Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdftitle={Exercices: généralités sur les fonctions},
pdfkeywords={mathématiques, cours, exercices,
fonctions, généralités}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}%
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}%
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\topmargin=-1.8cm
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\newenvironment{lemme}{\paragraph{Lemme:} \it}{}
\nwc{\bglem}{\begin{lemme}}\nwc{\enlem}{\end{lemme}}
\newtheorem{corol}{Corollaire}
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\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
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\newenvironment{propcolor}{\bf{\ulr{Propriété:}} \it}{}
\nwc{\bgpropc}{\begin{propcolor}}
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\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
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\nwc{\proptitle}{Propriété}
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\begin{minipage}[t]{\textwidth-\lprop-2em}{\it #1}
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\nwc{\exempletitle}{Exemple}
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\nwc{\bgexpl}[1]{\paragraph{\ulg{\exempletitle:}}
\hspace{-1em}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\lexpl-0.5em}{\it \ #1}
\end{minipage}
}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Exercices: généralités sur les fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\voffset=-1cm
%\vspace*{1.5cm}
%\ct{\bf \Large{\TITLE}}
%\vspace{2em}
%\ct{Seconde}
\thispagestyle{empty}
\voffset=0cm
\vspace*{-1.5cm}
\vspace*{-.5cm}
\bgex\textbf{Relevé de températures: courbes et fonctions}\\
Voici les relevés des températures de l'eau et de l'air, au bord d'un
lac de montagne, pendant 24 heures.
\[\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.25cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-3,-5)(28,29)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.5,0)(27.5,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-4.5)(0,30.5)
\multido{\i=0+1}{27}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,28.4)
}
\multido{\i=0+2}{14}{\rput(\i,-1){$\i$}}
\multido{\i=-4+2}{17}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(26.4,\i)
\rput(-0.8,\i){$\i$}
}
\pscurve[linewidth=1.4pt](0,2)(3,-1)(6,0)(7,2)(8,6)(9,14)(10,20)(14.5,26)(22,6)(24,2)
\pscurve[linewidth=1.4pt](0,4)(6,2)(15.5,7.8)(22,4.2)(24,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](17.8,22)(21.2,22)(21.2,26.5)(17.8,26.5)
\rput(19,25.2){Air}\rput(19.5,23.2){$y=f(t)$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](13.3,2.6)(17,2.6)(17,6.5)(13.3,6.5)
\rput(15.1,5.6){Eau}\rput(15.1,3.7){$y=g(t)$}
\end{pspicture}
\]
On désigne respectivement par $f$ et par $g$ les fonctions mesurant la
température en degré Celsius de l'air et de l'eau, en fonction du
temps exprimé en heurs et désigné par la variable $t$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Traduire en langage courant les phrases suivantes:
\vspd
\hspace*{-1cm}
\begin{tabular}{|c|p{10cm}|p{8.5cm}|}\hline
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage mathématique} }
& \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}} \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(17)=24$}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{
A 17 h, la température de l'air était de $24^\circ$~C.}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{L'image de $6$ par $g$ est 2.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 6 h, la température \ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{c.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Quels sont les antécédents de $14$ par la fonction $f$ ?}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A quelle heure\ \dots ? }
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{d.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Le maximum de la fonction $f$ est 26 }
&
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Si $1<t<6$, alors $f(t)<0$. }
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 1 h et 6 h\ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)=g(7)$ }
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 7 h, \ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{g.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Résoudre $f(t)=g(t)$. }
&
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{h.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f$ est strictement décroissante sur $[14;24]$.}
&
\\\hline
\end{tabular}
\vspq
\item[2.] Traduire en langage mathématique les phrases suivantes:
\vspd
\hspace{-1cm}
\begin{tabular}{|c|p{10cm}|p{8.5cm}|}\hline
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}}
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage mathématique}}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
A minuit, la température de l'eau était de $4^\circ$ C.}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
A quelle heure la température de l'eau est-elle de
$4^\circ$~C ? }
& \\\hline
\raisebox{0.3cm}[0.6cm]{c.}
&\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
A 8 h, la température de l'eau était inférieure à celle de
l'air. \enmp}
& \\\hline
\raisebox{0.3cm}[0.6cm]{d.}
&\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
A quelles heures la température de l'air est-elle supérieure
à celle de l'eau ? \enmp}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{La température minimale de l'eau est de
$2^\circ$ C.}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 6 h et 15 h, la température de
l'eau monte. }
& \\\hline
\end{tabular}
\enit
\enex
\clearpage
\thispagestyle{empty}
\voffset=0cm
\vspace*{-2cm}
\bgex\textbf{Programme de calcul: définition algébrique d'une fonction}
\ \\
\vspace{-0.4cm}
On considère le programme de calcul suivant:
\vspd
\begin{tabular}{|l|*3{p{2.5cm}|}}\hline
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\noindent
\bgmp{4cm}Choisir un nombre\\ entier naturel\enmp} &
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{10}} &
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{5}} &
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{$n$}} \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Multiplier par 2} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Ajouter 1} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Elever au carré} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Soustraire 1} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Multiplier par 3} &&&\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Résultat} &
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{\ct{1320}} &&\\\hline
\end{tabular}
\vspq
\bgit
\item[1.] Compléter le tableau et montrer que le résultat, pour un
nombre réel $x$ quelconque est $12x^2+12x$.
\vspt
\item[2.] On a ainsi défini la fonction $f$ par l'expression
algébrique: \ul{$f(x)=$\hspace{0.8cm}$\dots$\hspace{1.5cm}}
\vspd
\item[3.] Quel est le résultat du programme si on introduit le nombre
15 ? le nombre $3,5$ ?
\vspd
\item[4.] Quel nombre peut-on introduire de façon à ce que le résultat
du programme soit nul ?
\enit
\enex
%\vspace{-0.4cm}
\bgex\textbf{Une fonction et sa courbe}
\ \\
\vspace{-0.4cm}
A l'aide d'un sonar, un navire sonde le fond marin.
Pour cela, il se déplace en suivant une ligne droite $d$ à partir d'un
point d'origine et il émet des salves d'ultrasons.
Il mesure le temps qui s'écoule avant de recevoir l'écho des ultrasons
et en déduit la profondeur $h(x)$ de la mer sous le point situé à la
distance $x$ de son point d'origine.
Le relevé est donné par le graphique suivant:
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-6.8)(10,1.8)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.5,0)(17,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-6.5)(0,1.5)
\rput(-0.2,0.2){$0$}
\multido{\i=-6+1}{6}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(16.2,\i)
\rput(-0.8,\i){$\i$00}
}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,1)(16.2,1)
\rput(-0.8,1){100}
\multido{\i=2+2}{8}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-6.2)(\i,1.2)
\rput(\i,0.2){$\i$0}
}
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(0,-0.8)(2,-1.5)(4,-3.2)
(6,-5)(8,-3.8)(10,-4.2)(12,-5)
(14,-5.5)(16,-5.1)
\end{pspicture}
\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Donner un titre, utilisant le terme fonction, au graphique,
et à ces axes.
\vsp
\item[2.] Dresser le tableau de variations de la fonction $h$.
\vsp
\item[3.] Quelle est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 50 ?
d'abscisse 120 ?
\vsp
\item[4.] Quelle est l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée -200
?
d'ordonnée -400 ?
d'ordonnée -500 ?
\vsp
\item[5.] Quels sont les extréma de le fonction $h$ ?
\enit
\enex
\clearpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2.cm}
%\voffset=2cm
\bgex\textbf{A propos des fonctions: éléments caractéristiques d'une
fonction}\ \\
\vspace{-0.5cm}
On dispose au sujet d'une fonction numérique $f$ des renseignements
suivants:
\bgit
\item[$\bullet$] L'ensemble de définition de $f$ est
$\mathcal{D}_f=[-2;9]$
\vspd
\item[$\bullet$] Un tableau de valeurs de $f$ est:
\begin{tabular}{|*{12}{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1.5$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 &4 & 5 & 5,5 & 8,5 \\\hline
$f(x)$ & 0 & 1,5 & 2,7 & 4 & 3 & 0 & $-2$ & $-3$ & $-2$ & $-1,5$ & $-2$ \\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[$\bullet$] Le tableau de variations de $f$:
\begin{tabular}{|c|*9{c}|}\hline
$x$ & $-2$ && 0 && 4 && 7 && 9 \\\hline
&&&4&&&&$-1$&&\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$} &&
\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&0&&&&$-3$&&&&$-3$\\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[$\bullet$] On sait d'autre part que la représentation graphique
de $f$, dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, est une courbe que
l'on peut tracer sans lever le crayon, et dont on fournit l'extrait
suivant:
\vspd
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-8,-4.5)(10,5)
\psline[linewidth=1.2pt](-8,0)(10,0)
\psline[linewidth=1.2pt](0,-4)(0,5)
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
\multido{\i=-8+1}{19}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4)(\i,5)
}
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-8,\i)(10,\i)
}
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(-2,0)(-1.5,1.5)(-1,2.7)(-0.85,3)(-0.5,3.6)(0,4)
(1,3)(1.5,1.6)(2,0)(3,-2)(4,-3)(5,-2)
\end{pspicture}
\enit
\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Compléter le tableau suivant:
\vspd
\hspace{-0.8cm}
\begin{tabular}{|c|*3{p{5.2cm}|}}\hline
& valeur trouvée & exacte ou approchée & renseignement(s) utilisé(s)
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-1)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-0,5)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(6)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(8)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-2,5)$} &&& \\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[2.] Résoudre les équations proposées, en remplissant le tableau
comme précédemment:
\vsp
\hspace*{-0.9cm}
\begin{tabular}{|c|*3{p{5.cm}|}}\hline
& valeur(s) trouvée(s) & exacte(s) ou approchée(s) & renseignement(s) utilisé(s)
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=3$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-0,5$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-1$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2,5$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=5$} &&& \\\hline
\end{tabular}
\enit
\enex
\clearpage
\voffset=-1.cm
%\tableofcontents
\bgex
On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions suivantes:
\bgit
\item[$\bullet$] son ensemble de définition est $D=[-5;4]$;
\item[$\bullet$] les nombres $-4$ et $4$ ont la même image $3$;
\item[$\bullet$] les solutions de l'équation $f(x)=-2$ sont $1$ et
$2$;
\item[$\bullet$] le nombre $-5$ est un antécédent de $0$ par $f$;
\item[$\bullet$] $f(-2)=-1$, $f(0)=-3$ et $f(3)=0,5$.
\enit
\vspd
Tracer une courbe pouvant représenter la fonction $f$.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=-3x+2$.
\bgen
\item
Dire si les points suivants appartiennent à $\mathcal{C}_f$:
$A(1;-1)$
\qquad
$B(-3;11)$
\qquad
$C(2;4)$
\qquad
$D(-5;17)$
\qquad
$E(-2;-8)$
\qquad
$F\lp\dfrac12;\dfrac12\rp$
\item
Donner deux autres points appartenant à $\mathcal{C}_f$.
\item Placer tous ces points dans un repère du plan,
et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\enen
\enex
\vsp
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=3x^2-2x+1$.
\bgen
\item
Dire si les points suivants appartiennent à $\mathcal{C}_f$:
$A(1;2)$
\qquad
$B(-3;34)$
\qquad
$C(2;4)$
\qquad
$D(5;66)$
\qquad
$E(-2;16)$
\qquad
$F\lp\dfrac12;\dfrac34\rp$
\item
Donner deux autres points appartenant à $\mathcal{C}_f$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=2x^2-x$.
\bgen
\item Compléter le tableau de valeurs: \quad
\begin{tabular}{|*{8}{p{1.4cm}|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)$} &&&&&
\\\hline
\end{tabular}
\item Placer tous ces points dans un repère du plan,
et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item Donner, à partir de ce graphique,
le tableau de variation de la fonction $f$.
Quel est le minimum de la fonction $f$ ?
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ à l'aide de la calculatrice,
et chercher alors une valeur plus précise pour ce minimum.
\enen
\enex
\bgex
Dresser dans les deux cas suivant le tableau de variation de la fonction $f$ représentée par la courbe données. \\[-1em]
\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm,arrowsize=8pt}
\bgmp{9cm}\[%\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-4.6,-3.6)(4.6,3.6)
\psline{->}(-4.6,0)(4.6,0)
\psline{->}(0,-3.6)(0,3.6)
\multido{\i=-4+1}{9}{
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,4.2)
\rput(\i,-.4){$\i$}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(4.2,\i)
\rput[r](-.2,\i){$\i$}
}
\pscurve[linewidth=2pt](-4,1)(-3,2.5)(-2,2)(0,-1)(2,2)(3,1)(4,-2)
\end{pspicture*}\]
\enmp
\hfill
\bgmp{9cm}\[%\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-4.6,-3.6)(4.6,3.6)
\psline{->}(-4.6,0)(4.6,0)
\psline{->}(0,-3.6)(0,3.6)
\multido{\i=-4+1}{9}{
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,4.2)
\rput(\i,-.4){$\i$}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(4.2,\i)
\rput[r](-.2,\i){$\i$}
}
\pscurve[linewidth=2pt](-4,-3)(-3,-1)(-2,0)(-1,1)(1,-1)(3,2)(4,1)
\end{pspicture*}\]
\enmp
\\[.5em]
Résoudre graphiquement dans chaque cas: \\
a) $f(x)=2$ \qquad
b) $f(x)=0$ \qquad
c) $f(x)=-3$ \qquad
d) $f(x)>1$ \qquad
e) $f(x)\geqslant0$ \qquad
f) $f(x)\leqslant-1$
\enex
\noindent\bgmp{11.5cm}
\bgex
On considère une fonction $f$ dont on conna\^it le tableau de variation ci-contre.
Indiquer, en le justifiant, pour chaque affirmation suivante si elle est vraie, fausse, ou si on ne peut pas savoir.
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}\[\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
$x$ & $-10$ && $-3$ && $2$ && 8 \\\hline
&&&2&&&&25\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&
\Large{$\searrow$}&&
\Large{$\nearrow$}&\\
&$-5$&&&&0&&\\
\hline\end{tabular}\]
\enmp
\medskip
a)\ $f(3)<f(6)$ \qquad b)\ $f(-2)<f(0)$
\qquad c)\ $f(-2,5)<f(2,5)$
\qquad
d)\ Pour tout $x\geqslant0$, $f(x)\geqslant0$ \quad
\bgex
Tracer dans un même repère les courbes représentatives des
fonctions
$f(x)=3x-2$ et $g(x)=-2x+3$.
\enex
\bgex
Tracer dans un même repère les courbes représentatives des fonctions
$f(x)=2x-3$ et $g(x)=x+1$.
Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point
d'intersection des deux courbes.
\enex
\bgex
On considère les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations
respectives $y=-2x-2$ et $y=x+2$.
Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point
d'intersection des deux droites.
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=-3x+2$.
Déterminer le sens de variation de $f$, puis donner son tableau de
variation.
\enex
\bgex
Soit la fonction $g$ définie par l'expression $g(x)=3x^2-2$.
Déterminer le sens de variation de $g$ sur les intervalles
$[-10;0]$ et $[0;10]$.
Donner alors le tableau de variation de la fonction $g$.
\enex
\bgex
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-10;10]$ par
l'expression $g(x)=(x-2)^2+3$.
\bgit
\item[1.] Etudier le sens de variation de $g$ sur les intervalles
$[-10;2]$ et $[2;10]$.
Donner le tableau de variation~de~$g$.
\item[2.] Déterminer le minimum de $g$.
\enit
\enex
\bgex
Soit la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[4;13]$ par
l'expression $\dsp \frac{1}{x-3}$.
Déterminer le sens de variation de $h$, puis donner le maximum et
le minimum de $h$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=3(x-2)^2+3$.
\bgen
\item Etudier les sens de variation de $f$ sur les intervalles
$]-\infty;2]$ et sur $[2;+\infty[$, puis dresser son tableau de
variation.
\item Donner alors les maxima ou minima éventuels de $f$.
\enen
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions:
\vspd
$\dsp f:x\mapsto\frac{1}{x+3}$ \qquad;\quad
$\dsp g:x\mapsto\frac{1}{x^2-9}$ \qquad;\quad
$\dsp h:x\mapsto\frac{1}{x^2-x}$ \qquad;\quad
$\dsp j:x\mapsto\frac{1}{(x-3)(x+7)}$
%\qquad;\quad
\vspd
$\dsp k:x\mapsto\sqrt{x-2}$ \qquad;\quad
$\dsp l:x\mapsto\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}$ \qquad;\quad
$\dsp m:x\mapsto\sqrt{(x-1)(x-5)}$
\enex
\bgex
Déterminer le signe des expressions suivantes:
\vspd
\begin{tabular}{ll}
$A(x)=(x-5)(x-12)$
&
$B(x)=(x-3)(2x+5)$
\\[0.3cm]
$C(x)=(x+6)(2x-8)(3x-9)$
\hspace{1cm}
&
$D(x)=(x-3)(-2x+6)$
\\[0.4cm]
$E(x)=\dfrac{x+6}{2x-16}$
\hspace{1cm}
&
$F(x)=\dfrac{2x-3}{-2x+6}$
\\[0.4cm]
$G(x)=(2x+3)(x-5)-(3x+5)(x-5)$
\hspace{1cm}
&
$H(x)=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{2}{x-3}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Résoudre les inéquations suivantes:
\vspd
\begin{tabular}{lll}
$(I_1):\ -3x+2<2x+3$
\hspace{1cm}
&
$(I_2):\ (3x-1)(x+2)\leqslant x(x+2)$
\hspace{1cm}
&
$(I_3):\ 2x^2>3x$
\\[0.2cm]
$(I_4):\ \dfrac{1}{4x-3}\leqslant \dfrac{2}{3x-4}$
&
$(I_5):\ \dfrac{2}{x+3}\geqslant 4$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions définies par les
expressions:
\vspd
$f(x)=\sqrt{(x-3)(-x+2)}$ \qquad;\quad
$g(x)=\sqrt{(x-3)(-x+2)+(x-3)(-4x+3)}$ \qquad;\quad
$h(x)=\dfrac{1}{(x+3)(2x-1)}$
\enex
\bgex
Dans une entreprise, pour $x$ objets produits et vendus, le
bénéfice est de:
\[B(x)=-2x^2-500x+70\,000\,.\]
\bgen
\item Montrer que pour tout $x$ réel,
$B(x)=(2x+700)(-x+100)$.
\item Pour quels nombres d'objets $x$, l'entreprise est-elle
rentable ?
\enen
\enex
\bgex
Dans une entreprise, la recette, en euros, obtenu pour la vente
journalière de $x$ objets est donnée par la fonction $f$ définie
sur $[0;50]$ par l'expression:
\[
f(x)=-x^2+52x-480\,.
\]
\bgen[a)]
\item Montrer que, pour tout $x\in[0;50]$,\quad
$f(x)=-(x-26)^2+196$.
\item Etudier le sens de variation de $f$ sur $[0;26]$ puis sur
$[26;50]$.
\item En déduire le bénéfice maximum que l'entreprise peut
réaliser et la quantité d'objets à vendre pour l'atteindre.
\enen
\enex
\bgex
Un projectile est lancé en l'air à un instant initial de date
$t=0$.
On établit que son altitude (en mètres) après $t$ secondes est
$h(t)=-5t^2+4t+1$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item A quelle altitude le projectile a-t-il été lancé ?
\item Quelle est l'altitude du projectile après une demie seconde ?
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que pour tout nombre réel $t$,
$h(t)=-(t-1)(5t+1)$
\item En déduire à quel instant le projectile touchera le sol.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que pour tout nombre réel $t$,
$h(t)=-5\lp t-\dfrac{2}{5}\rp^2+\dfrac{9}{5}$.
\item A l'aide de l'expression précédente, étudier les
variation de $h$ sur
$\Bigl]-\infty;\dfrac{4}{5}\Bigr]$ et sur
$\Bigr[\dfrac{4}{5};+\infty\Bigl[$.
Dresser le tableau de variation de la fonction $h$.
\item Déduire de ce qui précède la hauteur maximale atteinte par
le projectile.
\enen
\enen
\enex
\bgex{\bf Choisir une forme adaptée}
$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-2;5]$ par:
$f(x)=(3x-5)^2-4x^2$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
\item Développer l'expression de $f(x)$.
\enen
\item Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions
suivantes:
\bgen[a)]
\item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de la courbe
représentative de $f$ qui a pour abscisse~$\sqrt{2}$ ?
\item Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de
cette courbe avec les axes du repère ?
\item résoudre l'équation $f(x)=25$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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