Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: Calcul numérique et algébrique},
pdftitle={Calcul numérique et algébrique},
pdfkeywords={Mathématiques, seconde, 2nde, calcul numérique,
calcul algébrique, fraction, puissance, racine carrée,
identités remarquables, factorisation, développement}
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citecolor = blue,
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\voffset=-1.5cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
%\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Q{{\rm \psline[linewidth=.06em](.1,0.01)(.1,.28) Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk\noindent{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Théorème:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}
\newenvironment{Notation}{\paragraph{\ulg{Notation:}} \it}{}
\nwc{\bgnot}{\begin{Notation}}\nwc{\enot}{\end{Notation}}
\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\sectionc}[1]{\stepcounter{section}%
\setcounter{subsection}{0}\setcounter{subsubsection}{0}%
\bigskip\bigskip\noindent%
{\Large\bf\ulr{\Roman{section}\ - #1}}%
\addcontentsline{toc}{section}{#1}}
\nwc{\subsectionc}[1]{\stepcounter{subsection}%
\setcounter{subsubsection}{0}%
\bigskip\noindent%
{\large\bf\ulb{\arabic{subsection}\ - #1}}%
\addcontentsline{toc}{subsection}{#1}}
\nwc{\subsubsectionc}[1]{\stepcounter{subsubsection}%
\bigskip\noindent%
{\large\bf\alph{subsubsection})\ul{\ #1}}%
\addcontentsline{toc}{subsubsection}{#1}}
% Dimensions des pages
\textwidth=18cm
\textheight=26.9cm
\topmargin=-1.2cm
\oddsidemargin=-1cm
\footskip=1.cm
\voffset=-1cm
\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}}
\begin{minipage}[t]{\linewidth-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
}
\nwc{\proptitle}{Propriété}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ulb{\proptitle:}}
\begin{minipage}[t]{\linewidth-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul numérique et algébrique}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$
\bgex Simplifier les nombres ou expressions suivants:
\medskip
$A=\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{3} \ ;\quad \
B=\dfrac{7}{12}-\dfrac{2}{3}\ ;\quad \
C=2+\dfrac{5}{7}\ ;\quad \
D=4+\dfrac{3}{9}\ ;$
\medskip
$E=\dfrac{5}{7}\tm\dfrac{4}{15}\ ;\quad \
F=\dfrac{\dsp\dfrac{8}{9}}{\dsp\dfrac{3}{5}}\ ;\quad \
G=\dfrac{\dsp\dfrac{5}{3}}{\dsp\dfrac{2}{6}}\ ;\quad \
H=\dfrac{\dsp\dfrac{8}{3}}{6}$
\medskip
$H=\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x+2}\ ;\quad \
I=\dfrac{3x}{x+1}+\dfrac{2}{5x}\ ;\quad \
J=5+\dfrac{3}{2+x}\ ;\quad \
K=\dfrac{1}{2-3x}-\dfrac{1}{2+3x}$
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Développer les expressions suivantes, et regrouper et ordonner
les termes: \\[.4em]
$\bullet\ A(x)=(x+2)(2x-3)$ \quad
$\bullet B(x)=(3-2x)(3x-2)$ \quad
$\bullet\ C(x)=(x+2)(2x-3)(-3x+1)$\\[.4em]
$\bullet\ D(x)=(x+3)^2$ \quad
$\bullet\ E(x)=(3x-4)^2$ \quad
$\bullet\ F(x)=\lp 3x+\dfrac13\rp^2$
\item Factoriser les expressions suivantes:\\[.4em]
\begin{tabular}{ll}
$\bullet\ F(x)=(2x-3)(x-2)-(2x-3)(x+4)$
& $\bullet\ G(x)=(-2x+5)^2+(-2x+5)(3x-4)$ \\[0.5cm]
$\bullet\ H(x)=(3x^2+2x)(x-6)-(x+7)(3x^2+2x)$
& $\bullet\ I(x)=(x-2)(x^2-9)+(-x+2)(x-3)$
\end{tabular}
\medskip
\item Compléter, à partir des expressions algébriques précédentes:\\[.6em]
\begin{tabular}{*4{p{4.2cm}}}
$\bullet\ A(2)=\ \dots$
& $\bullet\ A(-2)=\ \dots$
& $\bullet\ B(1)=\ \dots$
& $\bullet\ B(-1)=\ \dots$ \\[.6em]
$\bullet\ C(2)=\ \dots$
& $\bullet\ C\lp\dsp\dfrac{1}{3}\rp=\ \dots$
& $\bullet\ D(-1)=\ \dots$
& $\bullet\ E(-2)=\ \dots$
\end{tabular}
\item Résoudre les équations suivantes: \medskip
$\bullet\ A(x)=0$ \qquad
$\bullet\ B(x)=0$ \qquad
$\bullet\ H(x)=0$ \qquad
$\bullet\ I(x)=0$ \qquad
$\bullet\ A(x)=B(x)$
\enen
\enex
%\clearpage
\sectionc{Les différents ensembles de nombres}
\bgdef{\vspace{-.8em}
\bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item L'ensemble des nombres {\bf entiers naturels}: 0; 1; 2; 3; ... est
noté $\N$.
\item L'ensemble des nombres {\bf entiers relatifs}: ...; -3; -2; -1; 0;
1; 2; 3; ... est noté~$\Z$.
\item L'ensemble des nombres {\bf décimaux}: -5,67; -2; 0,4; 1,217,
... est noté $\D$.
Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la
forme $a\times 10^b$, avec $a$ et $b$ des entiers.
\item L'ensemble des nombres {\bf rationnels}: $-\dfrac{3}{2}$;
$-\dfrac{185}{4}$; 2; est noté $\Q$.
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous
la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, avec
$b$ non nul.
\item L'ensemble de tous les nombres s'appelle l'ensemble des
{\bf nombres réels}; on le note~$\R$.
L'ensemble des nombres réels est aussi l'ensemble des abscisses
des points d'une droite graduée.
\enit
}
\bgex Compléter le tableau suivant: si le nombre appartient à
l'ensemble de nombres, le réécrire sous une forme adaptée, sinon
mettre une croix dans la case.
\vspd
\begin{tabular}{|c|*5{p{2.3cm}|}}\hline
\raisebox{0.5cm}[0.6cm][0.4cm]{}& $\N$ & $\Z$ & $\D$ & $\Q$ & $\R$ \\\hline
\ \raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$25$} &&&&& \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$-12$} &&&&&\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.6cm][0.cm]{$-5.2$} &&&&&\\\hline
\raisebox{0.3cm}[1.cm][0cm]{$-\dfrac{12}{3}$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1.1cm][0.cm]{$\dfrac{\sqrt{81}}{3}$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1cm][0.cm]{$\dfrac{5}{4}$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[1cm][0.2cm]{$\dfrac{2}{3}$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.2cm}[0.7cm][0.cm]{$\sqrt{3}+2$} &&&&&\\\hline
\ \ \raisebox{0.3cm}[0.9cm][0.cm]{$\dfrac{\pi}{3}$} &&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enex
\bgnot
\bgit
\item Le Symbole ``$\in$'' signifie ``appartient à'',
par exemple $11\in \N$; $11\in \D$; $\pi\in\R$.
\item Le symbole ``$\subset$'' signifie ``est inclus dans'',
par exemple $\N\subset\Z$.
\enit
\enot
\bgprop{
$\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R$
}
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-.8)(15,5.8)
\psellipse(6.9,2.5)(8,3)
\rput(13.2,3){$\R$}
\rput(13.2,2.2){$\pi; \sqrt2$}
\rput(13,1.4){$\dots$}
\psellipse(5.9,2.5)(6.2,2.8)
\rput(10.6,3){$\Q$}
\rput(10.8,2.2){$\dfrac13; -\dfrac27$}
\rput(10.6,1.4){$\dots$}
\psellipse(5.2,2.5)(4.6,2.2)
\rput(8.2,3){$\D$}
\rput(8.4,2.4){$0,12; -34,5$}\rput(8.4,1.9){$-1,7104$}
\rput(7.7,1.4){$-4,0003$}\rput(7.6,1){$\dots$}
\psellipse(4.2,2.5)(3.,1.5)
\rput(5.5,3){$\Z$}
\rput(5.5,2.4){$-1; -2$}\rput(5.5,2.){$-3; -4$}\rput(5.5,1.5){$\dots$}
\psellipse(3.2,2.5)(1.3,1.)
\rput(3.2,2.9){$\N$}\rput(3.5,2.3){$0; 1; 2; \dots$}
\end{pspicture}\]
Donner la nature d'un nombre, c'est donner le plus petit ensemble de
nombres auquel il appartient.
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:}
$\bullet$\ \ $-5,2\in \R$\ ,\ \ $-5,2\in \Q$\ ,\ \ $-5,2\in \D$\ ,\ \ donc
$-5,2$ est un nombre décimal.
\vsp\hspace{0.65cm}
$\bullet$\ \ $\dsp\dfrac{5}{3}\in\R$\ ,\ \ $\dsp\dfrac{5}{3}\Q$\ ,\ \
donc $\dsp\dfrac{5}{3}$ est un nombre rationnel.
\sectionc{Nombres premiers}
\bgdef{On appelle nombre premier tout nombre entier qui a exactement
deux diviseurs : 1 et lui-même.
}
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $11=11\tm1$, n'est divisible que par 1 et lui-même: 11 est
un nombre premier.
\hspace{3em} $63=7\tm9$ n'est pas un nombre premier.
\medskip\noindent
\ul{\bf Remarques:} \vsp
\bgit
\item 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers : tout
nombre divise 0, tandis que seul 1 divise 1.
\item 2 est le plus petit nombre premier, et c'est le seul qui soit pair.
\item Les nombres premiers inférieurs à 20 sont:
2, 5, 7, 11, 13, 17, 19
\enit
\bgprop{Tout nombre entier non premier plus grand que 2 peut s'écrire
comme un produit de nombres premiers.
}
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $12=2\tm2\tm3=2^2\tm3$, $42=2\tm3\tm7$,
$600=6\tm100=2\tm3\tm(5\tm2)^2=2^3\tm3\tm5^2$
\medskip\noindent
\ul{{\bf Activité:} Carrelage d'une pièce}\vspd
On souhaite carreler une pièce rectangulaire de longueur L=462 m et
de largeur l=70 m, à l'aide de carrelages carrés.
On souhaite de plus utiliser le plus petit nombre possible de
carrelages, ou, en d'autres termes, des carrelages de côté le plus
grand possible.
Quelle est la taille de ces carrelages ?
\sectionc{Calcul sur les réels}
\subsectionc{Calcul sur les fractions}
\bgprop{Si $a$, $b$, $c$ sont trois nombres réels non nuls, alors
$\dsp \dfrac{a\times c}{b\times c} = \dfrac{a}{b}$, et
$\dsp a\tm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\tm b}{c}$.
}
\bgdef{On appelle inverse du nombre $a$ non nul, le nombre
$\dsp \dfrac{1}{a}$.
}
\medskip\noindent
\ulg{Exemple}: L'inverse de 2 est $\dfrac{1}{2}=0,5$.
\bgprop{L'inverse de la fraction $\dsp\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$
sont des nombres non nuls, est
$\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a}$.
}
\bgex Ecrire sous forme de fraction irréductible les nombres:
\[ a=\dfrac{1}{\dsp\dfrac{2}{5}}\ ;\ \
b=\dfrac{4}{\dsp\dfrac{2}{6}}\ ;\ \
c=\dfrac{\dsp\dfrac{5}{2}}{\dsp\dfrac{10}{6}}\ ;\ \
d=\dfrac{\dsp\dfrac{7}{9}}{\dsp\dfrac{14}{27}}\ ;\ \
e=\dfrac{2}{\dsp\dfrac{x+1}{3}}\ ;\ \
f=\dfrac{\dsp\dfrac{x^2+x}{x-3}}{\dsp\dfrac{x+1}{x^2-9}}\ ;\ \
g=2+\dfrac{\dsp\dfrac{1}{3}x}{x+1}
\]
\enex
\subsectionc{Calcul sur les radicaux}
\subsubsectionc{Règles de calcul sur les radicaux}
\bgprop{Soit $a$ et $b$ deux nombres \ul{positifs}, alors: \vspd
\bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item $\dsp \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ \vspt
\item $\dsp \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
\enit
}
\medskip
\ul{\ul{Mais}}, comme pour les identités remarquables,
$\sqrt{a+b}\not=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, et
$\sqrt{a-b}\not=\sqrt{a}-\sqrt{b}$.
\medskip\noindent
\ulg{Exemples:}
\hspace{0.4cm}
\bgmp[t]{10cm}
\bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item $\sqrt{9\tm16}=\sqrt{9}\tm\sqrt{16}=3\tm4=12$
\medskip
\item $\sqrt{\dfrac{49}{25}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=
\dfrac{7}{5}$.
\medskip
\item
$\sqrt{2}\lp\sqrt{2}+\sqrt{8}\rp=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}\sqrt{8}
=2+\sqrt{16}=2+4=6$
\medskip
\item $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\not=\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$
\enit
\enmp
\medskip
\bgex Simplifier l'écriture des nombres suivants:
\[ A=\sqrt{27}\tm5\sqrt{6}\ ;\ \
B=7\sqrt{75}-2\sqrt{12}\ ;\ \
C=2\sqrt{5}+\sqrt{0,0045}\ ;\ \
D=\lp 11\sqrt{5}-5\sqrt{11}\rp\lp 11\sqrt{5}+5\sqrt{11}\rp
\]
\enex
\bgex
Soit $X=\sqrt{10-\sqrt{84}}+\sqrt{10+\sqrt{84}}$. \vsp
\bgen
\item Calculer $X$ à la calculatrice.
\item Développer $X^2$, puis en déduire $X$, et retrouver le résultat
précédent.
\item Mêmes questions avec $Y=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$
et $Z=\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{15+\sqrt{216}}$.
\enen
\enex
\medskip
\bgex
\bgen
\item Soit $X=\sqrt{24}-\sqrt{6}$.
Calculer $X^2$, puis en déduire la valeur de $X$.
\item Soit $X=\sqrt{50}-\sqrt{8}$.
Calculer $X^2$, puis en déduire la valeur de $X$.
\enen
\enex
\bigskip
\subsubsection{Méthode pour rendre entier un dénominateur comportant une racine
carrée}
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} \'Ecrire les fractions sans racine carrée au dénominateur:
$\dsp \dfrac{2}{\sqrt{3}}$\ ;\ \
$\dsp \dfrac{1}{2+\sqrt{5}}$\ ;\ \
$\dsp \dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$
\vspd
\bgit
\item[\textbf{\ulb{Méthode 1:}}] Le dénominateur est un produit ayant
pour facteur
$\sqrt{a}$ (avec $a$ positif): on multiplie le numérateur et le
dénominateur par $\sqrt{a}$, et on utilise la règle
$\lp\sqrt{a}\rp^2=a$.
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:}
$\dfrac{7}{3\sqrt{5}}
=\dfrac{7}{3\sqrt{5}}\tm \dfrac{\blue \sqrt5}{\blue\sqrt5}
=\dfrac{7\sqrt{5}}{15}$
\bigskip
\item[\textbf{\ulb{Méthode 2:}}] Le dénominateur est une somme dont les termes
contiennent une racine carré,
\medskip
\bgen
\item Si le dénominateur s'écrit $a+\sqrt{b}$, on multiplie le
numérateur et le dénominateur par $a-\sqrt{b}$;
\item Si le dénominateur s'écrit $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, on
multiplie le numérateur et le dénominateur par
$\sqrt{a}-\sqrt{b}$.
\enen
\medskip\noindent
\ulg{Exemples}:
$\dfrac{3}{2+\sqrt3}
=\dfrac{3{\blue \tm(2-\sqrt3)}}{{\blue\Bigl(}2+\sqrt3{\blue\Bigr)\tm(2-\sqrt3)}}
=3(2-\sqrt3)$
\medskip
$\dfrac{6}{\sqrt5-\sqrt2}
=\dfrac{6{\blue\tm(\sqrt5+\sqrt2)}}{{\blue\Bigl(}\sqrt5-\sqrt2{\blue\Bigr)(\sqrt5+\sqrt2)}}
=\dfrac{6(\sqrt5+\sqrt2)}{3}
=2(\sqrt5+\sqrt2)$
\enit
\bgex Ecrire les nombres suivants sous forme d'une seule fraction
sans radicaux au dénominateur:
\medskip\noindent
$a=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}\ ; \quad \
b=\dfrac{14}{3\sqrt{7}}\ ;\quad \
c=\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}\ ;\quad \
d=\dfrac{2+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\ ;\quad \
e=\dfrac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\ ;\quad \
f=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}$
\medskip\noindent
$g=\dfrac{2}{4-\sqrt2}\ ; \quad \
h=\dfrac{3}{4\sqrt{2}-3}\ ;\quad \
i=\dfrac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\ ;\quad \
j=\dfrac{1-\sqrt2}{\sqrt2-\sqrt3}\ ;\quad \
k=\dfrac{1}{2-\sqrt2}-\dfrac{1}{2+\sqrt2}$
\medskip\noindent
$l=\dfrac{1}{\sqrt2-2}+\dfrac{3}{\sqrt3}\ ;\quad \
m=\dfrac{\sqrt3x}{\sqrt2}-\dfrac{\sqrt2x}{\sqrt3}\ ;\quad \
n=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\ ;\quad \
p=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$
\enex
\sectionc{Puissance d'un nombre}
\subsectionc{Règles de calcul sur les puissances}
\bgdef{Si a est un nombre et n un entier naturel non nul,
on appelle puissance n-ième de a, le nombre
$\dsp a^n = \underbrace{a\tm a\tm \cdots \tm a}_{\mbox{n termes}}$.
On pose, pour $a\not=0$,
$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.
\medskip
Par convention, on pose $a^0=1$, pour tout nombre $a$ non nul.
}
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $3^2=9$\ ;\quad \ $2^4=2\tm 2\tm 2\tm 2=16$\ ;
\quad \
$2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$\
\medskip
$(-3)^2=(-3)\tm(-3)=9$\ ;\quad \ $-3^2=-3\tm3=-9$
\medskip
$3^4\tm 3^5
=\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{4 termes}}
\tm\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{5 termes}}
=\underbrace{3\tm\dots\tm3}_{\text{9 termes}}=3^9$
\medskip
$\lp\dfrac{5}{2}\rp^2
=\dfrac{5}{2}\tm\dfrac{5}{2}
=\dfrac{5^2}{2^2}$\ ;\quad
$(-3)^3=(-3)\tm(-3)\tm(-3)=-3^3=-27$
\medskip
$4^5\tm4^{-2}
=4^5\tm\dfrac{1}{4^2}
=\dfrac{4\tm\dots\tm4}{4\tm4}
=4\tm4\tm4=4^3$
\bgprop{Si a et b sont des nombres et n et m des entiers relatifs,
alors
\bgit\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item $a^n\tm a^m = a^{n+m}$ \vspd
\item $a^n\tm b^n = \lp a\tm b\rp^n$ \vspd
\item $\lp\dfrac{a}{b}\rp^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ \vspd
\item $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$\vspd
\item $\lp a^n\rp^m=a^{n\tm m}$
\enit
}
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:}
$2^3\tm2^2=2^5$\ ;\quad \
$5^7\tm5^{-4}=5^3$\ ;\quad \
$\lp\dfrac25\rp^3=\dfrac{2^3}{5^3}=\dfrac{8}{125}$
\bgex Simplifier les expressions suivantes:
\begin{tabular}{ll}
$\bullet$ $\dsp A=\lp a^{-2}\rp^3\tm a$ \hspace{2cm}
& $\bullet$ $\dsp B=\lp a^{-5} b^2\rp^{-1}\tm a b^{-3}$ \\[0.5cm]
$\bullet$ $\dsp C=\dfrac{a^5 b^{-4}}{a^{-5}b^{-2}}$ \hspace{2cm}
& $\bullet$ $\dsp D=\dfrac{16^{-4}\tm 3^{21}}{6^3\tm 9^7}$ \\[0.5cm]
$\bullet$ $\dsp E=\lp -2 x^5\rp^{-4}$ \hspace{2cm}
& $\bullet$ $\dsp F=-2 x^3\tm 5x\tm 3^{-2} x^{-5}$ \\[0.5cm]
$\bullet$ $\dsp G=\dfrac{2^{-5}\tm (-6)^3\tm 3^{-4}}{-9^{-2}\tm 8^{-4}}$ \hspace{1.5cm}
& $\bullet$ $\dsp H=\dfrac{ab^{-3}\lp a^{-2}b^3\rp\lp ab^{-1}\rp^2}{\lp
ab^2\rp^{-1} a b}$
\end{tabular}
\enex
\bgex \!\!\!On sait que $b^3=5,832$ et $b^5=18,89$. Sans calculer b,
calculer $b^2$ et $b^6$.
En déduire~$b$.
\enex
\subsectionc{Cas des puissances de 10}
\bgprop{
Si n est un entier naturel,
\[10^n=\underbrace{10\tm10\tm\cdots\tm10}_{\mbox{n fois}}
=1\underbrace{00\cdots0}_{\mbox{n zéros}} \ \mbox{, et, } \
10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}=\underbrace{0,00\cdots0}_{\mbox{n zéros}}1 \]
}
\ul{Ex}: $10^2=100$; $10^5=100\,000$; $10^{-1}=0,1$; $10^{-4}=0,000\,4$
\bgex Ecrire sous la forme d'une puissance de 10:
\[
I=1000^7\tm 0,01^{10}\ ;\ \
J=\dfrac{100^3}{0,1^9\tm 10000^3}\ ;\ \
K=\dfrac{(0,001)^3 (-10000)^5}{(0,01)^{-4}}\ ;\ \
L=\dfrac{(0,0001)^{-4}(10000)^5(-0,001)^7}{(10\tm 0,01^3)^4}
\]
\enex
\subsectionc{Ecriture scientifique}
\bgprop{
Tout nombre réel $r$ peut s'écrire sous la forme
$r=\pm M\tm10^n$, où $M$ est un nombre décimal tel que
$1\leq M <10$, et $n$ est un entier relatif.
Cette écriture s'appelle \ul{l'écriture scientifique} du nombre $r$.
}
\medskip\noindent
\ulg{Exemple:} $126=1,26\tm10^2$, $232\,519=2,325\,19\tm10^5$,
$0,000\,0536=5,36\tm10^{-5}$
\label{LastPage}
\end{document}
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