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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en 2nde: trigonométrie
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Cercle trigonométrique - Mesure des angles orientés
  • Cosinus et sinus d'un angle orienté
    • Angles remarquables
    • Propriétés des cosinus et sinus
  • Equations trigonométriques
  • Fonctions cosinus et sinus
Mots clé
Cours de mathématiques, trigonométrie, fonctions trigonométriques, cosinus, sinus, cercle trigonométrique, radians, angle
Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Trigonométrie},
    pdftitle={Trigonométrie},
    pdfkeywords={Mathématiques, 2nde, seconde, cours, 
      trigonométrie, fonctions trigonométriques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}


\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}%
\nopagebreak%
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=19cm
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\parindent=0.2cm

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème }
  \noindent
  \paragraph{Théorème }
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété }
  \noindent
  \paragraph{Propriété }
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
  \settowidth{\lprops}{Propriétés }
  \noindent
  \paragraph{Propriétés }
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire }
  \noindent
  \paragraph{Corollaire }
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{\large\bf Définition }
  \noindent
  {\large\bf Définition }
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Trigonométrie et fonctions trigonométriques}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\text{nde}}$

\section{Cercle trigonométrique - Mesure des angles orientés}

\bgdef{
Dans le plan muni d'un repère $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, 
le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon
$1$ sur lequel on a choisi: 
\bgit
\item un {\bf sens direct}, ou sens positif, sens inverse des
  aiguilles d'une montre 
\item un {\bf sens indirect}, ou sens négatif, sens des aiguilles
  d'une montre. 
\enit
}

\ct{
\psset{unit=2cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.4)
  \rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \psline(-1.2,0)(1.2,0)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.15){$\vec{i}$}
  \psline(0,-1.2)(0,1.2)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.15,0.5){$\vec{j}$}
  \pscircle(0,0){1}
  %
  \psarc[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0){1.3}{20}{65}\rput(1.1,1.){\red\bf\large +}
  \psarc[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{<-}(0,0){1.3}{-65}{-20}\rput(1.1,-1.){\blue\bf\Large -}
\end{pspicture}
}

\bgdef{
  Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians d'un angle
  orienté est égale à la mesure algébrique (avec un signe) de l'arc
  intercepté. 
}

\vspq\noindent
\ul{Exemple:} 
Un tour complet, soit $360^\circ$, mesure $2\pi$ radians. 

L'angle orienté $\lp\vec{i},\vec{j}\rp$ mesure
$\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ radians ($1/4$ de tour). 

L'angle orienté $\lp\vec{j},\vec{i}\rp$ mesure 
$-\dfrac{\pi}{2}$ radians. 

\vspd
On parle d'{\bf une} mesure de l'angle orienté car il en possède une
infinité: 

l'angle orienté $\lp\vec{i},\vec{j}\rp$ mesure 
$\dfrac{\pi}{2}$ rad, $\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{5\pi}{2}$ rad, 
$\dfrac{5\pi}{2}+2\pi=\dfrac{9\pi}{2}$ rad,\dots , 
$\dfrac{\pi}{2}-2\pi=-\dfrac{3\pi}{2}$ rad,\dots


\bgex Compléter: 
\vspd

\ct{
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\rput(-1.8,0.1){$\tm\dots$}
\psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0.1){1}{100}{260}
\begin{tabular}{|l|*8{p{1.1cm}|}}\hline
Degrés & $0$ & $30$ & $45$ & $60$ & $90$ & $135$ & $180$ & $360$ 
\\\hline
Radians & $0$ & &&&&&&
\\\hline
\end{tabular}
\psarc[arrowsize=7pt]{->}(0,0.1){1}{-80}{80}
\rput(1.5,0.1){$\tm\dots$}
}

\vspace{0.6cm}\ct{
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{tabular}{|l|*7{p{1.1cm}|}}\hline
  Degrés & $1$ &  & $-15$ & $20$ & $270$ & &
  \\\hline
  Radians &  & $1$ & & & &$\dfrac{167\pi}{4}$& $\dfrac{7\pi}{3}$
  \\\hline
\end{tabular}
}
\enex

\bigskip
\bgdef{
  La {\bf mesure principale} d'un angle orienté est la mesur de cet
  angle appartenant à l'intervalle $]-\pi;\pi]$. 
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
L'angle orienté $\lp\vec{j},\vec{i}\rp$ a plusieurs mesures: 
$\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{\pi}{2}$, 
$\dfrac{3\pi}{2}+2\pi=\dfrac{7\pi}{2}$,\dots 

Sa mesure principale est $-\dfrac{\pi}{2}$. 

\bgex
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants: 

\vspd\noindent
a)\ $17\pi$\qquad
b)\ $\dfrac{9\pi}{2}$\qquad
c)\ $\dfrac{7\pi}{3}$ \qquad
d)\ $-\dfrac{11\pi}{6}$ \qquad
e)\ $\dfrac{9\pi}{8}$ \qquad
f)\ $\dfrac{15\pi}{2}$ \qquad
g)\ $\dfrac{26\pi}{4}$ \qquad
h)\ $-\dfrac{13\pi}{5}$ \qquad
\enex

\section{Cosinus et sinus d'un angle orienté}
\vspace{-.6cm}


\bgex
\bgen
\item $ABCD$ est un carré de côté $1$. 

  \bgmp{12cm}
  Calculer la longueur $AC$, puis en déduire les valeurs exactes de 
  $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$.
  \enmp\qquad
  \bgmp{3cm}
  \begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(2.2,1.2)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
    \psline(0,2)(2,0)
    \rput(-0.2,2.2){$A$}
    \rput(2.2,2.2){$B$}
    \rput(2.2,-.2){$C$}
    \rput(-0.2,-0.2){$D$}
  \end{pspicture}
  \enmp

\item $RST$ est un triangle équilatéral de côté $1$. 

  \bgmp{12cm}
  Calculer la longueur $TI$, en déduire les valeurs exates de 
  $\cos\dfrac{\pi}{6}$, 
  $\sin\dfrac{\pi}{6}$, 
  $\cos\dfrac{\pi}{3}$ et 
  $\sin\dfrac{\pi}{3}$.
  \enmp\qquad
  \bgmp{3cm}
  \begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(2.2,1.4)
    \pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.7)
    \psline(1,1.7)(1,0)
    \psline(0.4,-0.1)(0.5,0.1)\psline(0.5,-0.1)(0.6,0.1)
    \psline(1.4,-0.1)(1.5,0.1)\psline(1.5,-0.1)(1.6,0.1)
    \rput(1,1.9){$T$}
    \rput(-0.2,-0.2){$R$}
    \rput(2.2,-0.2){$S$}
    \rput(1,-0.2){$I$}
  \end{pspicture}
  \enmp
\enen
\enex


\bgdef{
Soit $M$ un point du cercle trigonométrique, 
et $x$ une mesure de l'angle orienté 
$\lp \vec{i},\V{OM}\rp$. 

\bgit
\item Le {\bf cosinus} de $x$, noté $\cos x$, est l'abscisse de $M$. 
\item Le {\bf sinus} de $x$, noté $\sin x$, est l'ordonnée de $M$. 
\enit
}

\[\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(1.3,1.3)
  \rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \psline(-1.2,0)(1.2,0)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.3,-0.1){$\vec{i}$}
  \psline(0,-1.2)(0,1.2)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.1,0.8){$\vec{j}$}
  \pscircle(0,0){1}
  %
  \rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1.05,0.55){$M$}
  \psline(0,0)(0.866,0.5)
  \psarc{->}(0,0){0.6}{0}{30}\rput(0.7,0.15){$x$}
  %
  \psline[linestyle=dashed](0.866,0)(0.866,0.5)(0,0.5)
  \rput(0.85,-0.1){$\cos x$}
  \rput(-0.15,0.52){$\sin x$}
\end{pspicture}\]

\bgmp{11cm}
{\bf Angles remarquables} \\[0.3cm]
\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
\begin{tabular}{|c|*5{p{1.2cm}|}}\hline
$x$ & 
\bgmp{1.2cm} $0^\circ$ \\[0.3cm] $0$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $30^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{6}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $45^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{4}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $60^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{3}$ rad \enmp
&
\bgmp{1.2cm} $90^\circ$ \\[0.2cm] $\dfrac{\pi}{2}$ rad \enmp
\\\hline
$\sin x$ & $0$ & $\dfrac{\red\bf 1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{\red\bf 2}}{2}$ 
& $\dfrac{\sqrt{\red\bf 3}}{2}$ & $1$ 
\\\hline
$\cos x$ & $1$ & $\dfrac{\sqrt{\blue\bf 3}}{2}$ 
& $\dfrac{\sqrt{\blue\bf 2}}{2}$ & $\dfrac{\blue\bf 1}{2}$ & $0$
\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
  \psline(-0.1,0)(1.2,0)\rput(-0.1,1.15){$\lp\sin\rp$}
  \psline(0,-0.1)(0,1.2)\rput(1.3,-0.08){$\lp\cos\rp$}
  \rput(1.02,-0.08){$1$}\rput(-0.05,1.02){$1$}
  \rput(-0.08,-0.08){$O$}
  \psarc(0,0){1}{0}{90}
  % pi/6
  \rput(0.866,0.5){$\bullet$}\rput(1,0.5){$\dfrac{\pi}{6}$}
  \psline[linestyle=dashed](0.866,0)(0.866,0.5)(0,0.5)
  \rput(0.88,-0.1){$\frac{\sqrt{\blue3}}{2}$}
  \rput(-0.06,0.5){$\frac{\red1}{2}$}
  % pi/4
  \rput(0.707,0.707){$\bullet$}\rput(0.85,0.8){$\dfrac{\pi}{4}$}
  \psline[linestyle=dashed](0.707,0)(0.707,0.707)(0,0.707)
  \rput(0.7,-0.1){$\frac{\sqrt{\blue 2}}{2}$}
  \rput(-0.1,0.7){$\frac{\sqrt{\red2}}{2}$}
  % pi/6
  \rput(0.5,0.866){$\bullet$}\rput(0.6,1){$\dfrac{\pi}{3}$}
  \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.866)(0,0.866)
  \rput(0.5,-0.1){$\frac{\blue1}{2}$}
  \rput(-0.09,0.88){$\frac{\sqrt{\red3}}{2}$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgprop{Pour tout réel $x$: 
\bgit
\item[$\bullet$] $-1\leqslant \cos x\leqslant 1$ 
\item[$\bullet$] $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$ 
\item[$\bullet$] $\cos^2 x +\sin^2 x=1$ 
  {\sl (en notant $\cos^2 x = \lp\cos x\rp^2$ 
    et $\sin^2 x=\lp\sin x\rp^2$)}
\enit
}

\bgex
En plaçant les angles sur le cercle trigonométrique et en s'aidant de
symétries, donner les valeurs exactes de: \quad
a)\ $\cos(3\pi)$ \qquad
b)\ $\cos\lp-\dfrac{\pi}{2}\rp$\qquad
c)\ $\cos\lp\dfrac{3\pi}{4}\rp$\qquad
d)\ $\cos\lp\dfrac{5\pi}{4}\rp$\qquad
e)\ $\cos\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$\qquad
f)\ $\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$\qquad
g)\ $\cos\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp$\qquad
h)\ $\cos\lp-\dfrac{3\pi}{4}\rp$\qquad
i)\ $\sin\lp\dfrac{4\pi}{3}\rp$
\qquad
\enex



\section{\'Equations trigonométriques}
\vspace{-.5cm}

\bgex
En s'aidant du cercle trigonométrique, résoudre sur $]-\pi;\pi]$ 
les équations suivantes: 

\noindent
\begin{tabular}{*4{p{4.3cm}}}
a)\ $\cos x=\cos\lp\dfrac{\pi}{6}\rp$
&b)\ $\sin x=\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp$
&c)\ $\cos x=-\dfrac12$
&d)\ $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$\\[1.2em]
e)\ $\sin(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
&f)\ $\cos\lp3x+\dfrac{\pi}{4}\rp=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
&g)\ $\cos^2x=\dfrac14$
&h)\ $\sin^2x=\dfrac12$
\end{tabular}
\enex





\section{Fonctions sinus et cosinus}

\bgdef{
La fonction cosinus est la fonction, notée $\cos$, qui à toutt nombre
réel $x$ associe le nombre~$\cos x$. 

De même, la fonction sinus est la fonction $x\mapsto \sin x$, pout
$x\in\R$. 
}



\bgex
En s'aidant du cercle trigonométrique, 
compléter les tableaux de variation des fonctions sinus et cosinus: 
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|c|cp{.5cm}cp{.5cm}cp{.5cm}cp{.5cm}c|}\hline
$x$ & $-\pi$ && $-\dfrac{\pi}{2}$ && $0$ && $\dfrac{\pi}{2}$ && $\pi$ \\[.5em]\hline
&&&&&&&&&\\
$\cos x$&&&&&&&&&\\
&&&&&&&&&\\
\hline\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}{|c|cp{.5cm}cp{.5cm}cp{.5cm}cp{.5cm}c|}\hline
$x$ & $-\pi$ && $-\dfrac{\pi}{2}$ && $0$ && $\dfrac{\pi}{2}$ && $\pi$ \\[.5em]\hline
&&&&&&&&&\\
$\sin x$&&&&&&&&&\\
&&&&&&&&&\\
\hline\end{tabular}
\]
\enex

\bgex
Tracer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus à
l'aide des tableaux de variation précédents, des valeurs remarquables
des sinus et cosinus, et éventuellement de la calculatrice. 
\enex


\bgex
En utilisant les courbes tracées dans l'exercice précédent 
et/ou le cercle trigonométrique, compléter: 

\noindent\begin{tabular}{lrrcccc}
a)& Si &$\dfrac\pi6\leqslant x\leqslant \dfrac\pi3$, 
&alors\qquad  $\ \dots \quad \leqslant \cos x\leqslant\quad \dots \ $ 
\qquad &et \qquad  
$\ \dots \quad \leqslant \sin x\leqslant\quad \dots \ $ 
\\[1em]
b)& Si &$-\dfrac\pi6\leqslant x\leqslant \dfrac\pi3$, 
&alors\qquad  $\ \dots \quad \leqslant \cos x\leqslant\quad \dots \ $ 
\qquad &et \qquad  
$\ \dots \quad \leqslant \sin x\leqslant\quad \dots \ $ 
\\[1em]
c)& Si &$\dfrac\pi6\leqslant x\leqslant \dfrac{2\pi}{3}$, 
&alors\qquad  $\ \dots \quad \leqslant \cos x\leqslant\quad \dots \ $ 
\qquad &et \qquad  
$\ \dots \quad \leqslant \sin x\leqslant\quad \dots \ $ 
\end{tabular}
\enex


\bgprop{
Pour tout réel $x$, 
$\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$. 

Les fonctions $x\mapsto \cos x$ et $x\mapsto \sin x$ sont 
{\bf périodiques} de période $2\pi$. 

Les courbes représentatives des fonctions sinus (sinusoïde) et
cosinus (cosinusoïde) sont inchangées par translation de vecteur 
$2\pi\vec{i}$. 
}

\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-8.5,-1.5)(8.5,1.5)
  \psline{->}(-8.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,1.4)
  \rput(0.2,-0.2){$O$}
  \psplot[plotpoints=1000]{-8}{8}{x 3.14 div 180 mul sin}
  \psline(-6.28,-0.1)(-6.28,0.1)\rput(-6.28,-0.4){$-2\pi$}
  \psline(-4.59,-0.1)(-4.59,0.1)\rput(-4.59,-0.4){$-\frac{3\pi}{2}$}
  \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)\rput(-3.14,-0.4){$-\pi$}
  \psline(-1.53,-0.1)(-1.53,0.1)\rput(-1.53,-0.4){$-\frac{\pi}{2}$}
  \psline(1.53,-0.1)(1.53,0.1)\rput(1.53,-0.4){$\frac{\pi}{2}$}
  \psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)\rput(3.14,-0.4){$\pi$}
  \psline(4.59,-0.1)(4.59,0.1)\rput(4.59,-0.4){$\frac{3\pi}{2}$}
  \psline(6.28,-0.1)(6.28,0.1)\rput(6.28,-0.4){$2\pi$}
  \rput(2.7,1.1){$y=\sin x$}
\end{pspicture}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-1.5)(8.5,1.5)
  \psline{->}(-8.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,1.4)
  \rput(0.2,-0.2){$O$}
  \psplot[plotpoints=1000]{-8}{8}{x 3.14 div 180 mul cos}
  \psline(-6.28,-0.1)(-6.28,0.1)\rput(-6.28,-0.4){$-2\pi$}
  \psline(-4.59,-0.1)(-4.59,0.1)\rput(-4.59,-0.4){$-\frac{3\pi}{2}$}
  \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)\rput(-3.14,-0.4){$-\pi$}
  \psline(-1.53,-0.1)(-1.53,0.1)\rput(-1.53,-0.4){$-\frac{\pi}{2}$}
  \psline(1.53,-0.1)(1.53,0.1)\rput(1.53,-0.4){$\frac{\pi}{2}$}
  \psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)\rput(3.14,-0.4){$\pi$}
  \psline(4.59,-0.1)(4.59,0.1)\rput(4.59,-0.4){$\frac{3\pi}{2}$}
  \psline(6.28,-0.1)(6.28,0.1)\rput(6.28,-0.4){$2\pi$}
  \rput(1.5,1){$y=\cos x$}
\end{pspicture}

\bgex
Soit $f$ la fonction périodique de période $1$ définie par 
$f(t)=-2t+1$ si $t\in[0;1]$. 

Tracer la représentation graphique de $f$ sur $[-2;4]$. 
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction périodique de période $2$ définie par 
$f(t)=t^2$ si $t\in[-1;1]$. 

Tracer la représentation graphique de $f$ sur $[-3;5]$. 
\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction périodique, de période 2, 
définie par $f(t)=-2t^2+2$ si $t\in[-1;1]$.  

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-1;1]$. 

Tracer alors la représentation graphique de $f$ sur $[-3;5]$. 
\enex


\bgex
L''évolution de la population $P$ d'animaux dans une forêt est
modélisée par: 
\[P(t)=500+50\sin\lp 2\pi t-\dfrac{\pi}{2}\rp\ ,\]
où $t$ est exprimé en années. 

\bgen
\item Calculer $P(0)$, $P\lp\dfrac12\rp$ et $P(1)$. 
\item Quelle est la période de la fonction $P$ ?
\item Pour quelle valeur de $t$, la population est-elle à son maximum
  dans la première année ? 
  Quelle est la population maximum ?
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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