Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Ordre et intervalles},
pdftitle={Nombres, ordre et intervalles},
pdfkeywords={mathématiques, cours, exercices,
ordre, intervalle}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\newcommand{\ctbf}[1]{\ct{\bf #1}}
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\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Théorème:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}
\newenvironment{Notation}{\paragraph{\ulg{Notation:}} \it}{}
\nwc{\bgnot}{\begin{Notation}}\nwc{\enot}{\end{Notation}}
\newenvironment{lemme}{\paragraph{Lemme:} \it}{}
\nwc{\bglem}{\begin{lemme}}\nwc{\enlem}{\end{lemme}}
\newtheorem{corol}{Corollaire}
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\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection})}
\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\sectionc}[1]{\section{\ulr{#1}}}
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\newenvironment{definitioncolor}{\paragraph{\ulb{Définition:}} \it}{}
\nwc{\bgdefc}{\begin{definitioncolor}}
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\newenvironment{propcolor}{\paragraph{\ulr{Propriété:}} \it}{}
\nwc{\bgpropc}{\begin{propcolor}}
\nwc{\enpropc}{\end{propcolor}}
\newlength{\colu}
\newlength{\cold}
\newlength{\colt}
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\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}}
\begin{minipage}[t]{\cold-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
}
\nwc{\proptitle}{Propriété}
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\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ulb{\proptitle:}}
\begin{minipage}[t]{\cold-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Nombres, ordre et intervalles}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
\cfoot{}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\footskip=2cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$
\setcounter{section}{0}
\sectionc{Ordre}
\bgdef{
Soient a et b deux nombres réels.
On dit que
\bgit
\item[$\bullet$] a est inférieur à b, et on note $a<b$ si
$a-b<0$.
\item[$\bullet$] a est supérieur à b, et on note $a>b$ si
$a-b>0$.
\enit
}
\ul{Ex:} $2<3$ car $2-3=-1<0$\,;\ $-5>-6$ car $-5-(-6)=1>0$
\bgprop{
Si $a<b$ et $b<c$, alors $a<c$.
}
\ul{Ex:} $-1<0$ et $0<3$, donc $-1<3$\,;
%\hspace{0.8cm}
$\sqrt{2}<2$ et $\pi>2$, donc $\sqrt{2}<\pi$\,;
\vspd
\hspace{0.8cm} $\dsp\frac{2}{3}<1$ et $\dsp\frac{12}{11}>1$, donc
$\dsp\frac{2}{3}<\frac{12}{11}$
\bgprop{
Si $a>0$, $b>0$ et $a>b$ alors $a^2>b^2$ et $\sqrt{a}>\sqrt{b}$
et $\dsp\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$.
}
\vspd
\ul{Démonstration:}
$\bullet$
$a^2-b^2=\underbrace{\lp a+b\rp}_{>0}\underbrace{\lp a-b\rp}_{>0}>0$,
d'où, $a^2>b^2$.
\vspd
$\bullet$
$\dsp\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\lp\sqrt{a}-\sqrt{b}\rp\lp\sqrt{a}+\sqrt{b}\rp}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}>0$
\hspace{0.3cm}$\bullet$ $\dsp\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{b-a}{ab}<0$.
%\enit
\vspt
\ul{Exemples et contre-exemples:}
$\bullet$ $3<5$ donc $3^2<5^2$ \hspace{2.61cm}
$\bullet$ $2<\pi$ donc $\sqrt{2}<\sqrt{\pi}$ et
$\dsp\frac{1}{\pi}<\frac{1}{2}$
$\bullet$ $-5<-3$ mais $(-5)^2>(-3)^2$ \hspace{1cm}
$\bullet$ $-3<2$ mais $-\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$
\bgprop{
Si $a<b$ et $c<d$ alors $a+c<b+d$.
}
\bgprop{
Si $a<b$ et $c>0$ alors $ac<bc$.
Si $a<b$ et $c<0$ alors $ac>bc$.
}
\vspd
\ul{Ex:} $2<3$ alors $2\tm 2<3\tm 2$ mais $-2>-3$
\bgprop{
Si a, b, c et d sont des nombres \ul{positifs} et si $a<b$ et
$c<d$ alors $ac<bd$.
}
\vspd
\ul{Exemples et contre-exemples:}\vspd
$\bullet$ $3<5$ et $\pi<4$, donc $3\pi<20$ \hspace{1cm}
$\bullet$ $-4<5$ et $-2<-1$, mais $8>-5$
\bgprop{
Si $0<a<1$ alors $a^3<a^2<a$.
Si $a>1$ alors, $a^3>a^2>a$.
}
\sectionc{Intervalles de $\R$}
\bgdef{
Soient a et b sont deux nombres réels tesl que $a<b$.
L'ensemble des nombres réels x vérifiant la double inégalité
$a\leq x\leq b$ est appelé intervalle fermé de $\R$.
On le note $[a,b]$.
Les nombres a et b sont les bornes de l'intervalle $[a,b]$, et b-a
son amplitude (ou longueur).
}
% \vspd
% \ct{\ulb{Intervalles de $\R$} }
\vspd
\setlength{\unitlength}{1cm}
\hspace{1.5cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Intervalle & Encadrement & Représentation sur une droite\\\hline
$[a,b]$ & $a\leq x\leq b$ &
\makebox[5cm]{
\put(-2,0){\vector(1,0){4}}
\put(-1,0){\textcolor{red}{\line(1,0){2}}}
\put(-1.1,0.3){a}\put(1.,0.3){b}
\put(-1.1,-.1){$[$}\put(1.,-.1){$]$}
} \\\hline
$]a,b[$ & $a< x< b$ &
\makebox[5cm]{
\put(-2,0){\vector(1,0){4}}
\put(-1,0){\textcolor{red}{\line(1,0){2}}}
\put(-1.1,0.3){a}\put(1.,0.3){b}
\put(-1.1,-.1){$]$}\put(1.,-.1){$[$}
} \\\hline
$]a,b]$ & & \\\hline
$[a,b[$ & & \\\hline
$[a,+\infty[$ & $a\leq x<\infty$ &
\makebox[5cm]{
\put(-2,0){\vector(1,0){4}}
\put(-1,0){\textcolor{red}{\vector(1,0){3}}}
\put(-1.1,0.3){a}
\put(-1.1,-.1){$[$}
} \\\hline
$]a,+\infty[$ & & \\\hline
$]-\infty,b]$ & & \\\hline
$]-\infty,b[$ & & \\\hline
\end{tabular}
\sectionc{Valeur absolue et distance}
\bgdef{
Pour $x$ un nombre réel, on appelle valeur absolue de x, notée
$|x|$, le nombre \ulr{positif}:
\[ |x| = \la\bgar{l} x\ \mbox{ si, } x\geq0 \\
-x\ \mbox{ si, } x\leq0 \enar\right.\]
}
\ul{Ex:} $|2,35|=2,35$\,;\ $|-124,36|=124,36$\,;\
$|-\sqrt{197}|=\sqrt{197}$\,;\
Si $x$ est un nombre réel, $|x-2|=\dots$.
\bgdef{
On appelle distance entre deux nombres réels x et y, notée dist(x,y),
celui des deux nombres $x-y$ ou $y-x$ qui est positif.
}
\vspace{-0.3cm}
\bgprop{
La distance entre les nombres réels x et y est dist(x,y)$=|x-y|=|y-x|$.
}
\ul{Ex:} La distance entre
$\bullet$ $x=2$ et $y=3$ est $|3-2|=|2-3|=1$
$\bullet$ $x=-2$ et $y=6$ $\dots$
$\bullet$ $x=-16$ et $y=-4$
\ulg{Remarque:} La valeur absolue de x est la distance entre x est
0.
\bgprop{
Soient c un nombre réel et r un nombre réel positif; les quatres
propositions suivantes sont équivalentes:
\setlength{\unitlength}{1cm}
\bgit
\item[$\bullet$] la distance de x à c est inférieure ou égale à r;
\item[$\bullet$] $x\in [c-r;c+r]$;
\item[$\bullet$] $|x-c|\leq r$;
\put(2,0){\vector(1,0){6}}
\put(3,0){\textcolor{red}{\line(1,0){4}}}
\put(4,0.4){\vector(1,0){1}}\put(4,0.4){\vector(-1,0){1}}
\put(6,0.4){\vector(1,0){1}}\put(6,0.4){\vector(-1,0){1}}
\put(4,0.6){$r$}\put(6,0.6){$r$}
\put(5,-.1){$|$}\put(5,-0.4){$c$}
\put(3,-.1){\textcolor{red}{$[$}}\put(2.7,-.5){$c-r$}
\put(7,-.1){\textcolor{red}{$]$}}\put(6.7,-.5){$c+r$}
\item[$\bullet$] $c-r\leq x\leq c+r$;
\enit
}
\ul{Ex:}
$\bullet$ $|x-2|\leq 3$ $\cdots$
$\bullet$ $x\in [-3,5]$ s'écrit de façon équivalente $|x-1|\leq 4$
car $1=\frac{-3+5}{2}$ et $4=\frac{5-(-3)}{2}=\frac{\mbox{dist}(x,y)}{2}$.
\sectionc{Valeur approchée d'un nombre réel}
\bgdef{
On appelle valeur approchée d'un nombre réel x à la précision e (ou
à ``e près'') tout nombre réel a tel que $|x-a|\leq e$
}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\makebox[10cm]{
\put(-2,0){\vector(1,0){4}}
\put(-1,0){\textcolor{red}{\line(1,0){2}}}
\put(-1.3,0.3){$a-e$}\put(0.7,0.3){$a+e$}
\put(-1.1,-.1){$[$}\put(1.,-.1){$]$}
\put(0,-.1){$|$}\put(-.1,0.3){$a$}
\put(-.5,-.4){$x$}
}
\ul{Ex:} $\bullet$ $1,4$ est une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à
$0,1$ près car $|\sqrt{2}-1,2|\leq 0,1$
$\bullet$ $3,1$ et $3,12$ sont deux valeurs approchées de $\pi$ à
$0,1$ près.
\ulr{Remarque:} Les calculatrices et ordinateurs calculent et
utilisent des valeurs approchées des nombres réels à $\cdots$ près.
Ex: $\pi\sim\cdots$
\label{LastPage}
\end{document}
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