Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématique: Calcul numérique et algébrique},
pdftitle={Calcul numérique et algébrique - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, seconde, 2nde, calcul numérique,
calcul algébrique, fraction, puissance, racine carrée,
identités remarquables, factorisation, développement}
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% Raccourcis diverses:
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\nwc{\tm}{\times}
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\bgsk\noindent{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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% Dimensions des pages
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\nwc{\deftitle}{Définition}
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\nwc{\proptitle}{Propriété}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul numérique et algébrique - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$
\bgex Simplifier les nombres ou expressions suivants:
\medskip
$A=\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{3} \ ;\quad \
B=\dfrac{7}{12}-\dfrac{2}{3}\ ;\quad \
C=2+\dfrac{5}{7}\ ;\quad \
D=4+\dfrac{3}{9}\ ;$
\medskip
$E=\dfrac{5}{7}\tm\dfrac{4}{15}\ ;\quad \
F=\dfrac{\dsp\dfrac{8}{9}}{\dsp\dfrac{3}{5}}\ ;\quad \
G=\dfrac{\dsp\dfrac{5}{3}}{\dsp\dfrac{2}{6}}\ ;\quad \
H=\dfrac{\dsp\dfrac{8}{3}}{6}$
\medskip
$H=\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x+2}\ ;\quad \
I=\dfrac{3x}{x+1}+\dfrac{2}{5x}\ ;\quad \
J=5+\dfrac{3}{2+x}\ ;\quad \
K=\dfrac{1}{2-3x}-\dfrac{1}{2+3x}$
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Développer les expressions suivantes, et regrouper et ordonner
les termes: \\[.4em]
$\bullet\ A(x)=(x+2)(2x-3)$ \quad
$\bullet B(x)=(3-2x)(3x-2)$ \quad
$\bullet\ C(x)=(x+2)(2x-3)(-3x+1)$\\[.4em]
$\bullet\ D(x)=(x+3)^2$ \quad
$\bullet\ E(x)=(3x-4)^2$ \quad
$\bullet\ F(x)=\lp 3x+\dfrac13\rp^2$
\item Factoriser les expressions suivantes:\\[.4em]
\begin{tabular}{ll}
$\bullet\ F(x)=(2x-3)(x-2)-(2x-3)(x+4)$
& $\bullet\ G(x)=(-2x+5)^2+(-2x+5)(3x-4)$ \\[0.5cm]
$\bullet\ H(x)=(3x^2+2x)(x-6)-(x+7)(3x^2+2x)$
& $\bullet\ I(x)=(x-2)(x^2-9)+(-x+2)(x-3)$
\end{tabular}
\medskip
\item Compléter, à partir des expressions algébriques précédentes:\\[.6em]
\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
$\bullet\ A(2)=\ \dots$
& $\bullet\ A(-2)=\ \dots$
& $\bullet\ B(1)=\ \dots$
& $\bullet\ B(-1)=\ \dots$ \\[.6em]
$\bullet\ C(2)=\ \dots$
& $\bullet\ C\lp\dsp\dfrac{1}{3}\rp=\ \dots$
& $\bullet\ D(-1)=\ \dots$
& $\bullet\ E(-2)=\ \dots$
\end{tabular}
\item Résoudre les équations suivantes: \medskip
$\bullet\ A(x)=0$ \qquad
$\bullet\ B(x)=0$ \qquad
$\bullet\ H(x)=0$ \qquad
$\bullet\ I(x)=0$ \qquad
$\bullet\ A(x)=B(x)$
\enen
\enex
\bgex Compléter le tableau suivant: si le nombre appartient à
l'ensemble de nombres, le réécrire sous une forme adaptée, sinon
mettre une croix dans la case.
\vspd
\begin{tabular}{|c|*5{p{2.3cm}|}}\hline
\raisebox{0.5cm}[0.6cm][0.4cm]{}& $\N$ & $\Z$ & $\D$ & $\Q$ & $\R$ \\\hline
\ \raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$25$} &&&&& \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$-12$} &&&&&\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$-5.2$} &&&&&\\\hline
\raisebox{0.3cm}[1.cm][0cm]{$-\dfrac{12}{3}$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1.1cm][0.cm]{$\dfrac{\sqrt{81}}{3}$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1cm][0.cm]{$\dfrac{5}{4}$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1cm][0.2cm]{$\dfrac{2}{3}$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.2cm}[0.7cm][0.cm]{$\sqrt{3}+2$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[0.9cm][0.cm]{$\dfrac{\pi}{3}$} &&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enex
\bgex Ecrire sous forme de fraction irréductible les nombres:
\[ a=\dfrac{1}{\dsp\dfrac{2}{5}}\ ;\ \
b=\dfrac{4}{\dsp\dfrac{2}{6}}\ ;\ \
c=\dfrac{\dsp\dfrac{5}{2}}{\dsp\dfrac{10}{6}}\ ;\ \
d=\dfrac{\dsp\dfrac{7}{9}}{\dsp\dfrac{14}{27}}\ ;\ \
e=\dfrac{2}{\dsp\dfrac{x+1}{3}}\ ;\ \
f=\dfrac{\dsp\dfrac{x^2+x}{x-3}}{\dsp\dfrac{x+1}{x^2-9}}\ ;\ \
g=2+\dfrac{\dsp\dfrac{1}{3}x}{x+1}
\]
\enex
\bgex Simplifier l'écriture des nombres suivants:
\[ A=\sqrt{27}\tm5\sqrt{6}\ ;\ \
B=7\sqrt{75}-2\sqrt{12}\ ;\ \
C=2\sqrt{5}+\sqrt{0,0045}\ ;\ \
D=\lp 11\sqrt{5}-5\sqrt{11}\rp\lp 11\sqrt{5}+5\sqrt{11}\rp
\]
\enex
\bgex
Soit $X=\sqrt{10-\sqrt{84}}+\sqrt{10+\sqrt{84}}$. \vsp
\bgen
\item Calculer $X$ à la calculatrice.
\item Développer $X^2$, puis en déduire $X$, et retrouver le résultat
précédent.
\item Mêmes questions avec $Y=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$
et $Z=\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{15+\sqrt{216}}$.
\enen
\enex
\medskip
\bgex
\bgen
\item Soit $X=\sqrt{24}-\sqrt{6}$.
Calculer $X^2$, puis en déduire la valeur de $X$.
\item Soit $X=\sqrt{50}-\sqrt{8}$.
Calculer $X^2$, puis en déduire la valeur de $X$.
\enen
\enex
\bgex Ecrire les nombres suivants sous forme d'une seule fraction
sans radicaux au dénominateur:
\medskip\noindent
$a=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}\ ; \quad \
b=\dfrac{14}{3\sqrt{7}}\ ;\quad \
c=\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}\ ;\quad \
d=\dfrac{2+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\ ;\quad \
e=\dfrac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\ ;\quad \
f=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$
\medskip\noindent
$g=\dfrac{2}{4-\sqrt2}\ ; \quad \
h=\dfrac{3}{4\sqrt{2}-3}\ ;\quad \
i=\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\ ;\quad \
j=\dfrac{1-\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt3}\ ;\quad \
k=\dfrac{1}{2-\sqrt2}-\dfrac{1}{2+\sqrt2}$
\medskip\noindent
$l=\dfrac{1}{\sqrt2-2}+\dfrac{3}{\sqrt3}\ ;\quad \
m=\dfrac{\sqrt3x}{\sqrt2}-\dfrac{\sqrt2x}{\sqrt3}\ ;\quad \
n=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\ ;\quad \
p=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$
\enex
\bgex Simplifier les expressions suivantes:
\begin{tabular}{ll}
$\bullet$ $\dsp A=\lp a^{-2}\rp^3\tm a$ \hspace{2cm}
& $\bullet$ $\dsp B=\lp a^{-5} b^2\rp^{-1}\tm a b^{-3}$ \\[0.5cm]
$\bullet$ $\dsp C=\dfrac{a^5 b^{-4}}{a^{-5}b^{-2}}$ \hspace{2cm}
& $\bullet$ $\dsp D=\dfrac{16^{-4}\tm 3^{21}}{6^3\tm 9^7}$ \\[0.5cm]
$\bullet$ $\dsp E=\lp -2 x^5\rp^{-4}$ \hspace{2cm}
& $\bullet$ $\dsp F=-2 x^3\tm 5x\tm 3^{-2} x^{-5}$ \\[0.5cm]
$\bullet$ $\dsp G=\dfrac{2^{-5}\tm (-6)^3\tm 3^{-4}}{-9^{-2}\tm 8^{-4}}$ \hspace{1.5cm}
& $\bullet$ $\dsp H=\dfrac{ab^{-3}\lp a^{-2}b^3\rp\lp ab^{-1}\rp^2}{\lp
ab^2\rp^{-1} a b}$
\end{tabular}
\enex
\bgex \!\!\!On sait que $b^3=5,832$ et $b^5=18,89$. Sans calculer b,
calculer $b^2$ et $b^6$.
En déduire~$b$.
\enex
\bgex Ecrire sous la forme d'une puissance de 10:
\[
I=1000^7\tm 0,01^{10}\ ;\ \
J=\dfrac{100^3}{0,1^9\tm 10000^3}\ ;\ \
K=\dfrac{(0,001)^3 (-10000)^5}{(0,01)^{-4}}\ ;\ \
L=\dfrac{(0,0001)^{-4}(10000)^5(-0,001)^7}{(10\tm 0,01^3)^4}
\]
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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