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Description
Cours de mathématiques en 2nde: calcul numérique et algébrique
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Les différents ensembles de nombres
  • Nombres premiers
  • Calculs sur les réels
    • Calcul sur les fractions
    • Calcul sur les radicaux
      • Règles de calcul algébriques
      • Méthode pour rendre entier un dénominateur contenant une racine carrée
    • Puissance d'un nombre
      • Définitions et règles de calcul sur les puissances
      • Cas des puissances de 10
      • Ecriture scientifique
Mots clé
Cours de mathématiques, calcul numérique, calcul algébrique, ensembles de nombres, fractions, racine carrée, puissance, puissance de 10, écriture scientifique
Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Calcul numérique et algébrique},
    pdftitle={Calcul numérique et algébrique},
    pdfkeywords={Mathématiques, seconde, 2nde, calcul numérique, 
      calcul algébrique, fraction, puissance, racine carrée, 
      identités remarquables, factorisation, développement}
}
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    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
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\voffset=-1.5cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
%\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Q{{\rm \psline[linewidth=.06em](.1,0.01)(.1,.28) Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\nwc{\tm}{\times}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk\noindent{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Théorème:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}

\newenvironment{Notation}{\paragraph{\ulg{Notation:}} \it}{}
\nwc{\bgnot}{\begin{Notation}}\nwc{\enot}{\end{Notation}}

\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}

\nwc{\sectionc}[1]{\stepcounter{section}%
\setcounter{subsection}{0}\setcounter{subsubsection}{0}%
\bigskip\bigskip\noindent%
{\Large\bf\ulr{\Roman{section}\ - #1}}%
\addcontentsline{toc}{section}{#1}}

\nwc{\subsectionc}[1]{\stepcounter{subsection}%
\setcounter{subsubsection}{0}%
\bigskip\noindent%
{\large\bf\ulb{\arabic{subsection}\ - #1}}%
\addcontentsline{toc}{subsection}{#1}}

\nwc{\subsubsectionc}[1]{\stepcounter{subsubsection}%
\bigskip\noindent%
{\large\bf\alph{subsubsection})\ul{\ #1}}%
\addcontentsline{toc}{subsubsection}{#1}}


% Dimensions des pages
\textwidth=18cm
\textheight=26.9cm
\topmargin=-1.2cm
\oddsidemargin=-1cm
\footskip=1.cm
\voffset=-1cm


\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\linewidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Propriété}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ulb{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\linewidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}


% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul numérique et algébrique}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{http://xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$

\bgex Simplifier les nombres ou expressions suivants: 

\medskip

$A=\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{3} \ ;\quad \ 
B=\dfrac{7}{12}-\dfrac{2}{3}\ ;\quad \ 
C=2+\dfrac{5}{7}\ ;\quad \ 
D=4+\dfrac{3}{9}\ ;$

\medskip
$E=\dfrac{5}{7}\tm\dfrac{4}{15}\ ;\quad \ 
F=\dfrac{\dsp\dfrac{8}{9}}{\dsp\dfrac{3}{5}}\ ;\quad \ 
G=\dfrac{\dsp\dfrac{5}{3}}{\dsp\dfrac{2}{6}}\ ;\quad \ 
H=\dfrac{\dsp\dfrac{8}{3}}{6}$

\medskip
$H=\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x+2}\ ;\quad \ 
I=\dfrac{3x}{x+1}+\dfrac{2}{5x}\ ;\quad \ 
J=5+\dfrac{3}{2+x}\ ;\quad \ 
K=\dfrac{1}{2-3x}-\dfrac{1}{2+3x}$
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item Développer les expressions suivantes, et regrouper et ordonner
  les termes: \\[.4em]
  $\bullet\ A(x)=(x+2)(2x-3)$ \quad  
  $\bullet B(x)=(3-2x)(3x-2)$ \quad 
  $\bullet\ C(x)=(x+2)(2x-3)(-3x+1)$\\[.4em]
  $\bullet\ D(x)=(x+3)^2$ \quad 
  $\bullet\ E(x)=(3x-4)^2$ \quad 
  $\bullet\ F(x)=\lp 3x+\dfrac13\rp^2$

\item Factoriser les expressions suivantes:\\[.4em]
  \begin{tabular}{ll}
    $\bullet\ F(x)=(2x-3)(x-2)-(2x-3)(x+4)$
    & $\bullet\ G(x)=(-2x+5)^2+(-2x+5)(3x-4)$ \\[0.5cm]
    $\bullet\ H(x)=(3x^2+2x)(x-6)-(x+7)(3x^2+2x)$
    & $\bullet\ I(x)=(x-2)(x^2-9)+(-x+2)(x-3)$
  \end{tabular}

\medskip  
\item Compléter, à partir des expressions algébriques précédentes:\\[.6em]
  \begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
    $\bullet\ A(2)=\ \dots$
    & $\bullet\ A(-2)=\ \dots$ 
    & $\bullet\ B(1)=\ \dots$ 
    & $\bullet\ B(-1)=\ \dots$ \\[.6em]
     $\bullet\ C(2)=\ \dots$ 
    & $\bullet\ C\lp\dsp\dfrac{1}{3}\rp=\ \dots$
    & $\bullet\ D(-1)=\ \dots$ 
    & $\bullet\ E(-2)=\ \dots$
  \end{tabular}

\item Résoudre les équations suivantes: \medskip

  $\bullet\ A(x)=0$ \qquad
  $\bullet\ B(x)=0$ \qquad
  $\bullet\ H(x)=0$ \qquad
  $\bullet\ I(x)=0$ \qquad
  $\bullet\ A(x)=B(x)$ 
  
\enen
\enex


%\clearpage


\sectionc{Les différents ensembles de nombres}
\bgdef{\vspace{-.8em}

  \bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
    \item L'ensemble des nombres {\bf entiers naturels}: 0; 1; 2; 3; ... est
      noté $\N$. 
    \item L'ensemble des nombres {\bf entiers relatifs}: ...; -3; -2; -1; 0;
      1; 2; 3; ... est noté~$\Z$.  
    \item L'ensemble des nombres {\bf décimaux}: -5,67; -2; 0,4; 1,217,
      ... est noté $\D$. 
      Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la
      forme $a\times 10^b$, avec $a$ et $b$ des entiers. 
    \item L'ensemble des nombres {\bf rationnels}: $-\dfrac{3}{2}$;
      $-\dfrac{185}{4}$; 2; est noté $\Q$.
      Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous
      la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, avec
      $b$ non nul.
    \item L'ensemble de tous les nombres s'appelle l'ensemble des
      {\bf nombres réels}; on le note~$\R$. 
      L'ensemble des nombres réels est aussi l'ensemble des abscisses
      des points d'une droite graduée. 
  \enit
}


\bgex Compléter le tableau suivant: si le nombre appartient à
l'ensemble de nombres, le réécrire sous une forme adaptée, sinon
mettre une croix dans la case.  

\vspd 
\begin{tabular}{|c|*5{p{2.3cm}|}}\hline
\raisebox{0.5cm}[0.6cm][0.4cm]{}& $\N$ & $\Z$ & $\D$ & $\Q$ & $\R$ \\\hline
\ \raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$25$} &&&&& \\\hline
 \raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$-12$} &&&&&\\\hline
 \raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$-5.2$}  &&&&&\\\hline 
 \raisebox{0.3cm}[1.cm][0cm]{$-\dfrac{12}{3}$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1.1cm][0.cm]{$\dfrac{\sqrt{81}}{3}$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1cm][0.cm]{$\dfrac{5}{4}$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1cm][0.2cm]{$\dfrac{2}{3}$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.2cm}[0.7cm][0.cm]{$\sqrt{3}+2$}  &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[0.9cm][0.cm]{$\dfrac{\pi}{3}$}  &&&&&\\\hline
\end{tabular}

\enex

\bgnot
\bgit
  \item Le Symbole ``$\in$'' signifie ``appartient à'', 
    par exemple $11\in \N$; $11\in \D$; $\pi\in\R$.
  \item Le symbole ``$\subset$'' signifie ``est inclus dans'', 
    par exemple $\N\subset\Z$. 
\enit
\enot

\bgprop{
  $\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R$
}

\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-.8)(15,5.8)
  \psellipse(6.9,2.5)(8,3)
   \rput(13.2,3){$\R$}
   \rput(13.2,2.2){$\pi; \sqrt2$}
   \rput(13,1.4){$\dots$}
  \psellipse(5.9,2.5)(6.2,2.8)
   \rput(10.6,3){$\Q$}
   \rput(10.8,2.2){$\dfrac13; -\dfrac27$}
   \rput(10.6,1.4){$\dots$}
  \psellipse(5.2,2.5)(4.6,2.2)
   \rput(8.2,3){$\D$}
   \rput(8.4,2.4){$0,12; -34,5$}\rput(8.4,1.9){$-1,7104$}
   \rput(7.7,1.4){$-4,0003$}\rput(7.6,1){$\dots$}
  \psellipse(4.2,2.5)(3.,1.5)
   \rput(5.5,3){$\Z$}
   \rput(5.5,2.4){$-1; -2$}\rput(5.5,2.){$-3; -4$}\rput(5.5,1.5){$\dots$}
  \psellipse(3.2,2.5)(1.3,1.)
   \rput(3.2,2.9){$\N$}\rput(3.5,2.3){$0; 1; 2; \dots$}
\end{pspicture}\]


Donner la nature d'un nombre, c'est donner le plus petit  ensemble de
nombres auquel il appartient. 

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} 
$\bullet$\ \ $-5,2\in \R$\ ,\ \ $-5,2\in \Q$\ ,\ \ $-5,2\in \D$\ ,\ \ donc 
$-5,2$ est un nombre décimal.

\vsp\hspace{0.65cm}
$\bullet$\ \ $\dsp\dfrac{5}{3}\in\R$\ ,\ \ $\dsp\dfrac{5}{3}\Q$\ ,\ \ 
donc $\dsp\dfrac{5}{3}$ est un nombre rationnel.





\sectionc{Nombres premiers}
 
\bgdef{On appelle nombre premier tout nombre entier qui a exactement
  deux diviseurs : 1 et lui-même. 
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $11=11\tm1$, n'est divisible que par 1 et lui-même: 11 est
un nombre premier. 

\hspace{3em} $63=7\tm9$ n'est pas un nombre premier. 

\medskip\noindent
\ul{\bf Remarques:} \vsp 
\bgit
\item 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers : tout
  nombre divise 0, tandis que seul 1 divise 1.
  
\item 2 est le plus petit nombre premier, et c'est le seul qui soit pair. 
  
\item Les nombres premiers inférieurs à 20 sont: 
  2, 5, 7, 11, 13, 17, 19
\enit

\bgprop{Tout nombre entier non premier plus grand que 2 peut s'écrire
  comme un produit de nombres premiers.
}
  
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $12=2\tm2\tm3=2^2\tm3$, $42=2\tm3\tm7$, 
$600=6\tm100=2\tm3\tm(5\tm2)^2=2^3\tm3\tm5^2$

\medskip\noindent  
\ul{{\bf Activité:} Carrelage d'une pièce}\vspd 
 
On souhaite carreler une pièce rectangulaire de longueur L=462 m et
de largeur l=70 m, à l'aide de carrelages carrés. 

On souhaite de plus utiliser le plus petit nombre possible de
carrelages, ou, en d'autres termes, des carrelages de côté le plus
grand possible. 

Quelle est la taille de ces carrelages ? 




\sectionc{Calcul sur les réels}

\subsectionc{Calcul sur les fractions}
\bgprop{Si $a$, $b$, $c$ sont trois nombres réels non nuls, alors 
  $\dsp \dfrac{a\times c}{b\times c} = \dfrac{a}{b}$, et 
  $\dsp a\tm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\tm b}{c}$.
}
 
\bgdef{On appelle inverse du nombre $a$ non nul, le nombre 
  $\dsp \dfrac{1}{a}$. 
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple}: L'inverse de 2 est $\dfrac{1}{2}=0,5$. 
   
\bgprop{L'inverse de la fraction $\dsp\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$
  sont des nombres non nuls, est
  $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a}$.  
}


\bgex Ecrire sous forme de fraction irréductible les nombres: 
\[ a=\dfrac{1}{\dsp\dfrac{2}{5}}\ ;\ \ 
b=\dfrac{4}{\dsp\dfrac{2}{6}}\ ;\ \ 
c=\dfrac{\dsp\dfrac{5}{2}}{\dsp\dfrac{10}{6}}\ ;\ \ 
d=\dfrac{\dsp\dfrac{7}{9}}{\dsp\dfrac{14}{27}}\ ;\ \ 
e=\dfrac{2}{\dsp\dfrac{x+1}{3}}\ ;\ \ 
f=\dfrac{\dsp\dfrac{x^2+x}{x-3}}{\dsp\dfrac{x+1}{x^2-9}}\ ;\ \ 
g=2+\dfrac{\dsp\dfrac{1}{3}x}{x+1}
\]
\enex

\subsectionc{Calcul sur les radicaux}

\subsubsectionc{Règles de calcul sur les radicaux}
\bgprop{Soit $a$ et $b$ deux nombres \ul{positifs}, alors: \vspd 
   
 \bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
 \item $\dsp \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ \vspt
 \item $\dsp \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
 \enit   
}

\medskip
\ul{\ul{Mais}}, comme pour les identités remarquables, 
$\sqrt{a+b}\not=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, et 
$\sqrt{a-b}\not=\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

\medskip\noindent
\ulg{Exemples:} 
\hspace{0.4cm}
\bgmp[t]{10cm}
\bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item $\sqrt{9\tm16}=\sqrt{9}\tm\sqrt{16}=3\tm4=12$
  \medskip
\item $\sqrt{\dfrac{49}{25}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=
  \dfrac{7}{5}$. 
  \medskip
\item
  $\sqrt{2}\lp\sqrt{2}+\sqrt{8}\rp=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}\sqrt{8}
  =2+\sqrt{16}=2+4=6$
  \medskip
\item $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\not=\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$
\enit
\enmp

\medskip
\bgex Simplifier l'écriture des nombres suivants: 
\[ A=\sqrt{27}\tm5\sqrt{6}\ ;\ \ 
B=7\sqrt{75}-2\sqrt{12}\ ;\ \ 
C=2\sqrt{5}+\sqrt{0,0045}\ ;\ \ 
D=\lp 11\sqrt{5}-5\sqrt{11}\rp\lp 11\sqrt{5}+5\sqrt{11}\rp
\]
\enex

\bgex
Soit $X=\sqrt{10-\sqrt{84}}+\sqrt{10+\sqrt{84}}$. \vsp
\bgen
\item Calculer $X$ à la calculatrice. 
\item Développer $X^2$, puis en déduire $X$, et retrouver le résultat
  précédent.  
\item Mêmes questions avec $Y=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ 
  et $Z=\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{15+\sqrt{216}}$.
\enen
\enex

\medskip
\bgex
\bgen
\item Soit $X=\sqrt{24}-\sqrt{6}$. 
  Calculer $X^2$, puis en déduire la valeur de $X$. 
\item Soit $X=\sqrt{50}-\sqrt{8}$. 
  Calculer $X^2$, puis en déduire la valeur de $X$. 
\enen
\enex

\bigskip
\subsubsection{Méthode pour rendre entier un dénominateur comportant une racine
  carrée} 

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} \'Ecrire les fractions sans racine carrée au dénominateur: 
$\dsp \dfrac{2}{\sqrt{3}}$\ ;\ \ 
$\dsp \dfrac{1}{2+\sqrt{5}}$\ ;\ \ 
$\dsp \dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$

\vspd
\bgit
\item[\textbf{\ulb{Méthode 1:}}] Le dénominateur est un produit ayant
  pour facteur 
  $\sqrt{a}$ (avec $a$ positif): on multiplie le numérateur et le
  dénominateur par $\sqrt{a}$, et on utilise la règle
  $\lp\sqrt{a}\rp^2=a$. 

  \medskip\noindent
  \ulg{Exemple:} 
  $\dfrac{7}{3\sqrt{5}}
  =\dfrac{7}{3\sqrt{5}}\tm \dfrac{\blue \sqrt5}{\blue\sqrt5}
  =\dfrac{7\sqrt{5}}{15}$

 \bigskip
\item[\textbf{\ulb{Méthode 2:}}] Le dénominateur est une somme dont les termes
  contiennent une racine carré, 

  \medskip
  \bgen
  \item Si le dénominateur s'écrit $a+\sqrt{b}$, on multiplie le
    numérateur et le dénominateur par $a-\sqrt{b}$;
  \item Si le dénominateur s'écrit $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, on
    multiplie le numérateur et le dénominateur par
    $\sqrt{a}-\sqrt{b}$. 
  \enen
  
  \medskip\noindent
  \ulg{Exemples}: 
  $\dfrac{3}{2+\sqrt3}
  =\dfrac{3{\blue \tm(2-\sqrt3)}}{{\blue\Bigl(}2+\sqrt3{\blue\Bigr)\tm(2-\sqrt3)}}
  =3(2-\sqrt3)$

  \medskip
  $\dfrac{6}{\sqrt5-\sqrt2}
  =\dfrac{6{\blue\tm(\sqrt5+\sqrt2)}}{{\blue\Bigl(}\sqrt5-\sqrt2{\blue\Bigr)(\sqrt5+\sqrt2)}}
  =\dfrac{6(\sqrt5+\sqrt2)}{3}
  =2(\sqrt5+\sqrt2)$

\enit

\bgex Ecrire les nombres suivants sous forme d'une seule fraction 
sans radicaux au dénominateur:  

\medskip\noindent
$a=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}\ ; \quad \ 
b=\dfrac{14}{3\sqrt{7}}\ ;\quad \ 
c=\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}\ ;\quad \ 
d=\dfrac{2+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\ ;\quad \ 
e=\dfrac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\ ;\quad \ 
f=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$

\medskip\noindent
$g=\dfrac{2}{4-\sqrt2}\ ; \quad \ 
h=\dfrac{3}{4\sqrt{2}-3}\ ;\quad \ 
i=\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\ ;\quad \ 
j=\dfrac{1-\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt3}\ ;\quad \ 
k=\dfrac{1}{2-\sqrt2}-\dfrac{1}{2+\sqrt2}$

\medskip\noindent
$l=\dfrac{1}{\sqrt2-2}+\dfrac{3}{\sqrt3}\ ;\quad \ 
m=\dfrac{\sqrt3x}{\sqrt2}-\dfrac{\sqrt2x}{\sqrt3}\ ;\quad \ 
n=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\ ;\quad \
p=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$
\enex

\sectionc{Puissance d'un nombre}

\subsectionc{Règles de calcul sur les puissances}
\bgdef{Si a est un nombre et n un entier naturel non nul,  
  on appelle puissance n-ième de a, le nombre 
  $\dsp a^n = \underbrace{a\tm a\tm \cdots \tm a}_{\mbox{n termes}}$. 
  On pose, pour $a\not=0$, 
  $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$. 
  
  \medskip
  Par convention, on pose $a^0=1$, pour tout nombre $a$ non nul. 
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $3^2=9$\ ;\quad \  $2^4=2\tm 2\tm 2\tm 2=16$\ ;
\quad \ 
$2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$\ 

\medskip 
$(-3)^2=(-3)\tm(-3)=9$\ ;\quad \ $-3^2=-3\tm3=-9$

\medskip
$3^4\tm 3^5
=\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{4 termes}}
\tm\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{5 termes}}
=\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{9 termes}}=3^9$

\medskip
$\lp\dfrac{5}{2}\rp^2
=\dfrac{5}{2}\tm\dfrac{5}{2}
=\dfrac{5^2}{2^2}$\ ;\quad 
$(-3)^3=(-3)\tm(-3)\tm(-3)=-3^3=-27$

\medskip
$4^5\tm4^{-2}
=4^5\tm\dfrac{1}{4^2}
=\dfrac{4\tm\dots\tm4}{4\tm4}
=4\tm4\tm4=4^3$
 
\bgprop{Si a et b sont des nombres et n et m des entiers relatifs,
  alors  
  \bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
   \item $a^n\tm a^m = a^{n+m}$ \vspd 
   \item $a^n\tm b^n = \lp a\tm b\rp^n$ \vspd
   \item $\lp\dfrac{a}{b}\rp^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ \vspd
   \item $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$\vspd
   \item $\lp a^n\rp^m=a^{n\tm m}$
   \enit
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} 
$2^3\tm2^2=2^5$\ ;\quad \ 
$5^7\tm5^{-4}=5^3$\ ;\quad \ 
$\lp\dfrac25\rp^3=\dfrac{2^3}{5^3}=\dfrac{8}{125}$



\bgex Simplifier les expressions suivantes: 

\begin{tabular}{ll}
$\bullet$ $\dsp A=\lp a^{-2}\rp^3\tm a$ \hspace{2cm} 
& $\bullet$ $\dsp B=\lp a^{-5} b^2\rp^{-1}\tm a b^{-3}$ \\[0.5cm]

$\bullet$ $\dsp C=\dfrac{a^5 b^{-4}}{a^{-5}b^{-2}}$ \hspace{2cm}
& $\bullet$ $\dsp D=\dfrac{16^{-4}\tm 3^{21}}{6^3\tm 9^7}$ \\[0.5cm]

$\bullet$ $\dsp E=\lp -2 x^5\rp^{-4}$ \hspace{2cm}
& $\bullet$ $\dsp F=-2 x^3\tm 5x\tm 3^{-2} x^{-5}$ \\[0.5cm]

$\bullet$ $\dsp G=\dfrac{2^{-5}\tm (-6)^3\tm 3^{-4}}{-9^{-2}\tm 8^{-4}}$ \hspace{1.5cm}
& $\bullet$ $\dsp H=\dfrac{ab^{-3}\lp a^{-2}b^3\rp\lp ab^{-1}\rp^2}{\lp
  ab^2\rp^{-1} a b}$
\end{tabular}

\enex  


\bgex \!\!\!On sait que $b^3=5,832$ et $b^5=18,89$. Sans calculer b,
calculer $b^2$ et $b^6$. 
En déduire~$b$. 
\enex


\subsectionc{Cas des puissances de 10}

\bgprop{
  Si n est un entier naturel, 
  \[10^n=\underbrace{10\tm10\tm\cdots\tm10}_{\mbox{n fois}}
  =1\underbrace{00\cdots0}_{\mbox{n zéros}} \ \mbox{, et, } \ 
  10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}=\underbrace{0,00\cdots0}_{\mbox{n zéros}}1 \]
}

\ul{Ex}: $10^2=100$; $10^5=100\,000$; $10^{-1}=0,1$; $10^{-4}=0,000\,4$


\bgex Ecrire sous la forme d'une puissance de 10: 
\[ 
I=1000^7\tm 0,01^{10}\ ;\ \ 
J=\dfrac{100^3}{0,1^9\tm 10000^3}\ ;\ \ 
K=\dfrac{(0,001)^3 (-10000)^5}{(0,01)^{-4}}\ ;\ \ 
L=\dfrac{(0,0001)^{-4}(10000)^5(-0,001)^7}{(10\tm 0,01^3)^4}
\]
\enex

\subsectionc{Ecriture scientifique}

\bgprop{
  Tout nombre réel $r$ peut s'écrire sous la forme 
  $r=\pm M\tm10^n$, où $M$ est un nombre décimal tel que 
  $1\leq M <10$, et $n$ est un entier relatif. 
  
  Cette écriture s'appelle \ul{l'écriture scientifique} du nombre $r$. 
}

\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $126=1,26\tm10^2$, $232\,519=2,325\,19\tm10^5$, 
$0,000\,0536=5,36\tm10^{-5}$

\label{LastPage}
\end{document}

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