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Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques en 2nde: trigonométrie et fonctions trigonométriques
Niveau
Seconde
Mots clé
Exercices de mathématiques, trigo, trigonométrie, fonctions trigonométriques, cosinus, sinus, fonction, généralités, 2nde, seconde
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: Trigonométrie},
    pdftitle={Trigonométrie},
    pdfkeywords={Mathématiques, 2nde, seconde, exercices, 
      trigonométrie, fonctions trigonométriques}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
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\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}%
\nopagebreak%
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


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\newcounter{ntheo}
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  \noindent
  \paragraph{Théorème }
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  \stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Propriété }
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  \paragraph{Propriétés }
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire }
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  \noindent
  {\large\bf Définition }
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\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Trigonométrie - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\text{nde}}$


\bgex Compléter: 
\vspd

\ct{
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\rput(-1.8,0.1){$\tm\dots$}
\psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0.1){1}{100}{260}
\begin{tabular}{|l|*8{p{1.1cm}|}}\hline
Degrés & $0$ & $30$ & $45$ & $60$ & $90$ & $135$ & $180$ & $360$ 
\\\hline
Radians & $0$ & &&&&&&
\\\hline
\end{tabular}
\psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0.1){1}{-80}{80}
\rput(1.5,0.1){$\tm\dots$}
}

\vspace{0.6cm}\ct{
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{tabular}{|l|*7{p{1.1cm}|}}\hline
  Degrés & $1$ &  & $-15$ & $20$ & $270$ & &
  \\\hline
  Radians &  & $1$ & & & &$\dfrac{167\pi}{4}$& $\dfrac{7\pi}{3}$
  \\\hline
\end{tabular}
}
\enex

\bgex
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants: 

\vspd\noindent
a)\ $17\pi$\qquad
b)\ $\dfrac{9\pi}{2}$\qquad
c)\ $\dfrac{7\pi}{3}$ \qquad
d)\ $-\dfrac{11\pi}{6}$ \qquad
e)\ $\dfrac{9\pi}{8}$ \qquad
f)\ $\dfrac{15\pi}{2}$ \qquad
g)\ $\dfrac{26\pi}{4}$ \qquad
h)\ $-\dfrac{13\pi}{5}$ \qquad
\enex


\bgex
\bgen
\item $ABCD$ est un carré de côté $1$. 

  \bgmp{12cm}
  Calculer la longueur $AC$, puis en déduire les valeurs exactes de 
  $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$.
  \enmp\qquad
  \bgmp{3cm}
  \begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(2.2,1.2)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
    \psline(0,2)(2,0)
    \rput(-0.2,2.2){$A$}
    \rput(2.2,2.2){$B$}
    \rput(2.2,-.2){$C$}
    \rput(-0.2,-0.2){$D$}
  \end{pspicture}
  \enmp

\item $RST$ est un triangle équilatéral de côté $1$. 

  \bgmp{12cm}
  Calculer la longueur $TI$, en déduire les valeurs exates de 
  $\cos\dfrac{\pi}{6}$, 
  $\sin\dfrac{\pi}{6}$, 
  $\cos\dfrac{\pi}{3}$ et 
  $\sin\dfrac{\pi}{3}$.
  \enmp\qquad
  \bgmp{3cm}
  \begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(2.2,1.4)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.7)
    \psline(1,1.7)(1,0)
    \psline(0.4,-0.1)(0.5,0.1)\psline(0.5,-0.1)(0.6,0.1)
    \psline(1.4,-0.1)(1.5,0.1)\psline(1.5,-0.1)(1.6,0.1)
    \rput(1,1.9){$T$}
    \rput(-0.2,-0.2){$R$}
    \rput(2.2,-0.2){$S$}
    \rput(1,-0.2){$I$}
  \end{pspicture}
  \enmp
\enen
\enex


\bgex
En plaçant les angles sur le cercle trigonométrique et en s'aidant de
symétries, donner les valeurs exactes de: \quad
a)\ $\cos(3\pi)$ \qquad
b)\ $\cos\lp-\dfrac{\pi}{2}\rp$\qquad
c)\ $\cos\lp\dfrac{3\pi}{4}\rp$\qquad
d)\ $\cos\lp\dfrac{5\pi}{4}\rp$\qquad
e)\ $\cos\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$\qquad
f)\ $\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$\qquad
g)\ $\cos\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp$\qquad
h)\ $\cos\lp-\dfrac{3\pi}{4}\rp$\qquad
i)\ $\sin\lp\dfrac{4\pi}{3}\rp$
\qquad
\enex



\bgex
En s'aidant du cercle trigonométrique, résoudre sur $]-\pi;\pi]$ 
les équations suivantes: 

\noindent
\begin{tabular}{*4{p{4.3cm}}}
a)\ $\cos x=\cos\lp\dfrac{\pi}{6}\rp$
&b)\ $\sin x=\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$
&c)\ $\cos x=-\dfrac12$
&d)\ $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$\\[1.2em]
e)\ $\sin(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
&f)\ $\cos\lp3x+\dfrac{\pi}{4}\rp=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
&g)\ $\cos^2x=\dfrac14$
&h)\ $\sin^2x=\dfrac12$
\end{tabular}
\enex


\bgex
En s'aidant du cercle trigonométrique, 
compléter les tableaux de variation des fonctions sinus et cosinus: 
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|c|cp{.5cm}cp{.5cm}cp{.5cm}cp{.5cm}c|}\hline
$x$ & $-\pi$ && $-\dfrac{\pi}{2}$ && $0$ && $\dfrac{\pi}{2}$ && $\pi$ \\[.5em]\hline
&&&&&&&&&\\
$\cos x$&&&&&&&&&\\
&&&&&&&&&\\
\hline\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{|c|cp{.5cm}cp{.5cm}cp{.5cm}cp{.5cm}c|}\hline
$x$ & $-\pi$ && $-\dfrac{\pi}{2}$ && $0$ && $\dfrac{\pi}{2}$ && $\pi$ \\[.5em]\hline
&&&&&&&&&\\
$\sin x$&&&&&&&&&\\
&&&&&&&&&\\
\hline\end{tabular}
\]
\enex

\bgex
Tracer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus à
l'aide des tableaux de variation précédents, des valeurs remarquables
des sinus et cosinus, et éventuellement de la calculatrice. 
\enex


\bgex
En utilisant les courbes tracées dans l'exercice précédent 
et/ou le cercle trigonométrique, compléter: 

\noindent\begin{tabular}{lrrcccc}
a)& Si &$\dfrac\pi6\leqslant x\leqslant \dfrac\pi3$, 
&alors\qquad  $\ \dots \quad \leqslant \cos x\leqslant\quad \dots \ $ 
\qquad &et \qquad  
$\ \dots \quad \leqslant \sin x\leqslant\quad \dots \ $ 
\\[1em]
b)& Si &$-\dfrac\pi6\leqslant x\leqslant \dfrac\pi3$, 
&alors\qquad  $\ \dots \quad \leqslant \cos x\leqslant\quad \dots \ $ 
\qquad &et \qquad  
$\ \dots \quad \leqslant \sin x\leqslant\quad \dots \ $ 
\\[1em]
c)& Si &$\dfrac\pi6\leqslant x\leqslant \dfrac{2\pi}{3}$, 
&alors\qquad  $\ \dots \quad \leqslant \cos x\leqslant\quad \dots \ $ 
\qquad &et \qquad  
$\ \dots \quad \leqslant \sin x\leqslant\quad \dots \ $ 
\end{tabular}
\enex



\bgex
Soit $f$ la fonction périodique de période $1$ définie par 
$f(t)=-2t+1$ si $t\in[0;1]$. 

Tracer la représentation graphique de $f$ sur $[-2;4]$. 
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction périodique de période $2$ définie par 
$f(t)=t^2$ si $t\in[-1;1]$. 

Tracer la représentation graphique de $f$ sur $[-3;5]$. 
\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction périodique, de période 2, 
définie par $f(t)=-2t^2+2$ si $t\in[-1;1]$.  

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-1;1]$. 

Tracer alors la représentation graphique de $f$ sur $[-3;5]$. 
\enex


\bgex
L''évolution de la population $P$ d'animaux dans une forêt est
modélisée par: 
\[P(t)=500+50\sin\lp 2\pi t-\dfrac{\pi}{2}\rp\ ,\]
où $t$ est exprimé en années. 

\bgen
\item Calculer $P(0)$, $P\lp\dfrac12\rp$ et $P(1)$. 
\item Quelle est la période de la fonction $P$ ?
\item Pour quelle valeur de $t$, la population est-elle à son maximum
  dans la première année ? 
  Quelle est la population maximum ?
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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