6)
\psline{->}(-3,0)(5,0)
\psline{->}(0,-2.5)(0,3.6)
\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){$\i$}}
\multido{\i=-2+1}{6}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$}}
\psplot{-3}{4}{x 2 exp 2 x mul sub}
\rput(0,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
\rput(2,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
\end{pspicture*}\]
On (re)trouve graphiquement que les antécédents de 0,
c'est-à-dire les solutions de l'équation $A(x)=0$ sont 0 et 2.
\bgex
Résoudre, à l'aide du graphique précédent, l'équation
$x^2-2x=2$.
\enex
%\medskip
%Solution:
%\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
%\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(5,3.6)
%\psline{->}(-3,0)(5,0)
%\psline{->}(0,-2.5)(0,3.6)
%\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){$\i$}}
%\multido{\i=-2+1}{6}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$}}
%\psplot{-3}{4}{x 2 exp 2 x mul sub}
%\psline(-3,2)(5,2)
%\psline{->}(-.75,2)(-.75,0)
%\rput(-.75,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
%\psline{->}(2.75,2)(2.75,0)
%\rput(2.75,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
%\end{pspicture*}\]
%On trouve graphiquement deux solutions: environ -0,8 et 2,8.
\bgex
On considère les équations
$E_1: 2x-3=2$ \hfill
$E_2: x^2+2x+4=3$ \hfill
$E_3: \dfrac3{2x-3}=2$ \hfill
$E_4: (2x-3)^2=4$ \hfill \
\bgen[a)]
\item \'Ecrire chaque équation sous la forme $f(x)=a$,
en précisant à chaque fois $f(x)$ et le nombre $a$.
Tracer alors à l'aide de la calculatrice la courbe représentative
de la fonction $f$ et résoudre graphiquement l'équation.
\item Résoudre algébriquement (et donc exactement) chaque équation
et retrouver les résultats précédents.
\enen
\enex
\subsection{Intersection de deux courbes}
On considère les courbes représentatives de deux fonctions $f$ et $g$.
Par exemple pour des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-5;5]$, avec les représentations graphiques:
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-5.5,-4.2)(5.6,4)\psline{->}(-5.3,0)(5.5,0)\psline{->}(0,-4.2)(0,4) \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.4){$\i$}} \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.6pt](-5,-4)(-4.3,-1)(-3,1)(-2,0)(-1,-.5)(0,-.5)(1,.1)(2,1)(3,2)(4,2.5)(5,2) \rput(-5.15,-2.9){\blue\large$\mathcal{C}_f$} \pscurve[linecolor=black,linewidth=1.6pt](-5,3)(-4,2)(-3,0)(-2,-.4)(-1,.3)(0,.5)(1,1)(2,-1.5)(3,-2)(4,-2.5)(5,-3) \rput(-4.7,2.2){\large$\mathcal{C}_g$} \psline[linestyle=dashed](-3.46,-4)(-3.46,3.3) \psline[linestyle=dashed](-1.72,-4)(-1.72,3.3) \psline[linestyle=dashed](1.46,-4)(1.46,3.3) \rput[r](-3.5,-.25){$a$}\rput(-1.85,.25){$b$}\rput(1.3,-.3){$c$}\end{pspicture}\]
Graphiquement, les points d'intersection se lisent facilement:
ce sont ici les points d'abscisse
$a\simeq3,5$,
$b\simeq-1.8$
et $c\simeq1,5$.
\medskip
Pour les déterminer algébriquement,
on pose $M(x;y)$ un tel point d'intersection et on a alors
\[\la\bgar{ll}
\ M(x;y)\in\mathcal{C}_f\iff y=f(x)\\
\text{et}\\
\ M(x;y)\in\mathcal{C}_g\iff y=g(x)\enar\right.\]
et on a donc la double équation: \quad $y=f(x)=g(x)$.
\medskip
En particulier l'abscisse $x$ des (éventuels) points d'intersection vérifie l'équation
$f(x)=g(x)$.
\medskip
On résout donc cette équation, et on trouve finalement les ordonnées des points d'intersection recherchés avec $y=f(x)$ ou $y=g(x)$ (qui doivent bien s\^ur \^etre égaux).
\medskip
\bgex
Déterminer, graphiquement en traçant les courbes avec la calculatrice, avec python, ou tout autre moyen numérique, puis exactement par le calcul,
les coordonnées des points d'intersection des courbes des fonctions $f$ et $g$
dans chaque cas suivant:
\bgen
\item $f(x)=3x+2$ et $g(x)=-x+1$
\item $f(x)=x^2+x$ et $g(x)=-x-1$
\item $f(x)=3x^2+2x+1$ et $g(x)=x+1$
\item $f(x)=\dfrac1{x+2}$ et $g(x)=\dfrac2{x+3}$
\enen
\enex
\section{Résolution d'inéquations}
Tout comme pour la résolution d'équations rappelée au tout debut de ce cours,
\pspolygon[fillstyle=none,linearc=5pt,shadow=true,shadowsize=5pt,linecolor=green,linewidth=1.4pt](-.5,-1.5)(19.4,-1.5)(19.4,-.3)(-.5,-.3)
\bgdef{Résoudre l'\textbf{inéquation} $A(x)\geqslant a$, c'est trouver \ul{\bf tous} les nombres $x$ tels que $A(x)\geqslant a$.
}
\bigskip
\bigskip\noindent
Par exemple, l'inéquation $(I): x^2-2x\geqslant0$
est l'inéquation $A(x)\geqslant a$ avec le nombre $a=0$ et la fonction $A$ définie par l'expression
$A(x)=x^2-2x$.
\subsection{Résolution graphique}
Pour résoudre graphiquement l'inéquation $(I): x^2-2x\geqslant0$,
on reprend la m\^eme démarche que pour la résolution de l'équation correspondante et on trace la courbe de la fonction $A$:
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(5,3.6)
\psline{->}(-3,0)(5,0)
\psline{->}(0,-2.5)(0,3.6)
\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){$\i$}}
\multido{\i=-2+1}{6}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$}}
\psplot[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{-3}{0}{x 2 exp 2 x mul sub}
\psplot[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{2}{4}{x 2 exp 2 x mul sub}
\psplot{0}{2}{x 2 exp 2 x mul sub}
\rput(0,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
\rput(2,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
\end{pspicture*}\]
On trouve graphiquement que pour toutes les valeurs de $x$ négatives et pour toutes les valeurs de $x$ supérieures à 2, on a $A(x)\geqslant0$.
On écrit alors les solutions sous la forme de la réunion des ces deux intervalles:
\[\mathcal{S}=]-\infty;0\,]\cup[\,2;+\infty[\]
\bgex
Résoudre, à l'aide du graphique précédent, l'équation
$x^2-2x\geqslant2$.
\enex
%\medskip
%Solution:
%On reprend le grahique précédent, et comme dans l'exercice 1:
%\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
%\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(5,3.6)
%\psline{->}(-3,0)(5,0)
%\psline{->}(0,-2.5)(0,3.6)
%\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){$\i$}}
%\multido{\i=-2+1}{6}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$}}
%\psplot[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{-3}{-.74}{x 2 exp 2 x mul sub}
%\psplot[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{2.74}{4}{x 2 exp 2 x mul sub}
%\psplot{-.74}{2.74}{x 2 exp 2 x mul sub}
%\psline(-3,2)(5,2)
%\psline{->}(-.75,2)(-.75,0)
%\rput(-.75,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
%\psline{->}(2.75,2)(2.75,0)
%\rput(2.75,0){\LARGE\bf\red$\tm$}
%\end{pspicture*}\]
%On trouve graphiquement que $A(x)\geqslant2$ pour, approximativement, toutes les valeurs de $x$ inférieures à $-0,8$ et toutes les valeurs supérieures à $2,8$, soit
%\[\mathcal{S}\simeq]-\infty;-0,8]\cup[2,8;+\infty[\]
\bgex
On considère les inéquations
$I_1: 2x-3\geqslant2$ \hfill
$I_2: x^2+2x+4\geqslant3$ \hfill
$I_3: \dfrac3{2x-3}\geqslant2$ \hfill
$I_4: (2x-3)^2\geqslant4$ \hfill \
\'Ecrire chaque équation sous la forme $f(x)\geqslant a$,
en précisant à chaque fois $f(x)$ et le nombre $a$.
Tracer alors à l'aide de la calculatrice la courbe représentative
de la fonction $f$ et résoudre graphiquement l'équation.
\enex
\bigskip
On peut aussi chercher à résoudre algébriquement ces inéquations.
\subsection{Résolution algébrique}
Voir aussi le \href{https://xymaths.fr/Lycee/Common/Cours-inequations-tableaux-de-signes.php}{\ul{cours sur la résolution algébrique d'inéquations et les tableaux de signes}}.
\paragraph{Méthode générale pour résoudre une inéquation}\ \\
\pspolygon[fillstyle=none,linearc=5pt,shadow=true,shadowsize=5pt,linecolor=green,linewidth=1.4pt](-.5,-3)(19.4,-3)(19.4,.1)(-.5,.1)
On se ramène à une inéquation de la forme
$A(x)\leq0$, ou $A(x)<0$, ou $A(x)\geq 0$ ou $A(x)>0$,
en prenant garde à l'ordre (c'est-à-dire au sens de l'inéquation) à
chaque opération effectuée,
et avec $A(x)$ une expression algébrique ne contenant \ul{que} des
produits et/ou quotients de termes du premier degré
(de la forme $ax+b$).
\medskip
On peut alors dresser un tableau de signes et appliquer la règle des
signes pour les produits et quotients.
\bigskip\bigskip\noindent
\ul{Remarque/Rappel:} \quad
\bgmp[t]{13.6cm} Chercher \textbf{le signe} de l'expression algébrique
$A(x)$ est équivalent à résoudre \textbf{les inéquations} $A(x)<0$, $A(x)>0$ et
$A(x)=0$.
\enmp
\bigskip\noindent
\ul{Exemple:}
Résoudre l'inéquation: $(I)\,:\ x(x+2)\geq (2x+1)(x+2)$.
\vspd
On transforme tout d'abord l'inéquation pour se ramener à une étude de
signes de facteurs du premier degré:
\[\bgar{ll}
(I)\,:\ &\iff x(x+2)-(2x+1)(x+2)\geq0\vspd\\
&\iff (x+2)\Big[ x - (2x+1)\Big] \geq 0 \vspd\\
&\iff (x+2)\lb -x-1\rb \geq 0
\enar
\]
On peut alors dresser le tableau de signes de l'expression
$(x+2)(-x-1)$:
\vspd
\ct{
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-1$ && $+\infty$\\\hline
$x+2$ && $-$ &\zb&$+$&$|$&$+$& \\\hline
$-x-1$ && $+$ & $|$ & $+$ &\zb& $-$& \\\hline
$(x+2)(-x-1)$ && $-$ &\zb&$+$ &\zb&$-$& \\\hline
\end{tabular}
}
\vspd
On veut que ce produit soit positif ou nul;
les solutions de l'inéquation sont donc:
$\mathcal{S}=[-2;-1]$.
\bigskip
\bgex
Résoudre algébriquement les inéquations de l'exercice précédent, et retrouver les résultats trouvés graphiquement (et approximatifs donc).
\enex
\bgex
Résoudre les inéquations:
\medskip
$(I_1)\,:\ (2x+3)(-3x+2)>0$ \medskip
$(I_2)\,:\ x(3x+1)<(2x+3)x$ \medskip
$(I_3)\,:\ (2x+4)^2\geq (2x+4)(x-3)$ \medskip
$(I_4)\,:\ x^2\geq 9$ \medskip
$(I_5)\,:\ 1+\dfrac{1}{x+2}\leq 0$ \medskip
$(I_6)\,:\ \dfrac{2x+3}{5x-20}\geq 3$ \medskip
$(I_7)\,:\ 8-\dfrac{11x+12}{2x-3}\geq 2$\medskip
$(I_8)\,:\ \dfrac{3}{2x+1}<\dfrac{4}{x-3}$\medskip
\enex
\subsection{Position relative de deux courbes}
\pspolygon[fillstyle=none,linearc=5pt,shadow=true,shadowsize=5pt,linecolor=green,linewidth=1.4pt](-.5,-2)(19.4,-2)(19.4,-.3)(-.5,-.3)
\bgdef{Étudier la position relative de deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, c'est déterminer quelle courbe est au-dessous ou au-dessus de l'autre.}
Par exemple pour des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-5;5]$, avec les représentations graphiques:
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-5.5,-4.2)(5.6,4)\psline{->}(-5.3,0)(5.5,0)\psline{->}(0,-4.2)(0,4) \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.4){$\i$}} \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.6pt](-5,-4)(-4.3,-1)(-3,1)(-2,0)(-1,-.5)(0,-.5)(1,.1)(2,1)(3,2)(4,2.5)(5,2) \rput(-5.15,-2.9){\blue\large$\mathcal{C}_f$} \pscurve[linecolor=black,linewidth=1.6pt](-5,3)(-4,2)(-3,0)(-2,-.4)(-1,.3)(0,.5)(1,1)(2,-1.5)(3,-2)(4,-2.5)(5,-3) \rput(-4.7,2.2){\large$\mathcal{C}_g$} \psline[linestyle=dashed](-3.46,-4)(-3.46,3.3) \psline[linestyle=dashed](-1.72,-4)(-1.72,3.3) \psline[linestyle=dashed](1.46,-4)(1.46,3.3) \rput[r](-3.5,-.25){$a$}\rput(-1.85,.25){$b$}\rput(1.3,-.3){$c$}\end{pspicture}\]
on a ici,
$\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $[-5;a]$ et sur $[b;c]$
$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $[a;b]$ et sur $[c;5]$
\medskip
Pour étudier algébriquement ce problème, on pose $d(x)=f(x)-g(x)$, la différence entre les deux fonctions.
Algébriquement, on a alors
\bigskip
\hfill\bgmp{7cm}
$\begin{array}[t]{lll}
&\mathcal{C}_f \text{ est au-dessous de } \mathcal{C}_g \\[.8em]
&\iff f(x)\leqslant g(x) \\[.8em]
&\iff f(x)-g(x)\leqslant0\\[.8em]
&\iff d(x) \text{ négatif}\end{array}$
\enmp
\quad
\psline(0,-2)(0,2)
\qquad
\bgmp{8cm}
$\begin{array}[t]{lll}
&\mathcal{C}_f \text{ est au-dessus de } \mathcal{C}_g\\[.8em]
&\iff f(x)\geqslant g(x) \\[.8em]
&\iff f(x)-g(x)\geqslant0\\[.8em]
&\iff d(x) \text{ positif}\end{array}$
\enmp\hfill
\bigskip
On peut donc écrire, en résumé,
\vspace{-.4em}
\pspolygon[fillstyle=none,linearc=5pt,shadow=true,shadowsize=5pt,linecolor=blue,linewidth=1.4pt](-.5,-2)(19.4,-2)(19.4,-.3)(-.5,-.3)
\bgprop{Pour étudier la position relative des deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, représentatives des fonctions $f$ et $g$, on étudie le signe de la différence $d(x)=f(x)-g(x)$.}
\bigskip
\bgex
Soit $f(x)=3x^2-2x-2$ et $g(x)=6x-2$
\bgen
\item Représenter graphiquement les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et étudier graphiquement leur position relative.
\item Étudier exactement, algébriquement, leur position relative.
\enen
\enex
\bgex
On considère les trois fonctions de référence
$f(x)=x$, $g(x)=x^2$ et $h(x)=x^3$, définies sur $[0;+\infty[$.
On $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$
leur courbes représentatives respectives.
\bgen
\item Tracer dans un m\^eme repère ces trois courbes et conjecturer
leurs positions relatives.
\item Démontrer algébriqueent ces résultats,
en étudiant tout d'abord la position relative de
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$
puis la position relative de $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$.
\enen
\enex
\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
les expressions
$f(x)=x^3+x^2+x+1$ et $g(x)=x^3-3x^2+5x$.
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur courbes représentatives
respectives.
\bgen
\item Tracer, à l'aide de la calculatrice ou d'un ordinateur,
et sur un m\^eme graphique, ces courbes représentatives.
Conjecturer la position relative de ces courbes.
\item Exprimer $f(x)-g(x)$ et étudier alors algébriquement
la position relative des deux courbes.
\enen
\enex
\bgex
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
les expressions
$f(x)=2x^3+2x^2+2x+2$ et $g(x)=x^2+5x+2$.
On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leur courbes représentatives
respectives.
\bgen
\item Tracer, à l'aide de la calculatrice ou d'un ordinateur,
et sur un m\^eme graphique, ces courbes représentatives.
Conjecturer la position relative de ces courbes.
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a l'égalité:
$2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)$.
\item Exprimer $f(x)-g(x)$ et étudier alors algébriquement
la position relative des deux courbes.
\enen
\enen
\enex
%\section{Parité d'une fonction}
%
%\`A venir \dots
\label{LastPage}
\end{document}
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