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Description
Cours de mathématiques en 2nde: généralités sur les fonctions
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Exercices d'introduction
    • Langage et vocabulaire des fonctions
    • Programme de calcul
    • Eléments caractéristiques d'une fonction
  • Définition d'une fonction
  • Courbe représentative d'une fonction
  • Sens de variation d'une fonction
  • Maximum et minimum d'une fonction
  • Ensemble de définition d'une fonction
  • Tableau de signes
  • Exercices: fonctions en situation
  • Fonctions affines
Mots clé
Cours de mathématiques, fonction, généralités, 2nde
Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-func}
\usepackage{pstricks-add}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Fonctions mathématiques},
    pdftitle={Généralités sur les fonctions},
    pdfkeywords={mathématiques, cours, exercices, 
      fonctions, généralités} 
}
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    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}%
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}%
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\headheight=0cm
\textheight=25.5cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\parindent=0.2cm



\newcommand{\ct}{\centerline}
\newcommand{\ctbf}[1]{\ct{\bf #1}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Théorème:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}

\newenvironment{lemme}{\paragraph{Lemme:} \it}{}
\nwc{\bglem}{\begin{lemme}}\nwc{\enlem}{\end{lemme}}

\newtheorem{corol}{Corollaire}

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}

\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}

\nwc{\sectionc}[1]{\section{\ulr{#1}}}
\nwc{\subsectionc}[1]{\subsection{\ulr{#1}}}
\nwc{\subsubsectionc}[1]{\subsubsection{\ulr{#1}}}

\newenvironment{definitioncolor}{\bf{\ulb{Définition:}} \it}{}
\nwc{\bgdefc}{\begin{definitioncolor}}
\nwc{\enefc}{\end{definitioncolor}}


\newenvironment{propcolor}{\bf{\ulr{Propriété:}} \it}{}
\nwc{\bgpropc}{\begin{propcolor}}
\nwc{\enpropc}{\end{propcolor}}


\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Propriété}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ulb{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\lprop-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\exempletitle}{Ex}
\newlength{\lexpl}\settowidth{\lexpl}{\exempletitle:}
\nwc{\bgexpl}[1]{\paragraph{\ulg{\exempletitle:}} 
  \hspace{-1.5em}
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\lexpl-0.5em}{\it \ #1}
  \end{minipage}
}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Généralités sur les fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
%\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\voffset=0cm
\vspace*{-1.5cm}

\hspace{4cm}{\bf \huge{\TITLE}}
\hfill $2^{\text{nde}}$

\vspace*{-.5cm}

\paragraph{1 - Relevé de températures: courbes et fonctions}
Voici les relevés des températures de l'eau et de l'air, au bord d'un
lac de montagne, pendant 24 heures. 

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(30,31)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.5,0)(29,0)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-4.5)(0,30)
  \multido{\i=0+1}{29}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4)(\i,28)
  }
  \multido{\i=0+2}{15}{\rput(\i,-1){$\i$}}

  \multido{\i=-4+2}{17}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(28,\i)
    \rput(-0.8,\i){$\i$}
  }
  
  \pscurve[linewidth=1.2pt]
  (0,2)(3,-1)(6,0)(7,2)(8,6)(9,14)(10,20)
  (14.5,26)(22,6)(24,2)

  \pscurve[linewidth=1.2pt]
  (0,4)(6,2)(15.5,7.8)
  (22,4.2)(24,4)

  \rput(18.1,25.2){Air}\rput(18.8,23.2){$y=f(t)$}
  \rput(15.1,6.9){Eau}\rput(15.1,5){$y=g(t)$}
\end{pspicture}


On désigne respectivement par $f$ et par $g$ les fonctions mesurant la
température en degré Celsius de l'air et de l'eau, en fonction du
temps exprimé en heurs et désigné par la variable $t$. 

\vspd
\bgit
\item[1.] Traduire en langage courant les phrases suivantes: 

  \vspd
  \hspace*{-.8cm}
  \begin{tabular}{|c|p{9.2cm}|p{8.5cm}|}\hline
    & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage mathématique} }
    & \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}} \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(17)=24$} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{
      A 17 h, la température de l'air était de $24^\circ$~C.} 
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{L'image de $6$ par $g$ est 2.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 6 h, la température \ \dots}
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{c.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Quels sont les antécédents de $14$ par la fonction $f$ ?}
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A quelle heure\ \dots ? }
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{d.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Le maximum de la fonction $f$ est 26 }
    &
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Si $1<t<6$, alors $f(t)<0$. }
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 1 h et 6 h\ \dots}
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)=g(7)$ }
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 7 h, \ \dots}
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{g.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Résoudre $f(t)=g(t)$. }
    & 
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{h.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f$ est strictement décroissante sur $[14;24]$.}
    & 
    \\\hline
  \end{tabular}

  \vspq
\item[2.] Traduire en langage mathématique les phrases suivantes: 

  %\vspd
  \hspace{-.8cm}
  \begin{tabular}{|c|p{10cm}|p{8.5cm}|}\hline
    & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}} 
    & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage mathématique}}
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
      A minuit, la température de l'eau était de $4^\circ$ C.}
    & \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
      A quelle heure la température de l'eau est-elle de
      $4^\circ$~C ? } 
    & \\\hline
    \raisebox{0.3cm}[0.6cm]{c.} 
    &\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
      A 8 h, la température de l'eau était inférieure à celle de
      l'air. \enmp}
    & \\\hline
    \raisebox{0.3cm}[0.6cm]{d.} 
    &\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
      A quelles heures la température de l'air est-elle supérieure
      à celle de l'eau ? \enmp}
    & \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{La température minimale de l'eau est de
      $2^\circ$ C.}
    & \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 6 h et 15 h, la température de
      l'eau monte. }
    & \\\hline
  \end{tabular}
\enit

\clearpage
\thispagestyle{empty}
\voffset=0cm
\vspace*{-2cm}
\paragraph{2 - Programme de calcul: définition algébrique d'une fonction}
\ \\

\vspace{-0.4cm}
On considère le programme de calcul suivant: 
\vspd

\begin{tabular}{|l|*3{p{2.5cm}|}}\hline
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\noindent
\bgmp{4cm}Choisir un nombre\\ entier naturel\enmp} & 
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{10}} & 
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{5}} & 
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{$n$}} \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Multiplier par 2} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Ajouter 1} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Elever au carré} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Soustraire 1} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Multiplier par 3} &&&\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Résultat} & 
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{\ct{1320}} &&\\\hline
\end{tabular}


\vspq
\bgit
\item[1.] Compléter le tableau et montrer que le résultat, pour un
  nombre réel $x$ quelconque est $12x^2+12x$. 

  \vspt
\item[2.] On a ainsi défini la fonction $f$ par l'expression
  algébrique:  \ul{$f(x)=$\hspace{0.8cm}$\dots$\hspace{1.5cm}}

  \vspd
\item[3.] Quel est le résultat du programme si on introduit le nombre
  15 ?  le nombre $3,5$ ?

  \vspd
\item[4.] Quel nombre peut-on introduire de façon à ce que le résultat
  du programme soit nul ?
\enit


\vspace{-0.4cm}

\paragraph{3 - Une fonction et sa courbe}
\ \\

\vspace{-0.4cm}
A l'aide d'un sonar, un navire sonde le fond marin. 
Pour cela, il se déplace en suivant une ligne droite $d$ à partir d'un
point d'origine et il émet des salves d'ultrasons. 

Il mesure le temps qui s'écoule avant de recevoir l'écho des ultrasons
et en déduit la profondeur $h(x)$ de la mer sous le point situé à la
distance $x$ de son point d'origine. 

Le relevé est donné par le graphique suivant: 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-6.8)(10,1.8)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.5,0)(17,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-6.5)(0,1.5)
  \rput(-0.2,0.2){$0$}

  \multido{\i=-6+1}{6}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(16.2,\i)
    \rput(-0.8,\i){$\i$00}
  }
  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,1)(16.2,1)
  \rput(-0.8,1){100}

  \multido{\i=2+2}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-6.2)(\i,1.2)
    \rput(\i,0.2){$\i$0}
  }

  \pscurve[linewidth=1.2pt]
  (0,-0.8)(2,-1.5)(4,-3.2)
  (6,-5)(8,-3.8)(10,-4.2)(12,-5)
  (14,-5.5)(16,-5.1)
\end{pspicture}

\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Donner un titre, utilisant le terme fonction, au graphique, 
  et à ces axes.
  \vsp
\item[2.] Dresser le tableau de variations de la fonction $h$. 
  \vsp
\item[3.] Quelle est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 50 ? 
  d'abscisse 120 ? 
  \vsp
\item[4.] Quelle est l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée -200
  ? 
  d'ordonnée -400 ? 
  d'ordonnée -500 ?

  \vsp
\item[5.] Quels sont les extréma de le fonction $h$ ?
\enit

\clearpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2.cm}
%\voffset=2cm
\paragraph{4 - A propos des fonctions: éléments caractéristiques d'une
  fonction}\ \\

\vspace{-0.5cm}
On dispose au sujet d'une fonction numérique $f$ des renseignements
suivants: 

\bgit
\item[$\bullet$] L'ensemble de définition de $f$ est
  $\mathcal{D}_f=[-2;9]$

  \vspd
\item[$\bullet$] Un tableau de valeurs de $f$ est: 
  \begin{tabular}{|*{12}{c|}}\hline
    $x$ & $-2$ & $-1.5$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 &4 & 5 & 5,5 & 8,5 \\\hline
    $f(x)$ & 0 & 1,5 & 2,7 & 4 & 3 & 0 & $-2$ & $-3$ & $-2$ & $-1,5$ & $-2$ \\\hline
  \end{tabular}

  \vspd
\item[$\bullet$] Le tableau de variations de $f$: 
  \begin{tabular}{|c|*9{c}|}\hline
    $x$ & $-2$ && 0 && 4 && 7 && 9 \\\hline
    &&&4&&&&$-1$&&\\
    $f(x)$&&\Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$} &&
    \Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
    &0&&&&$-3$&&&&$-3$\\\hline
  \end{tabular}

  \vspd
\item[$\bullet$] On sait d'autre part que la représentation graphique
  de $f$, dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, est une courbe que
  l'on peut tracer sans lever le crayon, et dont on fournit l'extrait
  suivant: 

  \vspd
  \psset{unit=0.9cm}
  \begin{pspicture}(-8,-4.5)(10,5)
    \psline[linewidth=1.2pt](-8,0)(10,0)
    \psline[linewidth=1.2pt](0,-4)(0,5)
    \rput(-0.3,-0.3){$O$}
    \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{i}$}
    \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
    \multido{\i=-8+1}{19}{
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4)(\i,5)
    }
    
    \multido{\i=-4+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-8,\i)(10,\i)
    }
    
    \pscurve[linewidth=1.2pt]
    (-2,0)(-1.5,1.5)(-1,2.7)(-0.85,3)(-0.5,3.6)(0,4)
    (1,3)(1.5,1.6)(2,0)(3,-2)(4,-3)(5,-2)
  \end{pspicture}
\enit


\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Compléter le tableau suivant: 

  \vspd
  \hspace{-0.8cm}
  \begin{tabular}{|c|*3{p{5.2cm}|}}\hline
  & valeur trouvée & exacte ou approchée & renseignement(s) utilisé(s)
  \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-1)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-0,5)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(6)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(8)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-2,5)$} &&& \\\hline
\end{tabular}

  \vspd
\item[2.] Résoudre les équations proposées, en remplissant le tableau
  comme précédemment: 

  \vsp
  \hspace*{-0.9cm}
  \begin{tabular}{|c|*3{p{5.cm}|}}\hline
  & valeur(s) trouvée(s) & exacte(s) ou approchée(s) & renseignement(s) utilisé(s)
  \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=3$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-0,5$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-1$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2,5$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=5$} &&& \\\hline
\end{tabular}

\enit



\clearpage
\voffset=-1.cm

%\tableofcontents

  \sectionc{Définition d'une fonction}

  \bgdef{
    Une fonction $f$ est un procédé qui permet d'associer à tout
    nombre $x$, élément d'un ensemble $E$, un nombre unique noté
    $f(x)$. 

    L'élément $x$ de $E$ est appelé la \ul{variable}. \\
    %$E$ est \ul{l'ensemble de définition} de la fonction $f$.\\
    Le nombre $f(x)$ est \ul{l'image} de $x$ par la fonction $f$.\\
    Si $x$ vérifie $f(x)=y$, on dit que $x$ est un \ul{antécédent} de $y$.\\
    
    %On note $f : \la\bgar{ll} E\to \R \\ x\mapsto f(x) \enar\right.$
  }


  \bgexpl{ 
    Soit la fonction définie sur l'intervalle $[-3;5]$ par l'expression:
    $f(x)=x^2-x+2$. 

    %On note $f : \la\bgar{ll} [-3;5]\to \R \\ x\mapsto x^2-x+2 \enar\right.$

    L'ensemble de définition est $[-3;5]$.
    
    Le nombre 4 a pour image $f(4)=14$. 
    
    On calcule $f(0)=2$ et $f(1)=2$. Ainsi 0 et 1 sont deux
    antécédents de 2 par $f$. 
  }

  \bgexpl{
    Soit la fonction $f : x\mapsto x^2-x$
    
    Déterminer l'image de -5; 0; 3 et
    10, puis rechercher les antécédents de 0. 
  }
  

  \sectionc{Courbe représentative d'une fonction}

  \vspace*{-0.8cm}

  \bgmp{13.2cm}
  \bgdef{
    On appelle courbe représentative (ou représentation graphique) de
    la fonction $f$ l'ensemble des points $M$ du plan de coordonnées
    $(x,f(x))$, où $x$ parcourt l'ensemble de définition $E$ de $f$. 
    
    \vspd
    En d'autres termes, le point $M(x;y)$ est sur la courbe
    représentative de la fonction $f$ si et seulement si $y=f(x)$. 
  }
  \enmp\hspace*{0.4cm}
  \bgmp{5cm}  %\vspace*{-1.cm}
  \psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
  \begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,4)
    \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1.2,0)(4,0)
    \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,-1)(-.5,3.5)
    \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(0.1,0)
    \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(-.5,0.6)
    \rput(-0.7,-0.2){$O$}
    \psplot{-1}{3.2}{
      x x mul x mul x mul -0.12 mul 
      x x mul x mul 0.9 mul add
      x x mul 1.5 mul sub 
      1.6 add
    }
    \rput(3.5,3){$\mathcal{C}_f$}
    \psline[linestyle=dotted](2.9,0)(2.9,2.4)
    \psline[linestyle=dotted](-.5,2.4)(2.9,2.4)
    \rput(2.9,-.2){$x$}
    \rput(-1,2.4){$f(x)$}
    %
    \psline[linestyle=dotted](0.1,0)(0.1,1.6)
    \psline[linestyle=dotted](-.5,1.6)(0.1,1.6)
    \rput(0.1,-.2){\footnotesize{$1$}}
    \rput(-1,1.6){\footnotesize{$f(1)$}}
  \end{pspicture}
  \enmp

  \vsp
  \bgexpl{
    Soit la fonction $f$ définie par l'expression
    $f(x)=3x^2-2x+1$. 
    
    $A(1,2)$ est sur la courbe de $f$, car $f(1)=2$. 
    
    $B(-3,34)$ est sur la courbe de $f$, car $f(-3)=34$. 
    
    $C(2,4)$ n'est pas sur la courbe de $f$, car $f(2)=9\not=4$.
  }

\bgex
  On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions suivantes: 

  \bgit
  \item[$\bullet$] son ensemble de définition est $D=[-5;4]$;  
  \item[$\bullet$] les nombres $-4$ et $4$ ont la même image $3$; 
  \item[$\bullet$] les solutions de l'équation $f(x)=-2$ sont $1$ et
    $2$; 
  \item[$\bullet$] le nombre $-5$ est un antécédent de $0$ par $f$; 
  \item[$\bullet$] $f(-2)=-1$, $f(0)=-3$ et $f(3)=0,5$. 
  \enit

  \vspd
  Tracer une courbe pouvant représenter la fonction $f$. 
\enex


  \bgdef{
    Un tableau de valeurs pour une fonction $f$ donne la
    correspondance entre des valeurs de la variable $x$ et les valeurs
    de son image $f(x)$. 
  }

  \bgexpl{
    Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-5;4]$
    par: $\dsp f(x)=\frac{1}{4}x^2-2x+1$
    
    \hspace*{1cm}
    \begin{tabular}{*{12}{|c}|}\hline
      x & $-5$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ &$1$ &$2$&$3$&$4$ \\\hline
      \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp\frac{69}{4}$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$13$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp\frac{37}{4}$}
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$6$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp\frac{13}{4}$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$1$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp-\frac{3}{4}$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$-2$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp-\frac{11}{4}$} 
      & \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$-3$}  \\\hline
    \end{tabular}
  }
    
  \vspd 
  
  \ul{Remarque :} On peut choisir des valeurs quelconques de la
  variable $x$ dans l'ensemble de définition de $f$, ou un écart
  régulier; on appelle alors ``pas'' cet écart. 

  \bgex
    Soit la fonction $f$ définie par l'expression
    $f(x)=-3x+2$. 
    
    \bgen
    \item
    Dire si les points suivants appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

    $A(1;-1)$
    \qquad
    $B(-3;11)$
    \qquad
    $C(2;4)$
    \qquad
    $D(-5;17)$
    \qquad
    $E(-2;-8)$
    \qquad
    $F\lp\dfrac12;\dfrac12\rp$
    \item 
      Donner deux autres points appartenant à $\mathcal{C}_f$. 
    \item Placer tous ces points dans un repère du plan, 
      et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$. 
    \enen
  \enex

  \vsp
  \bgex
    Soit la fonction $f$ définie par l'expression
    $f(x)=3x^2-2x+1$. 
    
    \bgen
    \item
    Dire si les points suivants appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

    $A(1;2)$
    \qquad
    $B(-3;34)$
    \qquad
    $C(2;4)$
    \qquad
    $D(5;66)$
    \qquad
    $E(-2;16)$
    \qquad
    $F\lp\dfrac12;\dfrac34\rp$
    \item 
      Donner deux autres points appartenant à $\mathcal{C}_f$. 
    \enen
  \enex

  \bgex
  Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
  $f(x)=2x^2-x$. 

  \bgen
  \item Compléter le tableau de valeurs: 
    
    \begin{tabular}{|*{8}{p{1.4cm}|}}\hline
      $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
      \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)$} &&&&&
      \\\hline
    \end{tabular}

  \item Placer tous ces points dans un repère du plan, 
    et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$. 

  \item Donner, à partir de ce graphique, 
    le tableau de variation de la fonction $f$. 

    Quel est le minimum de la fonction $f$ ?

  \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ à l'aide de la calculatrice,
    et chercher alors une valeur plus précise pour ce minimum. 
  \enen
  \enex

  
  \vspace*{-0.6cm}
  \sectionc{Sens de variation des fonctions}

  \subsectionc{Définition}

  \bgdef{
    On dit qu'une fonction $f$ est croissante (respectivement
    décroissante) sur un intervalle $E$ lorsqu'elle conserve
    (respectivement inverse) l'ordre sur cet intervalle. 

    Cela signifie que, pour tout couple $(a,b)$ d'éléments de $E$, si
    $a<b$ alors, $f(a)\leq f(b)$ (respectivement $f(a)\geq f(b)$). 
  }

  %\hspace*{2cm}
  \bgmp{8cm}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,4)
    \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1.2,0)(4,0)
    \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,-1)(-.5,3.5)
    \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(0.1,0)
    \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(-.5,0.6)
    \rput(-0.7,-0.2){$O$}
    \psplot{0.1}{3.}{
      x x mul 0.3 mul 
      0.6 add
    }
    \rput(3.2,3){$\mathcal{C}_f$}
    \psline[linestyle=dotted](0.7,0)(0.7,0.75)
    \psline[linestyle=dotted](-.5,0.75)(0.7,0.75)
    \rput(0.7,-.2){$a$}
    \rput(-1,0.75){$f(a)$}
    \psline[linestyle=dotted](2.45,0)(2.45,2.4)
    \psline[linestyle=dotted](-.5,2.4)(2.45,2.4)
    \rput(2.45,-.2){$b$}
    \rput(-1,2.4){$f(b)$}
  \end{pspicture}
  
  Pour tout couple $(a,b)$ tel que $a<b$, 

  $f(a)<f(b)$ : 
  la fonction $f$ est croissante.
  \enmp \hspace{2cm}
  \bgmp{8cm}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,4)
    \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1.2,0)(4,0)
    \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,-1)(-.5,3.5)
    \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(0.1,0)
    \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(-.5,0.6)
    \rput(-0.7,-0.2){$O$}
    \psplot{0.2}{3.}{
      x 3 sub x 3 sub mul 0.25 mul
      .5 add
    }
    \rput(3.2,0.8){$\mathcal{C}_f$}
    \psline[linestyle=dotted](.5,0)(.5,2.05)
    \psline[linestyle=dotted](-.5,2.05)(0.5,2.05)
    \rput(0.5,-.2){$a$}
    \rput(-1,2.05){$f(a)$}
    \psline[linestyle=dotted](2.,0)(2.,0.75)
    \psline[linestyle=dotted](-.5,0.75)(2.,0.75)
    \rput(2.,-.2){$b$}
    \rput(-1,0.75){$f(b)$}
  \end{pspicture}
  
  Pour tout couple $(a,b)$ tel que $a<b$, 

  $f(a)>f(b)$ : 
  la fonction $f$ est décroissante.
  \enmp


  \vspace{0.5cm}
  \bgexpl{
    Soit la fonction affine $f$ définie par : 
    $f(x)= 3x+2$ 
    
    Soit $(a,b)$ un couple d'éléments de $\R$ tel que $a<b$. 
    Alors $3a<3b$, et donc $3a+2<3b+2$, c'est-à-dire $f(a)<f(b)$. 
    Donc, \ul{$f$ est croissante sur $\R$.} 
  }
  
  \subsectionc{Nombres et ordre}
  
  \bgdef{
    Soit a et b deux nombres réels. 
    On dit que 
    \bgit 
    \item[$\bullet$] a est inférieur à b, et on note $a<b$ si
      $a-b<0$. 
    \item[$\bullet$] a est supérieur à b, et on note $a>b$ si
      $a-b>0$.
    \enit
  }

  \vspd
  \bgexpl{
    $2<3$ car $2-3=-1<0$\,;\ $-5>-6$ car $-5-(-6)=1>0$
  }
  
  \bgprop{
    Si $a<b$ et $b<c$, alors $a<c$. 
  }

  \bgexpl{
    $-1<0$ et $0<3$, donc $-1<3$\,;
    %\hspace{0.8cm} 
    $\sqrt{2}<2$ et $\pi>2$, donc $\sqrt{2}<\pi$\,;
  
    \hspace{0.8cm} $\dsp\frac{2}{3}<1$ et $\dsp\frac{12}{11}>1$, donc
    $\dsp \frac{2}{3}<\frac{12}{11}$ 
  }

  \bgprop{{\it (Comparaison des carrés)}\ \ 
    \bgmp[t]{8cm}
    \bgit
    \item[$\bullet$] Si $a>0$, $b>0$ et $a<b$ alors $a^2<b^2$. 
    \item[$\bullet$] Si $a<0$, $b<0$ et $a<b$, alors $a^2>b^2$.
    \enit\enmp
  }
  
  \vspd
  \ul{Démonstration:}  
  $\bullet$ Si $a>0$ et $b>0$, et $a<b$ alors, 
  $a^2-b^2=\underbrace{\lp a+b\rp}_{>0}\underbrace{\lp a-b\rp}_{>0}<0$, 
  d'où, $a^2<b^2$. 
  
  \hspace*{2.95cm}
  $\bullet$ Si $a<0$ et $b<0$, et $a<b$ alors, 
  $a^2-b^2=\underbrace{\lp a+b\rp}_{<0}\underbrace{\lp a-b\rp}_{<0}>0$, 
  d'où, $a^2>b^2$. 

  
  \vspd 
  \bgexpl{
    $\bullet$ $3<5$ donc $3^2<5^2$ \hspace{2.61cm}
    $\bullet$ $2<\pi$ donc $\sqrt{2}<\sqrt{\pi}$ et 
    $\frac{1}{\pi}<\frac{1}{2}$
    
    $\bullet$ $-5<-3$ mais $(-5)^2>(-3)^2$ \hspace{1cm} 
    $\bullet$ $-3<2$ mais $-\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$
  }
  
  \bgprop{{\it (Comparaison des racines carrées)} 
    Si $a>0$, $b>0$ et $a<b$ alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.
  }

  \ul{Démonstration:} 
  $\sqrt{a}-\sqrt{b}
  =\frac{\lp\sqrt{a}-\sqrt{b}\rp\lp\sqrt{a}+\sqrt{b}\rp}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}
  =\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}<0$ 


  \bgprop{{\it (Comparaison des inverses)}
    \ul{Si $a$ et $b$ sont de même signe}, et $a<b$ alors 
    $\dsp\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.
  }
  
  \ul{Démonstration:}\ \ 
  $\dsp\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}>0$.


  \bgprop{
    Si $a<b$ et $c<d$ alors $a+c<b+d$. 
  }

  \bgprop{
    Soit $a<b$. Si $c>0$ alors $ac<bc$. 
    Si $c<0$ alors $ac>bc$.
  }
  
  \vspd
  \bgexpl{
    $2<3$ alors $2\tm 2<3\tm 2$ mais $-2>-3$
  }
  
  \bgprop{
    Si a, b, c et d sont des nombres \ul{positifs} et si $a<b$ et
    $c<d$ alors $ac<bd$.
  }
  
  \vspd
  \bgexpl{  
    $\bullet$ $3<5$ et $\pi<4$, donc $3\pi<20$ \hspace{1cm}
    $\bullet$ $-4<5$ et $-2<-1$, mais $8>-5$  
  }
  
  \bgprop{
    Si $0<a<1$ alors $a^3<a^2<a$. 
    Si $a>1$ alors, $a^3>a^2>a$. 
  }

  

       
  \subsectionc{Etude du sens de variation de fonctions}

  $\bullet$ Soit la fonction affine $f$ définie par $f(x)=-2x+3$.  
  
  Soit $(a,b)$ un couple d'éléments de $\R$ tel que $a<b$. 
  Alors $-3a>-3b$, et donc $-3a+2>-3b+2$, c'est-à-dire
  $f(a)>f(b)$. 
  
  Donc, $f$ est décroissante sur $\R$. 
  

  \vspd
  $\bullet$ Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=3x^2-2$. 
  Montrer que $g$ est décroissante sur $\R^-$, et croissante sur
  $\R^+$. 


  On résume ces résultats dans \ulb{un tableau de variation}: 
  \begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
    $x$    & $-\infty$&           & 0  &     &$+\infty$ \\\hline
    $f(x)$ &          &           &$-2$&     & \\
           &          &$\nearrow$ &    & $\searrow$ &
    \\\hline
  \end{tabular}

  

  \bgdef{
    On dit qu'une fonction $f$ est monotone sur un intervalle $I$
    lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante sur cet
    intervalle. 
  }

  \bgexpl{ 
    La fonction $g$ précédente est monotone sur $]-\infty;0]$ et sur
    $[0;+\infty[$. 
	
	Par contre, $g$ n'est pas monotone sur $]-\infty;+\infty[=\R$. 
  }

  \bgex
  Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=-3x+2$. 

  Déterminer le sens de variation de $f$, puis donner son tableau de
  variation. 
  \enex

  \bgex
  Soit la fonction $g$ définie par l'expression $g(x)=3x^2-2$. 
  
  Déterminer le sens de variation de $g$ sur les intervalles 
  $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$. 

  Donner alors le tableau de variation de la fonction $g$. 
  \enex



  \sectionc{Maximum et minimum d'une fonction} 


  \bgdef{
    On appelle maximum de $f$, lorsqu'il existe, le nombre $f(a)$ tel
    que : pour tout nombre réel $x$ de $E$, $f(x)\leq f(a)$.

    On appelle minimum de $f$, lorsqu'il existe, le nombre $f(b)$ tel
    que : pour tout nombre réel $x$ de $E$, $f(x)\geq f(b)$.
  }
  
  \ul{Illustration \dots}


  \vspq
  \bgmp{14cm}
  \bgprop{
    Si une fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[a;b]$, et
    décroissante sur l'intervalle $[b;c]$, alors elle admet sur
    l'intervalle $[a;c]$ un maximum, atteint en $x=b$ et égal à $f(b)$. 
  }
  \enmp\hspace{0.4cm}
  \bgmp{4cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
    $x$ & $a$ && $b$ && $c$ \\\hline
    %&&&&&\\
    \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$f$} & 
    \psline{->}(0,0)(0.7,0.6) &&
    \raisebox{0.5cm}[0.8cm]{\small$f(b)$}
    &\psline{->}(-0.2,0.6)(0.5,0)&\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp

  \vspd
  \ul{Demonstration:} $f$ est croissante sur $[a;b]$, donc pour tout
  $x\in[a;b]$, on a $f(x)\leq f(b)$.

  De même, $f$ est décroissante sur $[b;c]$, donc pour tout
  $x\in[b;c]$, on a $f(x)\leq f(b)$. 

  Finalement, $f(x)\leq f(b)$ pour tout $x\in[a;c]$. 


  \vspd
  \bgmp{14cm}
  \bgprop{
    Si une fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[a;b]$, et
    croissante sur l'intervalle $[b;c]$, alors elle admet sur
    l'intervalle $[a;c]$ un minimum atteint pour $x=b$ et égal à $f(b)$. 
  }
  \enmp\hspace{0.4cm}
  \bgmp{4cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
    $x$ & $a$ && $b$ && $c$ \\\hline
    %&&&&&\\
    \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$f$} & 
    \psline{->}(0,0.6)(0.7,0.) &&
    \raisebox{0.cm}[0.8cm]{\small$f(b)$}
    &\psline{->}(-0.2,0.)(0.5,0.6)&\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp


  \bgex
    Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-10;10]$ par
    l'expression $g(x)=(x-2)^2+3$. 

    \bgen
    \item Etudier le sens de variation de $g$ sur les intervalles 
      $[-10;2]$ et $[2;10]$. 

      Donner le tableau de variation de $g$. 

    \item Déterminer le minimum de $g$. 
    \enen
  \enex

  \bgex
    Soit la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[4;13]$ par
    l'expression $\dsp \frac{1}{x-3}$. 

    Déterminer le sens de variation de $h$, puis donner le maximum et
    le minimum de $h$. 
  \enex

  \bgex
    Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression 
    $f(x)=3(x-2)^2+3$. 

    \bgen
    \item Etudier les sens de variation de $f$ sur les intervalles 
      $]-\infty;2]$ et sur $[2;+\infty[$, puis dresser son tableau de
          variation. 

    \item Donner alors les maxima ou minima éventuels de $f$.
    \enen
  \enex

  \sectionc{Ensemble de définition d'une fonction}


  \subsectionc{Définition}
  
  \bgdef{
    On appelle ensemble de définition de la fonction $f$ l'ensemble
    des valeurs que peut prendre la variable $x$ dans le calcul de
    $f(x)$. 
  }


  \bgexpl{
    Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1;6]$ par
    l'expression $f(x)=3x^2-1$. 

    L'ensemble de définition de $f$ est $[-1;6]$; 
    pour tout nombre $x$ de $[-1;6]$ le nombre $f(x)$ existe. 
  }

  \bgexpl{
    Soit la fonction $g$ définie par l'expression
    $g(x)=\frac{1}{x}$. 

    Pour pouvoir calculer $g(x)$, le nombre $x$ ne doit pas être égal
    à zéro. 

    L'ensemble de définition de $f$ est $\R^*=\R\setminus\la0\ra$. 
  }

  \bgexpl{
    Soit la fonction $h:x\mapsto \sqrt{x}$. 

    Pour pouvoir calculer $h(x)$, le nombre $x$ ne doit pas être
    négatif. 

    L'ensemble de définition de $h$ est donc $]0;+\infty[$.
  }

  \bgex
    Déterminer l'ensemble de définition des fonctions: 
  
    \vspd

    $\dsp f:x\mapsto\frac{1}{x+3}$ \qquad;\quad
    $\dsp g:x\mapsto\frac{1}{x^2-9}$ \qquad;\quad
    $\dsp h:x\mapsto\frac{1}{x^2-x}$ \qquad;\quad
    $\dsp j:x\mapsto\frac{1}{(x-3)(x+7)}$ 
    %\qquad;\quad

    \vspd
    $\dsp k:x\mapsto\sqrt{x-2}$ \qquad;\quad    
    $\dsp l:x\mapsto\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}$ \qquad;\quad
    $\dsp m:x\mapsto\sqrt{(x-1)(x-5)}$

  \enex

  \subsectionc{Tableau de signes}

  \bgexpl{
    Déterminer le signe de l'expression $A(x)=(x-1)(x-5)$. 

    \vspace{-0.4cm}
    \ul{Signe de $x-1$:} 
    \bgmp[t]{4cm}
    $x-1<0$ pour $x<1$ \\
    $x-1>0$ pour $x>1$
    \enmp
    \bgmp{10cm}
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(0,-0.7)(6,2)
      \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(8.3,0)
      \psline[linewidth=0.5pt](4,-0.15)(4,0.15)\rput(4,0.5){$0$}
      \psline[linewidth=0.5pt](5,-0.15)(5,0.15)\rput(5,0.5){$1$}
      \rput(4,1){\fbox{$x-1$}}
      \rput(2,0.6){\textcolor{blue}{$-$}}
      \rput(6,0.6){\textcolor{green}{$+$}}
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0.1)(5,0.1)
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green](5,0.1)(8,0.1)
    \end{pspicture}
    \enmp

    \vspace{-0.6cm}
    \ul{Signe de $x-3$:} 
    \bgmp[t]{4cm}
    $x-3<0$ pour $x<3$ \\
    $x-3>0$ pour $x>3$
    \enmp
    \bgmp{10cm}
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(0,-0.7)(6,2)
      \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(8.3,0)
      \psline[linewidth=0.5pt](4,-0.15)(4,0.15)\rput(4,0.5){$0$}
      \psline[linewidth=0.5pt](6.5,-0.15)(6.5,0.15)\rput(6.5,0.5){$3$}
      \rput(4,1){\fbox{$x-3$}}
      \rput(2,0.6){\textcolor{blue}{$-$}}
      \rput(7.5,0.6){\textcolor{green}{$+$}}
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0.1)(6.5,0.1)
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green](6.5,0.1)(8,0.1)
    \end{pspicture}
    \enmp

    \ul{Signe du produit $A(x)=(x-1)(x-3)$:} 
    \bgmp{10cm}
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(0.3,-0.7)(6,2)
      \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(8.3,0)
      \psline[linewidth=0.5pt](4,-0.15)(4,0.15)\rput(4,0.5){$0$}
      \psline[linewidth=0.5pt](5,-0.15)(5,0.15)\rput(5,0.5){$1$}
      \psline[linewidth=0.5pt](6.5,-0.15)(6.5,0.15)\rput(6.5,0.5){$3$}
      \rput(4,1.4){\fbox{$A(x)=(x-1)(x-3)$}}
      \rput(2,0.6){\textcolor{green}{$+$}}
      \rput(5.5,0.6){\textcolor{blue}{$-$}}
      \rput(7.5,0.6){\textcolor{green}{$+$}}
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green](0,0.1)(5,0.1)
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](5,0.1)(6.5,0.1)
      \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green](6.5,0.1)(8,0.1)
    \end{pspicture}
    \enmp

    On présente ces calculs et résultats dans un tableau: 

    \ct{
    \begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
      $x$  &$-\infty$&   &$1$&   &$3$&   & $+\infty$ \\\hline
      $x-1$&         &$-$&\zb&$+$&$|$&$+$& \\
      $x-3$&         &$-$&$|$&$-$&\zb&$+$& \\\hline
      $A(x)$&        &$+$&\zb&$-$&\zb&$+$& \\\hline 
    \end{tabular}
    }
  }

  \bgex
    Déterminer le signe des expressions suivantes: 
    \vspd

    \begin{tabular}{ll}
      $A(x)=(x-5)(x-12)$
      &
      $B(x)=(x-3)(2x+5)$
      \\[0.3cm]
      $C(x)=(x+6)(2x-8)(3x-9)$
      \hspace{1cm}
      &
      $D(x)=(x-3)(-2x+6)$
      \\[0.4cm]
      $E(x)=\dfrac{x+6}{2x-16}$
      \hspace{1cm}
      &
      $F(x)=\dfrac{2x-3}{-2x+6}$
      \\[0.4cm]
      $G(x)=(2x+3)(x-5)-(3x+5)(x-5)$
      \hspace{1cm}
      &
      $H(x)=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{2}{x-3}$
    \end{tabular}
  \enex

  \bgex
    Résoudre les inéquations suivantes: 
    \vspd

    \begin{tabular}{lll}
      $(I_1):\ -3x+2<2x+3$ 
      \hspace{1cm}
      &
      $(I_2):\ (3x-1)(x+2)\leqslant x(x+2)$ 
      \hspace{1cm}
      &
      $(I_3):\ 2x^2>3x$
      \\[0.2cm]
      $(I_4):\ \dfrac{1}{4x-3}\leqslant \dfrac{2}{3x-4}$
      &
      $(I_5):\ \dfrac{2}{x+3}\geqslant 4$
    \end{tabular}
  \enex


  \bgex
  Déterminer l'ensemble de définition des fonctions définies par les
  expressions: 
  
  \vspd
  $f(x)=\sqrt{(x-3)(-x+2)}$ \qquad;\quad
  $g(x)=\sqrt{(x-3)(-x+2)+(x-3)(-4x+3)}$ \qquad;\quad
  $h(x)=\dfrac{1}{(x+3)(2x-1)}$
  \enex

  

  \sectionc{Quelques fonctions mises en situation}


  \bgex
    Dans une entreprise, pour $x$ objets produits et vendus, le
    bénéfice est de: 
    \[B(x)=-2x^2-500x+70\,000\,.\]
    \bgen
      \item Montrer que pour tout $x$ réel, 
        $B(x)=(2x+700)(-x+100)$. 
      \item Pour quels nombres d'objets $x$, l'entreprise est-elle
        rentable ? 
    \enen
  \enex


  \bgex
    Dans une entreprise, la recette, en euros, obtenu pour la vente
    journalière de $x$ objets est donnée par la fonction $f$ définie
    sur $[0;50]$ par l'expression: 
    \[
    f(x)=-x^2+52x-480\,.
    \]
    \bgen[a)]
    \item Montrer que, pour tout $x\in[0;50]$,\quad
      $f(x)=-(x-26)^2+196$. 
    \item Etudier le sens de variation de $f$ sur $[0;26]$ puis sur
      $[26;50]$. 
    \item En déduire le bénéfice maximum que l'entreprise peut
      réaliser et la quantité d'objets à vendre pour l'atteindre. 
    \enen
  \enex


  \bgex
    Un projectile est lancé en l'air à un instant initial de date
    $t=0$. 

    On établit que son altitude (en mètres) après $t$ secondes est 
    $h(t)=-5t^2+4t+1$. 
    
    \bgen
    \item 
      \bgen[a)]  
      \item A quelle altitude le projectile a-t-il été lancé ? 
      \item Quelle est l'altitude du projectile après une demie seconde ? 
      \enen
    \item 
      \bgen[a)] 
      \item Montrer que pour tout nombre réel $t$, 
        $h(t)=-(t-1)(5t+1)$
      \item En déduire à quel instant le projectile touchera le sol. 
      \enen
    \item 
      \bgen[a)] 
      \item Montrer que pour tout nombre réel $t$, 
        $h(t)=-5\lp t-\dfrac{2}{5}\rp^2+\dfrac{9}{5}$. 
      \item A l'aide de l'expression précédente, étudier les
        variation de $h$ sur  
        $\Bigl]-\infty;\dfrac{4}{5}\Bigr]$ et sur 
        $\Bigr[\dfrac{4}{5};+\infty\Bigl[$.

        Dresser le tableau de variation de la fonction $h$. 
      \item Déduire de ce qui précède la hauteur maximale atteinte par
        le projectile. 
      \enen
    \enen
  \enex




\bgex{\bf Choisir une forme adaptée} 

  $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-2;5]$ par: 
$f(x)=(3x-5)^2-4x^2$. 

  \bgen
  \item 
    \bgen[a)] 
    \item Factoriser l'expression de $f(x)$. 
    \item Développer l'expression de $f(x)$. 
    \enen
  \item Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions
    suivantes: 
    \bgen[a)] 
    \item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de la courbe
      représentative de $f$ qui a pour abscisse~$\sqrt{2}$ ? 
    \item Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de
      cette courbe avec les axes du repère ? 
    \item résoudre l'équation $f(x)=25$. 
    \enen
  \enen
\enex



  \sectionc{Fonctions affines}
  
  \bgdef{
    Une fonction affine est une fonction $f$, définie sur $\R$, dont
    l'expression $f(x)$ peut s'écrire $f(x)=ax+b$, $a$ et $b$ étant deux
    réels fixés. 
  }
  
  \bgexpl{
    $f(x)=3x+2$, $\dsp f(x)=\frac{x+2}{3}=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$
    sont affines.
    
    $\dsp f(x)=\frac{2}{x}-3$ et $f(x)=5-2x^2$ ne sont pas affines. 
  }

  \vspd
  \ul{Représentation graphique :} 
  \bgmp[t]{13cm}La courbe représentative de la
  fonction affine $f(x)=ax+b$ est la droite d'équation $y=ax+b$. \enmp

  \bgex
    Tracer dans un même repère les courbes représentatives des
    fonctions 
    $f(x)=3x-2$ et $g(x)=-2x+3$. 
  \enex

  \bgdef{
    $a$ est le coefficient directeur de la droite, $b$ est l'ordonnée
    à l'origine.     
  }


  \hspace*{1cm}
  \bgmp{8cm}
  Si $a>0$, la fonction est croissante sur $\R$.

  \[\begin{tabular}{|c|lcr|}\hline
    $x$    & $-\infty$&           &$+\infty$ \\\hline
    $f(x)$ \rule[-0.4cm]{0.cm}{1.cm}& &\Large{$\nearrow$} &    \\\hline
  \end{tabular}\]
  \enmp
  \hspace*{0.5cm}
  \rule[-1.2cm]{0.2pt}{2.4cm}
  \hspace*{0.5cm}
  \bgmp{8cm}
  Si $a<0$, la fonction est décroissante sur $\R$.
  
  \[\begin{tabular}{|c|lcr|}\hline
      $x$    & $-\infty$&           &$+\infty$ \\\hline
      $f(x)$\rule[-0.4cm]{0.cm}{1.cm} & &\Large{$\searrow$} &    \\\hline
  \end{tabular}\]
  \enmp

\bgex
Tracer dans un même repère les courbes représentatives des fonctions 
$f(x)=2x-3$ et $g(x)=x+1$. 

Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point
d'intersection des deux courbes. 
\enex


\bgex
On considère les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations 
respectives $y=-2x-2$ et $y=x+2$. 

Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point
d'intersection des deux droites. 
\enex

\bigskip
\hrulefill
\medskip

\bgexpl{{\bf Utiliser le vocabulaire des fonctions} 

  On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions suivantes: 

  \bgit
  \item[$\bullet$] son ensemble de définition est $D=[-5;4]$;  
  \item[$\bullet$] les nombres $-4$ et $4$ ont la même image $3$; 
  \item[$\bullet$] les solutions de l'équation $f(x)=-2$ sont $1$ et
    $2$; 
  \item[$\bullet$] le nombre $-5$ est un antécédent de $0$ par $f$; 
  \item[$\bullet$] $f(-2)=-1$, $f(0)=-3$ et $f(3)=0,5$. 
  \enit

  Tracer une courbe pouvant représenter la fonction $f$. 
}


\bgexpl{{\bf Choisir une forme adaptée} 

  $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-2;5]$ par: 
  \[
  f(x)=(3x-5)^2-4x^2\ .
  \]

  \bgen
  \item 
    \bgen[a)] 
    \item Factoriser l'expression de $f(x)$. 
    \item Développer l'expression de $f(x)$. 
    \enen
  \item Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions
    suivantes: 
    \bgen[a)] 
    \item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de la courbe
      représentative de $f$ qui a pour abscisse~$\sqrt{2}$ ? 
    \item Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de
      cette courbe avec les axes du repère ? 
    \item résoudre l'équation $f(x)=25$. 
    \enen
  \enen

}

\label{LastPage}
\end{document}

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