Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours de mathématiques: généralités sur les fonctions},
pdftitle={Généralités sur les fonctions},
pdfkeywords={mathématiques, cours, exercices,
fonctions, généralités}
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}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}%
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}%
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\topmargin=-1.8cm
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\textwidth=19cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\parindent=0.2cm
\newcommand{\ct}{\centerline}
\newcommand{\ctbf}[1]{\ct{\bf #1}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Théorème:} \it}{}
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\newenvironment{lemme}{\paragraph{Lemme:} \it}{}
\nwc{\bglem}{\begin{lemme}}\nwc{\enlem}{\end{lemme}}
\newtheorem{corol}{Corollaire}
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\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\sectionc}[1]{\section{\ulr{#1}}}
\nwc{\subsectionc}[1]{\subsection{\ulr{#1}}}
\nwc{\subsubsectionc}[1]{\subsubsection{\ulr{#1}}}
\newenvironment{definitioncolor}{\bf{\ulb{Définition:}} \it}{}
\nwc{\bgdefc}{\begin{definitioncolor}}
\nwc{\enefc}{\end{definitioncolor}}
\newenvironment{propcolor}{\bf{\ulr{Propriété:}} \it}{}
\nwc{\bgpropc}{\begin{propcolor}}
\nwc{\enpropc}{\end{propcolor}}
\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
}
\nwc{\proptitle}{Propriété}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ulb{\proptitle:}}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\lprop-2em}{\it #1}
\end{minipage}
}
\nwc{\exempletitle}{Exemple}
\newlength{\lexpl}\settowidth{\lexpl}{\exempletitle:}
\nwc{\bgexpl}[1]{\paragraph{\ulg{\exempletitle:}}
\hspace{-1em}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\lexpl-0.5em}{\it \ #1}
\end{minipage}
}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Généralités sur les fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\voffset=-1cm
%\vspace*{1.5cm}
\ct{\bf \huge{\TITLE}}
\vspace{2em}
\ct{\Large Seconde}
%\[\psset{unit=.5cm,arrowsize=8pt}
%\newcommand{\f}[1]{2.718 -.5 #1 -2 add mul exp 3 mul 1 add}
%\begin{pspicture}(-10,-10)(10,10)
%\psline{->}(-10,0)(10,0)
%\psline{->}(0,-10)(0,10)
%\psset{linecolor=[rgb]{0,0,0}}
%\psplot{-7.2}{0}{x .65 mul}
%\psplot{-7.2}{0}{-.65 x mul}
%\psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{0}{9.4}{\f{x}}
%\psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{0}{9.4}{\f{x} -1 mul}
%\psset{linecolor=[rgb]{0,0,1}}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul .8 mul}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul .6 mul}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul .4 mul}
%\psplot[plotpoints=100]{0}{9.6}{x 3.14 div 180 mul 4 mul sin \f{x} mul .2 mul}
%
%\psset{linecolor=[rgb]{0,.1,1}}
%\renewcommand{\f}[1]{#1 1 mul}
%\newcommand{\g}[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul 6 div exp 3 mul}
%\multido{\i=1+1}{7}{
% \psplot[plotpoints=500]{-10}{10}{x 5 add \f{\i} add 3.14 div 180 mul 4 mul cos \g{x 5 add} mul}
%}
%\psplot[plotpoints=100]{-10}{10}{-.1 x 2 exp mul 10 add}
%\psplot[plotpoints=100]{-10}{10}{.1 x 2 exp mul -10 add}
%\end{pspicture}\]
\vspace{2em}
\[\psset{xunit=.5cm,yunit=.3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-10,-3.2)(10,3.2)
\psset{linecolor=[rgb]{0,.1,1}}
\newcommand{\f}[1]{#1 1 mul}
\renewcommand{\g}[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul 6 div exp 3 mul}
\multido{\i=1+1}{7}{
\psplot[plotpoints=500]{-10}{10}{x 5 add \f{\i} add 3.14 div 180 mul 4 mul cos \g{x} mul}
}
\end{pspicture}\]
\vspace{-2em}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\normalsize
\tableofcontents
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize
\vspace{2em}
\[\psset{xunit=.5cm,yunit=.3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-10,-3.2)(10,3.2)
\psset{linecolor=[rgb]{0,.1,1}}
\newcommand{\f}[1]{#1 1 mul}
\renewcommand{\g}[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul 6 div exp 3 mul}
\multido{\i=1+1}{7}{
\psplot[plotpoints=500]{-10}{10}{x 5 add \f{\i} add 3.14 div 180 mul 4 mul cos \g{x} mul}
}
\end{pspicture}\]
\clearpage
\thispagestyle{empty}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\blue Premiers exercices}
\voffset=0cm
\vspace*{-1.5cm}
\vspace*{-.5cm}
\bgex\textbf{Relevé de températures: courbes et fonctions}\\
Voici les relevés des températures de l'eau et de l'air, au bord d'un
lac de montagne, pendant 24 heures.
\[\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.25cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-3,-5)(28,29)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.5,0)(27.5,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-4.5)(0,30.5)
\multido{\i=0+1}{27}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,28.4)
}
\multido{\i=0+2}{14}{\rput(\i,-1){$\i$}}
\multido{\i=-4+2}{17}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(26.4,\i)
\rput(-0.8,\i){$\i$}
}
\pscurve[linewidth=1.4pt](0,2)(3,-1)(6,0)(7,2)(8,6)(9,14)(10,20)(14.5,26)(22,6)(24,2)
\pscurve[linewidth=1.4pt](0,4)(6,2)(15.5,7.8)(22,4.2)(24,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](17.8,22)(21.2,22)(21.2,26.5)(17.8,26.5)
\rput(19,25.2){Air}\rput(19.5,23.2){$y=f(t)$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](13.3,2.6)(17,2.6)(17,6.5)(13.3,6.5)
\rput(15.1,5.6){Eau}\rput(15.1,3.7){$y=g(t)$}
\end{pspicture}
\]
On désigne respectivement par $f$ et par $g$ les fonctions mesurant la
température en degré Celsius de l'air et de l'eau, en fonction du
temps exprimé en heurs et désigné par la variable $t$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Traduire en langage courant les phrases suivantes:
\vspd
\hspace*{-1cm}
\begin{tabular}{|c|p{10cm}|p{8.5cm}|}\hline
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage mathématique} }
& \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}} \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(17)=24$}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{
A 17 h, la température de l'air était de $24^\circ$~C.}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{L'image de $6$ par $g$ est 2.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 6 h, la température \ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{c.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Quels sont les antécédents de $14$ par la fonction $f$ ?}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A quelle heure\ \dots ? }
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{d.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Le maximum de la fonction $f$ est 26 }
&
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Si $1<t<6$, alors $f(t)<0$. }
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 1 h et 6 h\ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)=g(7)$ }
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 7 h, \ \dots}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{g.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Résoudre $f(t)=g(t)$. }
&
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{h.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f$ est strictement décroissante sur $[14;24]$.}
&
\\\hline
\end{tabular}
\vspq
\item[2.] Traduire en langage mathématique les phrases suivantes:
\vspd
\hspace{-1cm}
\begin{tabular}{|c|p{10cm}|p{8.5cm}|}\hline
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}}
&
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage mathématique}}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
A minuit, la température de l'eau était de $4^\circ$ C.}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
A quelle heure la température de l'eau est-elle de
$4^\circ$~C ? }
& \\\hline
\raisebox{0.3cm}[0.6cm]{c.}
&\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
A 8 h, la température de l'eau était inférieure à celle de
l'air. \enmp}
& \\\hline
\raisebox{0.3cm}[0.6cm]{d.}
&\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
A quelles heures la température de l'air est-elle supérieure
à celle de l'eau ? \enmp}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{La température minimale de l'eau est de
$2^\circ$ C.}
& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.}
&\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 6 h et 15 h, la température de
l'eau monte. }
& \\\hline
\end{tabular}
\enit
\enex
\clearpage
\thispagestyle{empty}
\voffset=0cm
\vspace*{-2cm}
\bgex\textbf{Programme de calcul: définition algébrique d'une fonction}
\ \\
\vspace{-0.4cm}
On considère le programme de calcul suivant:
\vspd
\begin{tabular}{|l|*3{p{2.5cm}|}}\hline
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\noindent
\bgmp{4cm}Choisir un nombre\\ entier naturel\enmp} &
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{10}} &
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{5}} &
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{$n$}} \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Multiplier par 2} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Ajouter 1} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Elever au carré} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Soustraire 1} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Multiplier par 3} &&&\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Résultat} &
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{\ct{1320}} &&\\\hline
\end{tabular}
\vspq
\bgit
\item[1.] Compléter le tableau et montrer que le résultat, pour un
nombre réel $x$ quelconque est $12x^2+12x$.
\vspt
\item[2.] On a ainsi défini la fonction $f$ par l'expression
algébrique: \ul{$f(x)=$\hspace{0.8cm}$\dots$\hspace{1.5cm}}
\vspd
\item[3.] Quel est le résultat du programme si on introduit le nombre
15 ? le nombre $3,5$ ?
\vspd
\item[4.] Quel nombre peut-on introduire de façon à ce que le résultat
du programme soit nul ?
\enit
\enex
%\vspace{-0.4cm}
\bgex\textbf{Une fonction et sa courbe}
\ \\
\vspace{-0.4cm}
A l'aide d'un sonar, un navire sonde le fond marin.
Pour cela, il se déplace en suivant une ligne droite $d$ à partir d'un
point d'origine et il émet des salves d'ultrasons.
Il mesure le temps qui s'écoule avant de recevoir l'écho des ultrasons
et en déduit la profondeur $h(x)$ de la mer sous le point situé à la
distance $x$ de son point d'origine.
Le relevé est donné par le graphique suivant:
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-6.8)(10,1.8)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.5,0)(17,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-6.5)(0,1.5)
\rput(-0.2,0.2){$0$}
\multido{\i=-6+1}{6}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(16.2,\i)
\rput(-0.8,\i){$\i$00}
}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,1)(16.2,1)
\rput(-0.8,1){100}
\multido{\i=2+2}{8}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-6.2)(\i,1.2)
\rput(\i,0.2){$\i$0}
}
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(0,-0.8)(2,-1.5)(4,-3.2)
(6,-5)(8,-3.8)(10,-4.2)(12,-5)
(14,-5.5)(16,-5.1)
\end{pspicture}
\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Donner un titre, utilisant le terme fonction, au graphique,
et à ces axes.
\vsp
\item[2.] Dresser le tableau de variations de la fonction $h$.
\vsp
\item[3.] Quelle est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 50 ?
d'abscisse 120 ?
\vsp
\item[4.] Quelle est l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée -200
?
d'ordonnée -400 ?
d'ordonnée -500 ?
\vsp
\item[5.] Quels sont les extréma de le fonction $h$ ?
\enit
\enex
\clearpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2.cm}
%\voffset=2cm
\bgex\textbf{A propos des fonctions: éléments caractéristiques d'une
fonction}\ \\
\vspace{-0.5cm}
On dispose au sujet d'une fonction numérique $f$ des renseignements
suivants:
\bgit
\item[$\bullet$] L'ensemble de définition de $f$ est
$\mathcal{D}_f=[-2;9]$
\vspd
\item[$\bullet$] Un tableau de valeurs de $f$ est:
\begin{tabular}{|*{12}{c|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1.5$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 &4 & 5 & 5,5 & 8,5 \\\hline
$f(x)$ & 0 & 1,5 & 2,7 & 4 & 3 & 0 & $-2$ & $-3$ & $-2$ & $-1,5$ & $-2$ \\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[$\bullet$] Le tableau de variations de $f$:
\begin{tabular}{|c|*9{c}|}\hline
$x$ & $-2$ && 0 && 4 && 7 && 9 \\\hline
&&&4&&&&$-1$&&\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$} &&
\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&0&&&&$-3$&&&&$-3$\\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[$\bullet$] On sait d'autre part que la représentation graphique
de $f$, dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, est une courbe que
l'on peut tracer sans lever le crayon, et dont on fournit l'extrait
suivant:
\vspd
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-8,-4.5)(10,5)
\psline[linewidth=1.2pt](-8,0)(10,0)
\psline[linewidth=1.2pt](0,-4)(0,5)
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
\multido{\i=-8+1}{19}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4)(\i,5)
}
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-8,\i)(10,\i)
}
\pscurve[linewidth=1.2pt]
(-2,0)(-1.5,1.5)(-1,2.7)(-0.85,3)(-0.5,3.6)(0,4)
(1,3)(1.5,1.6)(2,0)(3,-2)(4,-3)(5,-2)
\end{pspicture}
\enit
\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Compléter le tableau suivant:
\vspd
\hspace{-0.8cm}
\begin{tabular}{|c|*3{p{5.2cm}|}}\hline
& valeur trouvée & exacte ou approchée & renseignement(s) utilisé(s)
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-1)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-0,5)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(6)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(8)$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-2,5)$} &&& \\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[2.] Résoudre les équations proposées, en remplissant le tableau
comme précédemment:
\vsp
\hspace*{-0.9cm}
\begin{tabular}{|c|*3{p{5.cm}|}}\hline
& valeur(s) trouvée(s) & exacte(s) ou approchée(s) & renseignement(s) utilisé(s)
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=3$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-0,5$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-1$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2,5$} &&& \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=5$} &&& \\\hline
\end{tabular}
\enit
\enex
\clearpage
\voffset=-1.cm
%\tableofcontents
\sectionc{Définition d'une fonction}
\bgdef{
Soit $D$ un ensemble de nombres réels, par exemple un intervalle. \\
Une fonction $f$ est un procédé qui permet d'associer à tout
nombre $x$ de l'ensemble $D$, un nombre unique noté
$f(x)$. }
\noindent
\bgmp{12.5cm}
\textit{L'ensemble $D$ est l'\textbf{\blue ensemble de définition} de la fonction~$f$. \\
Le nombre $f(x)$ est \textbf{\blue l'image} de $x$ par la fonction $f$.\\
Si $x$ vérifie $f(x)=y$, on dit que $x$ est un \textbf{\blue antécédent} de $y$.\\
%On note $f : \la\bgar{ll} E\to \R \\ x\mapsto f(x) \enar\right.$
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{pspicture}(.2,-1.2)(5.8,.4)
\psline{->}(.4,0)(1.5,0)\rput(.5,.2){$x$}
\pspolygon(1.5,-.6)(3,-.6)(3,.6)(1.5,.6)
\psline{->}(3,0)(3.8,0)\rput[l](3.8,.2){$y=f(x)$}
\rput(2.2,0){$f$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\bgexpl{
Soit la fonction définie sur l'intervalle $[-3;5]$ par l'expression:
$f(x)=x^2-x+2$.
%On note $f : \la\bgar{ll} [-3;5]\to \R \\ x\mapsto x^2-x+2 \enar\right.$
L'ensemble de définition est $D=[-3;5]$.
Le nombre 4 a pour image $f(4)=(4)^2-(4)+2=14$.
On peut calculer de m\^eme $f(0)=2$ et $f(1)=2$. Ainsi 0 et 1 sont deux
antécédents de 2 par $f$.
}
\bgexpl{Soit la fonction $f : x\mapsto x^2-x$\\
Déterminer l'image de -5; 0; 3 et
10, puis rechercher les antécédents de 0.
\medskip
\textit{(Réponses: les images sont 30, 0, 6, 90. \\
Les antécédents de 0 sont les nombres $x$ tels que
$f(x)=0\iff x^2-x=0$ puis, après factorisation et équation produit nul,
on trouve deux antécédents: 0 et 1.)}
}
\sectionc{Courbe représentative d'une fonction}
\vspace*{-0.8cm}
\bgmp{13.2cm}
\bgdef{
On appelle courbe représentative (ou représentation graphique) de
la fonction $f$ l'ensemble des points $M$ du plan de coordonnées
$(x,f(x))$, où $x$ parcourt l'ensemble de définition $E$ de $f$.
\vspd
En d'autres termes, le point $M(x;y)$ est sur la courbe
représentative de la fonction $f$ si et seulement si $y=f(x)$.
}
\enmp\hspace*{0.4cm}
\bgmp{5cm} %\vspace*{-1.cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1.2,0)(4,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,-1)(-.5,3.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(0.1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(-.5,0.6)
\rput(-0.7,-0.2){$O$}
\psplot{-1}{3.2}{
x x mul x mul x mul -0.12 mul
x x mul x mul 0.9 mul add
x x mul 1.5 mul sub
1.6 add
}
\rput(3.5,3){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dotted](2.9,0)(2.9,2.4)
\psline[linestyle=dotted](-.5,2.4)(2.9,2.4)
\rput(2.9,-.2){$x$}
\rput(-1,2.4){$f(x)$}
%
\psline[linestyle=dotted](0.1,0)(0.1,1.6)
\psline[linestyle=dotted](-.5,1.6)(0.1,1.6)
\rput(0.1,-.2){\footnotesize{$1$}}
\rput(-1,1.6){\footnotesize{$f(1)$}}
\end{pspicture}
\enmp
\vsp
\bgexpl{
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=3x^2-2x+1$.
$A(1,2)$ est sur la courbe de $f$, car $f(1)=2$.
$B(-3,34)$ est sur la courbe de $f$, car $f(-3)=34$.
$C(2,4)$ n'est pas sur la courbe de $f$, car $f(2)=9\not=4$.
}
\bgex
On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions suivantes:
\bgit
\item[$\bullet$] son ensemble de définition est $D=[-5;4]$;
\item[$\bullet$] les nombres $-4$ et $4$ ont la même image $3$;
\item[$\bullet$] les solutions de l'équation $f(x)=-2$ sont $1$ et
$2$;
\item[$\bullet$] le nombre $-5$ est un antécédent de $0$ par $f$;
\item[$\bullet$] $f(-2)=-1$, $f(0)=-3$ et $f(3)=0,5$.
\enit
\vspd
Tracer une courbe pouvant représenter la fonction $f$.
\enex
\bgdef{
Un tableau de valeurs pour une fonction $f$ donne la
correspondance entre des valeurs de la variable $x$ et les valeurs
de son image $f(x)$.
}
\bgexpl{
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-5;4]$
par: $\dsp f(x)=\frac{1}{4}x^2-2x+1$
\hspace*{1cm}
\begin{tabular}{*{12}{|c}|}\hline
x & $-5$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ &$1$ &$2$&$3$&$4$ \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp\frac{69}{4}$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$13$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp\frac{37}{4}$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$6$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp\frac{13}{4}$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$1$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp-\frac{3}{4}$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$-2$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp-\frac{11}{4}$}
& \raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$-3$} \\\hline
\end{tabular}
}
\vspd
\ul{Remarque :} On peut choisir des valeurs quelconques de la
variable $x$ dans l'ensemble de définition de $f$, ou un écart
régulier; on appelle alors ``pas'' cet écart.
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=-3x+2$.
\bgen
\item
Dire si les points suivants appartiennent à $\mathcal{C}_f$:
$A(1;-1)$
\qquad
$B(-3;11)$
\qquad
$C(2;4)$
\qquad
$D(-5;17)$
\qquad
$E(-2;-8)$
\qquad
$F\lp\dfrac12;\dfrac12\rp$
\item
Donner deux autres points appartenant à $\mathcal{C}_f$.
\item Placer tous ces points dans un repère du plan,
et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\enen
\enex
\vsp
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=3x^2-2x+1$.
\bgen
\item
Dire si les points suivants appartiennent à $\mathcal{C}_f$:
$A(1;2)$
\qquad
$B(-3;34)$
\qquad
$C(2;4)$
\qquad
$D(5;66)$
\qquad
$E(-2;16)$
\qquad
$F\lp\dfrac12;\dfrac34\rp$
\item
Donner deux autres points appartenant à $\mathcal{C}_f$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=2x^2-x$.
\bgen
\item Compléter le tableau de valeurs: \quad
\begin{tabular}{|*{8}{p{1.4cm}|}}\hline
$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)$} &&&&&
\\\hline
\end{tabular}
\item Placer tous ces points dans un repère du plan,
et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item Donner, à partir de ce graphique,
le tableau de variation de la fonction $f$.
Quel est le minimum de la fonction $f$ ?
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ à l'aide de la calculatrice,
et chercher alors une valeur plus précise pour ce minimum.
\enen
\enex
\vspace*{1em}
\sectionc{Sens de variation des fonctions}
\subsectionc{Définition}
\vspace*{1em}
\bgdef{
On dit qu'une fonction $f$ est croissante (respectivement
décroissante) sur un intervalle $I$ lorsqu'elle conserve
(respectivement inverse) l'ordre sur cet intervalle.
\medskip
Cela signifie que, pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$, si
$a<b$ alors, $f(a)\leq f(b)$ (respectivement $f(a)\geq f(b)$).
}
%\hspace*{2cm}
\bgmp{8cm}
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1.2,0)(4,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,-1)(-.5,3.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(0.1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(-.5,0.6)
\rput(-0.7,-0.2){$O$}
\psplot{0.1}{3.}{x x mul 0.3 mul 0.6 add}
\rput(3.2,3){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dotted](0.7,0)(0.7,0.75)
\psline[linestyle=dotted](-.5,0.75)(0.7,0.75)
\rput(0.7,-.2){$a$}
\rput(-1,0.75){$f(a)$}
\psline[linestyle=dotted](2.45,0)(2.45,2.4)
\psline[linestyle=dotted](-.5,2.4)(2.45,2.4)
\rput(2.45,-.2){$b$}
\rput(-1,2.4){$f(b)$}
\end{pspicture}\]
La fonction $f$ est croissante:\\
pour tous $a$, $b$, \\[-1em]
\[a<b \iff f(a)<f(b)\]
\hspace{4em}\ulr{$f$ conserve l'ordre}
\enmp \hspace{2cm}
\bgmp{8cm}
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-.6)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1.2,0)(4,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-.5,-.5)(-.5,3.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(0.1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-.5,0)(-.5,0.6)
\rput(-0.7,-0.2){$O$}
\psplot{0.2}{3.}{x 3 sub x 3 sub mul 0.25 mul .5 add}
\rput(3.2,0.8){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linestyle=dotted](.5,0)(.5,2.05)
\psline[linestyle=dotted](-.5,2.05)(0.5,2.05)
\rput(0.5,-.2){$a$}
\rput(-1,2.05){$f(a)$}
\psline[linestyle=dotted](2.,0)(2.,0.75)
\psline[linestyle=dotted](-.5,0.75)(2.,0.75)
\rput(2.,-.2){$b$}
\rput(-1,0.75){$f(b)$}
\end{pspicture}\]
La fonction $f$ est décroissante:\\
pour tous $a$, $b$ \\[-1.4em]
\[a<b \iff f(a)>f(b)\]
\hspace{4em}\ulr{$f$ inverse l'ordre}
\enmp
\vspace{0.5cm}
\bgexpl{
Soit la fonction affine $f$ définie par :
$f(x)= 3x+2$
Soit $(a,b)$ un couple d'éléments de $\R$ tel que $a<b$.
Alors $3a<3b$, et donc $3a+2<3b+2$, c'est-à-dire $f(a)<f(b)$.
Donc, \ul{$f$ est croissante sur $\R$.}
}
\bgex
Dresser dans les deux cas suivant le tableau de variation de la fonction $f$ représentée par la courbe données. \\[-1em]
\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm,arrowsize=8pt}
\bgmp{9cm}\[%\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-4.6,-3.6)(4.6,3.6)
\psline{->}(-4.6,0)(4.6,0)
\psline{->}(0,-3.6)(0,3.6)
\multido{\i=-4+1}{9}{
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,4.2)
\rput(\i,-.4){$\i$}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(4.2,\i)
\rput[r](-.2,\i){$\i$}
}
\pscurve[linewidth=2pt](-4,1)(-3,2.5)(-2,2)(0,-1)(2,2)(3,1)(4,-2)
\end{pspicture*}\]
\enmp
\hfill
\bgmp{9cm}\[%\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-4.6,-3.6)(4.6,3.6)
\psline{->}(-4.6,0)(4.6,0)
\psline{->}(0,-3.6)(0,3.6)
\multido{\i=-4+1}{9}{
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,4.2)
\rput(\i,-.4){$\i$}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](-4.2,\i)(4.2,\i)
\rput[r](-.2,\i){$\i$}
}
\pscurve[linewidth=2pt](-4,-3)(-3,-1)(-2,0)(-1,1)(1,-1)(3,2)(4,1)
\end{pspicture*}\]
\enmp
\\[.5em]
Résoudre graphiquement dans chaque cas: \\
a) $f(x)=2$ \qquad
b) $f(x)=0$ \qquad
c) $f(x)=-3$ \qquad
d) $f(x)>1$ \qquad
e) $f(x)\geqslant0$ \qquad
f) $f(x)\leqslant-1$
\enex
\noindent\bgmp{11.5cm}
\bgex
On considère une fonction $f$ dont on conna\^it le tableau de variation ci-contre.
Indiquer, en le justifiant, pour chaque affirmation suivante si elle est vraie, fausse, ou si on ne peut pas savoir.
\enex
\enmp
\bgmp{8cm}\[\begin{tabular}{|c|*7{c}|}\hline
$x$ & $-10$ && $-3$ && $2$ && 8 \\\hline
&&&2&&&&25\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&
\Large{$\searrow$}&&
\Large{$\nearrow$}&\\
&$-5$&&&&0&&\\
\hline\end{tabular}\]
\enmp
\medskip
a)\ $f(3)<f(6)$ \qquad b)\ $f(-2)<f(0)$
\qquad c)\ $f(-2,5)<f(2,5)$
\qquad
d)\ Pour tout $x\geqslant0$, $f(x)\geqslant0$ \quad
\clearpage
\subsectionc{Ordre et fonctions de référence}
\bgprop{Transitivité des inégalités\\
Si $a<b$ et $b<c$, alors $a<c$.}
\bgexpl{
$-1<0$ et $0<3$, donc $-1<3$\,;
%\hspace{0.8cm}
$\sqrt{2}<2$ et $\pi>2$, donc $\sqrt{2}<\pi$\,;
\hspace{0.8cm} $\dsp\frac{2}{3}<1$ et $\dsp\frac{12}{11}>1$, donc
$\dsp \frac{2}{3}<\frac{12}{11}$
Comparer $\dfrac{1234}{1235}$ et $\dfrac{45\,627}{45\,626}$.
}
\bgprop{Addition d'inégalités\\[.3em]
\bgmp{3cm}Si \ $a<b$\\ et \ $c<d$\enmp alors $a+c<b+d$.
}
\bgprop{Multiplication d'inégalités {\red\ul{positives}}\\[.5em]
Si $0<a<b$ et
$0<c<d$ alors $ac<bd$.
}
\bgexpl{
$\bullet$ $3<5$ et $\pi<4$, donc $3\pi<20$ \hspace{1cm}
$\bullet$ $-4<5$ et $-2<-1$, mais $8>-5$
}
\bgprop{Ajout d'un nombre\\
Si $a<b$ alors $a+c<b+c$}
\bgexpl{
$3<17$ donc $6=3+3<17+3=20$.
\\
$x-3<6$ donc $x<9$ en ajoutant 3. \\
$6x+7>0$ donc $6x>-7$ en ajoutant $-7$ (ou soustrayant 7).
}
\bgdef{Une fonction linéaire est une fonction dont l'expression peut s'écrire sous la forme \mbox{$f(x)=ax$}, avec $a$ un nombre réel.}
\bigskip
Tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
x & $0$&$1$\\\hline
$f(x)$&0&$a$\\\hline
\end{tabular}
\quad et sa courbe, si $a>0$ \hspace{-1.2em}
\bgmp[t]{4cm}\[\psset{xunit=.8cm,yunit=.45cm,arrowsize=7pt}
\newcommand{\f}[1]{#1 1.6 mul}
\begin{pspicture}(0,-3)(3,3)
\psline{->}(-2.5,0)(3.2,0)
\psline{->}(0,-3)(0,4)
\psline(1,-.2)(1,.2)\rput[r](-.2,1){1}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(1,-.7){1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2.1}{2.8}{\f{x}}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1.6)(0,1.6)\rput[r](-.3,1.6){$a$}
\psline[linecolor=green]{->}(1.5,2.4)(2.5,2.4)
\psline[linecolor=green]{->}(2.5,2.4)(2.5,4.1)
\rput(2,1.8){1}\rput[l](2.7,3){$a$}
\end{pspicture}
\]
\enmp
et si $a<0$ \hspace{-1em}
\bgmp[t]{4cm}\[\psset{xunit=.8cm,yunit=.45cm,arrowsize=8pt}
\newcommand{\f}[1]{#1 -1.6 mul}
\begin{pspicture}(0,-3)(3,3)
\psline{->}(-2.5,0)(3.2,0)
\psline{->}(0,-3)(0,4)
\psline(1,-.2)(1,.2)\rput[r](-.2,1){1}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(1,-.7){1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2.1}{2.8}{\f{x}}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,-1.6)(0,-1.6)\rput[r](-.3,-1.6){$a$}
\psline[linecolor=green]{->}(1.5,-2.4)(2.5,-2.4)
\psline[linecolor=green]{->}(2.5,-2.4)(2.5,-4.1)
\rput(2,-1.8){1}\rput[l](2.7,-3){$a$}
\end{pspicture}
\]
\enmp
\vspace{-2cm}
Le coefficient $a$ s'appelle
le \textbf{\ulg{coefficient directeur}} de la droite.
\vspace{1cm}
\bgprop{{\it Multiplication d'une inégalité par un nombre}\\
Soit $a<b$, alors
\bgen[$\bullet$]
\item Si $c>0$ alors $ac<bc$
\item Si $c<0$ alors $ac>bc$
\enen
}
\vspd
\bgexpl{
$2<3$ alors $2\tm 2<3\tm 2$ mais $-2>-3$
}
\clearpage
\bgdef{Une fonction affine est une fonction dont l'expression peut s'écrire sous la forme \mbox{$f(x)=ax+b$}, avec $a$ et $b$ deux nombres réels.}
\bigskip
Tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
x & $0$&$1$\\\hline
$f(x)$&b&$a+b$\\\hline
\end{tabular}
\quad et sa courbe, si $a>0$ \hspace{-1.2em}
\bgmp[t]{4cm}\[\psset{xunit=.8cm,yunit=.45cm,arrowsize=7pt}
\newcommand{\f}[1]{#1 1.6 mul 1 add}
\begin{pspicture}(0,-3)(3,3)
\psline{->}(-2.5,0)(3.2,0)
\psline{->}(0,-3)(0,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2.1}{2.8}{\f{x}}
\rput[r](-.2,1.3){$b$}
\psline[linecolor=green]{->}(1,2.4)(2,2.4)
\psline[linecolor=green]{->}(2,2.4)(2,4.1)
\rput(1.5,1.8){1}\rput[l](2.2,3){$a$}
\end{pspicture}
\]
\enmp
et si $a<0$ \hspace{-1em}
\bgmp[t]{4cm}\[\psset{xunit=.8cm,yunit=.45cm,arrowsize=8pt}
\newcommand{\f}[1]{#1 -1.6 mul 1 add}
\begin{pspicture}(0,-3)(3,3)
\psline{->}(-2.5,0)(3.2,0)
\psline{->}(0,-3)(0,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-1.5}{2.8}{\f{x}}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,-1.6)(0,-1.6)\rput[r](-.2,.8){$b$}
\psline[linecolor=green]{->}(1.5,-1.2)(2.5,-1.2)
\psline[linecolor=green]{->}(2.5,-1.2)(2.5,-2.9)
\rput(2,-.8){1}\rput[l](2.8,-2){$a$}
\end{pspicture}
\]
\enmp
\vspace{-2cm}
Le coefficient $a$ s'appelle
le \textbf{\ulg{coefficient directeur}} de la droite.
\medskip
Le coefficient $b$ s'appelle
l'\textbf{\ulg{ordonnée à l'origine}} de la droite.
\bgexpl{
$f(x)=3x+2$, $\dsp f(x)=\frac{x+2}{3}=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$
sont affines.
$\dsp f(x)=\frac{2}{x}-3$ et $f(x)=5-2x^2$ ne sont pas affines.
}
\vspd
\ulg{\bf Représentation graphique :}
\bgmp[t]{13cm}La courbe représentative de la
fonction affine $f(x)=ax+b$ est la droite d'équation $y=ax+b$. \enmp
\bgex
Tracer dans un même repère les courbes représentatives des
fonctions
$f(x)=3x-2$ et $g(x)=-2x+3$.
\enex
\bgex
Tracer dans un même repère les courbes représentatives des fonctions
$f(x)=2x-3$ et $g(x)=x+1$.
Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point
d'intersection des deux courbes.
\enex
\bgex
On considère les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations
respectives $y=-2x-2$ et $y=x+2$.
Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point
d'intersection des deux droites.
\enex
\bgdef{La fonction carré est la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=x^2$.}
\bigskip
Tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
x & $-3$&$-2$&$-1$&0&1&2&3\\\hline
$f(x)$&9&4&1&0&1&4&9\\\hline
\end{tabular}
\quad et sa courbe :
\bgmp[t]{8cm}\[\psset{xunit=.8cm,yunit=.45cm,arrowsize=8pt}
\newcommand{\f}[1]{#1 2 exp}
\begin{pspicture}(0,-1)(3,8)
\psline{->}(-3.2,0)(3.2,0)
\psline{->}(0,-1)(0,10)
%\rput(-.2,-.6){$O$}
\psline(1,-.2)(1,.2)\rput[r](-.2,1){1}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(1,-.7){1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-3.1}{3.1}{x 2 exp}
\multido{\i=-3+1}{7}{
\psline(\i,.2)(\i,-.2)\psline[linestyle=dotted](\i,0)(!\i\space\f{\i})(!0\space\f{\i})
\rput(!\i\space\f{\i}){$\tm$}
\rput(\i,-.7){$\i$}
}
\rput[r](-.3,4){4}
\rput[r](-.3,9){9}
\end{pspicture}
\]
\enmp
\vspace{-3cm}
La courbe représentative de la fonction carré est une \textbf{\color{blue}{\underline{parabole}}}.
\bgprop{{\it Comparaison des carrés}
\bgit
\item[$\bullet$] Si $a>0$, $b>0$ et $a<b$ alors $a^2<b^2$.
\item[$\bullet$] Si $a<0$, $b<0$ et $a<b$, alors $a^2>b^2$.
\enit
}
\vspace{.4cm}
\bgexpl{
$\bullet$ $3<5$ donc $3^2<5^2$ \qquad
$\bullet$ $2<\pi$ donc $2^2<\pi^2$ \qquad
$\bullet$ $-5<-3$ mais $(-5)^2>(-3)^2$
}
\bgdef{La fonction racine carrée est la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=\sqrt{x}$.}
\bigskip
Tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
x &0&1&2&4&9\\\hline
$f(x)$&0&1&$\sqrt2$&2&9\\\hline
\end{tabular}
\quad
et sa courbe :
\bgmp[t]{8cm}\[\psset{xunit=.6cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\newcommand{\f}[1]{#1 .5 exp}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,2.4)
\psline{->}(-.6,0)(11,0)
\psline{->}(0,-.5)(0,3.5)
\rput(-.3,-.4){$O$}
\psline(1,-.2)(1,.2)\rput[r](-.2,1){1}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(1,-.4){1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=100]{0}{10}{x .5 exp}
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,1)(0,1)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(!2\space\f{2})(!0\space\f{2})
\psline(-.1,1.4)(.1,1.4)\rput[r](!-.2\space\f{2}){$\sqrt2$}
\psline(2,-.1)(2,.1)\rput(2,-.4){2}
%
\psline[linestyle=dotted](4,0)(!4\space\f{4})(!0\space\f{4})
\psline(-.1,2)(.1,2)\rput[r](!-.2\space\f{4}){$2$}
\psline(4,-.1)(4,.1)\rput(4,-.4){4}
%
\psline[linestyle=dotted](9,0)(!9\space\f{9})(!0\space\f{9})
\psline(-.1,3)(.1,3)\rput[r](!-.2\space\f{9}){$3$}
\psline(9,-.1)(9,.1)\rput(9,-.4){9}
\rput(1,1){$\tm$}
\rput(2,1.4){$\tm$}
\rput(4,2){$\tm$}
\rput(9,3){$\tm$}
\end{pspicture}
\]\enmp
\vspace{-2.5cm}
\bgprop{{\it Comparaison des racines carrées} \\
Pour $a>0$ et $b>0$, si $a<b$ alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.
}
\bigskip
\ul{Démonstration:}
$\sqrt{a}-\sqrt{b}
=\dfrac{\lp\sqrt{a}-\sqrt{b}\rp\lp\sqrt{a}+\sqrt{b}\rp}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}
=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}<0$
\bgdef{La fonction inverse est la fonction définie sur $\R^*=\R\setminus\la0\ra$ par l'expression $f(x)=\dfrac1x$.}
\bigskip
Tableau de valeurs: \renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|*{11}{c|}}\hline
x &$-4$&$-3$&$-2$&$-1$&\red0&1&2&3&4\\\hline
$f(x)$&$-\dfrac14$&$-\dfrac13$&$-\dfrac12$&$-1$&\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](-.3,-.3)(.3,-.3)(.3,.7)(-.3,.7)
&1&$\dfrac12$&$\dfrac13$&$\dfrac14$\\\hline
\end{tabular}
\quad
et sa courbe :
\bgmp[t]{8cm}\[\psset{xunit=.6cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\newcommand{\f}[1]{1 #1 div}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,2.)
\psline{->}(-5.5,0)(5.5,0)
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\rput(-.3,-.4){$O$}
\psline(1,-.2)(1,.2)\rput[r](-.2,1){1}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(1,-.4){1}
%
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=100]{.4}{6}{\f{x}}
\multido{\i=1+1}{4}{
\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){$\i$}
\psline[linestyle=dotted](\i,0)(!\i\space\f{\i})(!0\space\f{\i})
\rput(!\i\space\f{\i}){$\tm$}
}
%
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=100]{-6}{-.4}{\f{x}}
\multido{\i=-4+1}{4}{
\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){$\i$}
\psline[linestyle=dotted](\i,0)(!\i\space\f{\i})(!0\space\f{\i})
\rput(!\i\space\f{\i}){$\tm$}
}
\end{pspicture}
\]\enmp
\vspace{-2cm}
\bgprop{{\it Comparaison des inverses}\\
Si $a$ et $b$ sont de même signe, et $a<b$ alors
$\dfrac1a>\dfrac1b$.
}
\medskip
\ul{Démonstration:}\ \
$\dfrac1a-\dfrac1b=\dfrac{b-a}{ab}>0$.
\vspd
\bgexpl{
$\bullet$ $2<\pi$ donc $\dfrac12>\dfrac1\pi$
$\bullet$ $-3<2$ mais $-\dfrac13<\dfrac12$
}
\bgprop{
Si $0<a<1$ alors $a^3<a^2<a$.
Si $a>1$ alors, $a^3>a^2>a$.
}
\vspace{2em}\noindent
\pspolygon[linearc=12pt,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-.4,-4)(19.3,-4)(19.3,.6)(-.4,.6)\ulr{Synthèse:}
Lorsqu'on applique une fonction à une inégalité, l'odre est conseré si la fonction est croissante, l'ordre est inversé si elle est décroissante:
\bgit
\item $f$ croissante alors $a<b \iff f(a)<f(b)$
\item $f$ décroissante alors $a<b \iff f(a)>f(b)$
\enit
\medskip
En pratique, on change (ou inverse) l'ordre pour 3 opérations:
\bgit
\item mulitplication par un nombre négatif
\item on élève au carré des nombres négatifs
\item on prend l'inverse de nombres de m\^eme signe
\enit
\vspace{1em}
\subsectionc{\'Etude du sens de variation de fonctions}
$\bullet$ Soit la fonction affine $f$ définie par $f(x)=-2x+3$.
Soit $(a,b)$ un couple de nombres réels tel que $a<b$.
Alors $-3a>-3b$, et donc $-3a+2>-3b+2$, c'est-à-dire
$f(a)>f(b)$.
Donc, $f$ est décroissante sur $\R$.
\vspd
$\bullet$ Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=3x^2-2$.
Montrer que $g$ est décroissante sur $[-10;0]$, et croissante sur~$[0;10]$.
On résume ces résultats dans \ulb{un tableau de variation}:
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
$x$ & $-10$& & 0 & &$+10$ \\\hline
& 298 & && & 298 \\
$f(x)$ & &$\searrow$ & & $\nearrow$ &\\
& & &$-2$& &
\\\hline
\end{tabular}
\bgdef{
On dit qu'une fonction $f$ est monotone sur un intervalle $I$
lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante sur cet
intervalle: elle ne change pas de sens de variation sur cet intervalle.
}
\bgexpl{
La fonction $g$ précédente est monotone sur $]-\infty;0]$ et sur
$[0;+\infty[$.
Par contre, $g$ n'est pas monotone sur $]-\infty;+\infty[=\R$.
}
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=-3x+2$.
Déterminer le sens de variation de $f$, puis donner son tableau de
variation.
\enex
\bgex
Soit la fonction $g$ définie par l'expression $g(x)=3x^2-2$.
Déterminer le sens de variation de $g$ sur les intervalles
$[-10;0]$ et $[0;10]$.
Donner alors le tableau de variation de la fonction $g$.
\enex
\sectionc{Maximum et minimum d'une fonction}
\bgdef{
On appelle maximum de $f$, lorsqu'il existe, le nombre $f(a)$ tel
que : pour tout nombre réel $x$ de $E$, $f(x)\leq f(a)$.
On appelle minimum de $f$, lorsqu'il existe, le nombre $f(b)$ tel
que : pour tout nombre réel $x$ de $E$, $f(x)\geq f(b)$.
}
\ul{Illustration \dots}
\vspq
\bgmp{14cm}
\bgprop{
Si une fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[a;b]$, et
décroissante sur l'intervalle $[b;c]$, alors elle admet sur
l'intervalle $[a;c]$ un maximum, atteint en $x=b$ et égal à $f(b)$.
}
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{4cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $a$ && $b$ && $c$ \\\hline
%&&&&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$f$} &
\psline{->}(0,0)(0.7,0.6) &&
\raisebox{0.5cm}[0.8cm]{\small$f(b)$}
&\psline{->}(-0.2,0.6)(0.5,0)&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd
\ul{Demonstration:} $f$ est croissante sur $[a;b]$, donc pour tout
$x\in[a;b]$, on a $f(x)\leq f(b)$.
De même, $f$ est décroissante sur $[b;c]$, donc pour tout
$x\in[b;c]$, on a $f(x)\leq f(b)$.
Finalement, $f(x)\leq f(b)$ pour tout $x\in[a;c]$.
\vspd
\bgmp{14cm}
\bgprop{
Si une fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[a;b]$, et
croissante sur l'intervalle $[b;c]$, alors elle admet sur
l'intervalle $[a;c]$ un minimum atteint pour $x=b$ et égal à $f(b)$.
}
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{4cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $a$ && $b$ && $c$ \\\hline
%&&&&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$f$} &
\psline{->}(0,0.6)(0.7,0.) &&
\raisebox{0.cm}[0.8cm]{\small$f(b)$}
&\psline{->}(-0.2,0.)(0.5,0.6)&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgex
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-10;10]$ par
l'expression $g(x)=(x-2)^2+3$.
\bgen
\item Etudier le sens de variation de $g$ sur les intervalles
$[-10;2]$ et $[2;10]$.
Donner le tableau de variation de $g$.
\item Déterminer le minimum de $g$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[4;13]$ par
l'expression $\dsp \frac{1}{x-3}$.
Déterminer le sens de variation de $h$, puis donner le maximum et
le minimum de $h$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=3(x-2)^2+3$.
\bgen
\item Etudier les sens de variation de $f$ sur les intervalles
$]-\infty;2]$ et sur $[2;+\infty[$, puis dresser son tableau de
variation.
\item Donner alors les maxima ou minima éventuels de $f$.
\enen
\enex
\sectionc{Ensemble de définition d'une fonction}
\subsectionc{Définition}
\bgdef{
On appelle ensemble de définition de la fonction $f$ l'ensemble
des valeurs que peut prendre la variable $x$ dans le calcul de
$f(x)$.
}
\bgexpl{
Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1;6]$ par
l'expression $f(x)=3x^2-1$.
L'ensemble de définition de $f$ est $[-1;6]$;
pour tout nombre $x$ de $[-1;6]$ le nombre $f(x)$ existe.
}
\bgexpl{
Soit la fonction $g$ définie par l'expression
$g(x)=\frac{1}{x}$.
Pour pouvoir calculer $g(x)$, le nombre $x$ ne doit pas être égal
à zéro.
L'ensemble de définition de $f$ est $\R^*=\R\setminus\la0\ra$.
}
\bgexpl{
Soit la fonction $h:x\mapsto \sqrt{x}$.
Pour pouvoir calculer $h(x)$, le nombre $x$ ne doit pas être
négatif.
L'ensemble de définition de $h$ est donc $]0;+\infty[$.
}
\bgex
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions:
\vspd
$\dsp f:x\mapsto\frac{1}{x+3}$ \qquad;\quad
$\dsp g:x\mapsto\frac{1}{x^2-9}$ \qquad;\quad
$\dsp h:x\mapsto\frac{1}{x^2-x}$ \qquad;\quad
$\dsp j:x\mapsto\frac{1}{(x-3)(x+7)}$
%\qquad;\quad
\vspd
$\dsp k:x\mapsto\sqrt{x-2}$ \qquad;\quad
$\dsp l:x\mapsto\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}$ \qquad;\quad
$\dsp m:x\mapsto\sqrt{(x-1)(x-5)}$
\enex
\subsectionc{Tableau de signes}
\bgexpl{
Déterminer le signe de l'expression $A(x)=(x-1)(x-5)$.
\vspace{-0.4cm}
\ul{Signe de $x-1$:}
\bgmp[t]{4cm}
$x-1<0$ pour $x<1$ \\
$x-1>0$ pour $x>1$
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.7)(6,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(8.3,0)
\psline[linewidth=0.5pt](4,-0.15)(4,0.15)\rput(4,0.5){$0$}
\psline[linewidth=0.5pt](5,-0.15)(5,0.15)\rput(5,0.5){$1$}
\rput(4,1){\fbox{$x-1$}}
\rput(2,0.6){\textcolor{blue}{$-$}}
\rput(6,0.6){\textcolor{green}{$+$}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0.1)(5,0.1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green](5,0.1)(8,0.1)
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-0.6cm}
\ul{Signe de $x-3$:}
\bgmp[t]{4cm}
$x-3<0$ pour $x<3$ \\
$x-3>0$ pour $x>3$
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.7)(6,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(8.3,0)
\psline[linewidth=0.5pt](4,-0.15)(4,0.15)\rput(4,0.5){$0$}
\psline[linewidth=0.5pt](6.5,-0.15)(6.5,0.15)\rput(6.5,0.5){$3$}
\rput(4,1){\fbox{$x-3$}}
\rput(2,0.6){\textcolor{blue}{$-$}}
\rput(7.5,0.6){\textcolor{green}{$+$}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0.1)(6.5,0.1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green](6.5,0.1)(8,0.1)
\end{pspicture}
\enmp
\ul{Signe du produit $A(x)=(x-1)(x-3)$:}
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0.3,-0.7)(6,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,0)(8.3,0)
\psline[linewidth=0.5pt](4,-0.15)(4,0.15)\rput(4,0.5){$0$}
\psline[linewidth=0.5pt](5,-0.15)(5,0.15)\rput(5,0.5){$1$}
\psline[linewidth=0.5pt](6.5,-0.15)(6.5,0.15)\rput(6.5,0.5){$3$}
\rput(4,1.4){\fbox{$A(x)=(x-1)(x-3)$}}
\rput(2,0.6){\textcolor{green}{$+$}}
\rput(5.5,0.6){\textcolor{blue}{$-$}}
\rput(7.5,0.6){\textcolor{green}{$+$}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green](0,0.1)(5,0.1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](5,0.1)(6.5,0.1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green](6.5,0.1)(8,0.1)
\end{pspicture}
\enmp
On présente ces calculs et résultats dans un tableau:
\ct{
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
$x$ &$-\infty$& &$1$& &$3$& & $+\infty$ \\\hline
$x-1$& &$-$&\zb&$+$&$|$&$+$& \\
$x-3$& &$-$&$|$&$-$&\zb&$+$& \\\hline
$A(x)$& &$+$&\zb&$-$&\zb&$+$& \\\hline
\end{tabular}
}
}
\bgex
Déterminer le signe des expressions suivantes:
\vspd
\begin{tabular}{ll}
$A(x)=(x-5)(x-12)$
&
$B(x)=(x-3)(2x+5)$
\\[0.3cm]
$C(x)=(x+6)(2x-8)(3x-9)$
\hspace{1cm}
&
$D(x)=(x-3)(-2x+6)$
\\[0.4cm]
$E(x)=\dfrac{x+6}{2x-16}$
\hspace{1cm}
&
$F(x)=\dfrac{2x-3}{-2x+6}$
\\[0.4cm]
$G(x)=(2x+3)(x-5)-(3x+5)(x-5)$
\hspace{1cm}
&
$H(x)=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{2}{x-3}$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Résoudre les inéquations suivantes:
\vspd
\begin{tabular}{lll}
$(I_1):\ -3x+2<2x+3$
\hspace{1cm}
&
$(I_2):\ (3x-1)(x+2)\leqslant x(x+2)$
\hspace{1cm}
&
$(I_3):\ 2x^2>3x$
\\[0.2cm]
$(I_4):\ \dfrac{1}{4x-3}\leqslant \dfrac{2}{3x-4}$
&
$(I_5):\ \dfrac{2}{x+3}\geqslant 4$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions définies par les
expressions:
\vspd
$f(x)=\sqrt{(x-3)(-x+2)}$ \qquad;\quad
$g(x)=\sqrt{(x-3)(-x+2)+(x-3)(-4x+3)}$ \qquad;\quad
$h(x)=\dfrac{1}{(x+3)(2x-1)}$
\enex
\sectionc{Quelques fonctions mises en situation}
\bgex
Dans une entreprise, pour $x$ objets produits et vendus, le
bénéfice est de:
\[B(x)=-2x^2-500x+70\,000\,.\]
\bgen
\item Montrer que pour tout $x$ réel,
$B(x)=(2x+700)(-x+100)$.
\item Pour quels nombres d'objets $x$, l'entreprise est-elle
rentable ?
\enen
\enex
\bgex
Dans une entreprise, la recette, en euros, obtenu pour la vente
journalière de $x$ objets est donnée par la fonction $f$ définie
sur $[0;50]$ par l'expression:
\[
f(x)=-x^2+52x-480\,.
\]
\bgen[a)]
\item Montrer que, pour tout $x\in[0;50]$,\quad
$f(x)=-(x-26)^2+196$.
\item Etudier le sens de variation de $f$ sur $[0;26]$ puis sur
$[26;50]$.
\item En déduire le bénéfice maximum que l'entreprise peut
réaliser et la quantité d'objets à vendre pour l'atteindre.
\enen
\enex
\bgex
Un projectile est lancé en l'air à un instant initial de date
$t=0$.
On établit que son altitude (en mètres) après $t$ secondes est
$h(t)=-5t^2+4t+1$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item A quelle altitude le projectile a-t-il été lancé ?
\item Quelle est l'altitude du projectile après une demie seconde ?
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que pour tout nombre réel $t$,
$h(t)=-(t-1)(5t+1)$
\item En déduire à quel instant le projectile touchera le sol.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Montrer que pour tout nombre réel $t$,
$h(t)=-5\lp t-\dfrac{2}{5}\rp^2+\dfrac{9}{5}$.
\item A l'aide de l'expression précédente, étudier les
variation de $h$ sur
$\Bigl]-\infty;\dfrac{4}{5}\Bigr]$ et sur
$\Bigr[\dfrac{4}{5};+\infty\Bigl[$.
Dresser le tableau de variation de la fonction $h$.
\item Déduire de ce qui précède la hauteur maximale atteinte par
le projectile.
\enen
\enen
\enex
\bgex{\bf Choisir une forme adaptée}
$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-2;5]$ par:
$f(x)=(3x-5)^2-4x^2$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
\item Développer l'expression de $f(x)$.
\enen
\item Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions
suivantes:
\bgen[a)]
\item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de la courbe
représentative de $f$ qui a pour abscisse~$\sqrt{2}$ ?
\item Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de
cette courbe avec les axes du repère ?
\item résoudre l'équation $f(x)=25$.
\enen
\enen
\enex
\bigskip
\hrulefill
\medskip
\bgexpl{{\bf Utiliser le vocabulaire des fonctions}
On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions suivantes:
\bgit
\item[$\bullet$] son ensemble de définition est $D=[-5;4]$;
\item[$\bullet$] les nombres $-4$ et $4$ ont la même image $3$;
\item[$\bullet$] les solutions de l'équation $f(x)=-2$ sont $1$ et
$2$;
\item[$\bullet$] le nombre $-5$ est un antécédent de $0$ par $f$;
\item[$\bullet$] $f(-2)=-1$, $f(0)=-3$ et $f(3)=0,5$.
\enit
Tracer une courbe pouvant représenter la fonction $f$.
}
\bgexpl{{\bf Choisir une forme adaptée}
$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-2;5]$ par:
\[
f(x)=(3x-5)^2-4x^2\ .
\]
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
\item Développer l'expression de $f(x)$.
\enen
\item Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions
suivantes:
\bgen[a)]
\item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de la courbe
représentative de $f$ qui a pour abscisse~$\sqrt{2}$ ?
\item Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de
cette courbe avec les axes du repère ?
\item résoudre l'équation $f(x)=25$.
\enen
\enen
}
\label{LastPage}
\end{document}
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