Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de math�matiques: R�solution d'�quations},
pdftitle={R�solution d'�quations - Exercices},
pdfkeywords={�quation, r�qolution, �quation produit, �quation quotient, seconde, 2nde}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\scp}[1]{\scriptstyle#1}
\nwc{\scpp}[1]{\scriptscriptstyle#1}
\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\voffset=-2.2cm
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\newcounter{ntheo}
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\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{R�solution d'�quations - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\ - 2$^\text{nde}$ -\ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\\$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\text{nde}}$
%\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\bgex
Soit l'expression alg�brique: $A(x)=-2x^3+3x^2-1$.
On note $(E)$ l'�quation $A(x)=0$.
\bgen
\item Calculer $A(0)$. $x=0$ est-il une solution de $(E)$ ?
\item Calculer $A(1)$. $x=1$ est-il une solution de $(E)$ ?
\item Calculer $A\lp\dfrac12\rp$. $x=-\dfrac12$ est-il une solution de $(E)$ ?
\item A-t'on finalement r�solu l'�quation $(E)$ ?
\enen
\enex
\bgex
On consid�re l'expression alg�brique
$B(x)=3x^2+2x-8$,
et on note $(E)$ l'�quation $B(x)=0$.
Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont solution de $(E)$:
0; 1; $-2$; $5$; $\dfrac13$; $\dfrac43$ ?
\enex
\bgex
On consid�re l'�quation $(E): x^2-x-\dfrac14=0$. \\
Les valeurs suivantes sont-elles des solutions de $(E)$ ?
$x=1$, $x=\dfrac12$, $x=-\dfrac12$, $x=\dfrac{1+\sqrt2}{2}$, $x=\dfrac{1}{2\sqrt2-2}$
\enex
\subsection*{\hspace*{-.45cm}$\bullet$ Equation du premier degr�}
\vspace{-0.4cm}
\bgex R�soudre les �quations:
$(E_1):3x+7=19$\hspace{1cm}
$(E_2):\dfrac{3}{2}x+3=4$
\vspd
$(E_3):\dfrac{5}{3}x+2=\dfrac{3}{2}$\hspace{1cm}
$(E_4):\dfrac{x}{3}+1=2x-1$\hspace{1cm}
$(E_5):\dfrac{x}{3}-1=\dfrac{2x-3}{5}$
\enex
\subsection*{\hspace*{-.45cm}$\bullet$ Equation produit}
\vspace*{-0.4cm}
\bgex R�soudre les �quations:
\vspd\noindent
$(E_1): (2x-3)(4x-5)=0$\hspace{1cm}
$(E_2): (x-2)(2x+5)(-2x+1)=0$\hspace{1cm}
\vspd\noindent
$(E_3): (2x+1)(x-3)+(x+6)(2x+1)=0$\hspace{1cm}
$(E_4): (x+5)(-2x+1)=(x+5)(x-2)$
\vspd\noindent
$(E_5): x^2-9=0$\hspace{1cm}
$(E_6): x^2=8$\hspace{1cm}
$(E_7): (2x+3)^2=(3x+2)^2$
\enex
\subsection*{\hspace*{-.45cm}$\bullet$ Equation quotient}
\vspace*{-0.4cm}
\bgex R�soudre les �quations:
\vspd\noindent
$(E_1): \dfrac{x-3}{2x+1}=0$\hspace{0.5cm}
$(E_2): \dfrac{x^2-16}{2x+5}=0$\hspace{0.5cm}
$(E_3): \dfrac{2}{2x+5}-\dfrac{1}{4x-3}=0$
\vspd\noindent
$(E_4): 3+\dfrac{1}{x-5}=0$\hspace{0.5cm}
$(E_5): \dfrac{2x+1}{x}=\dfrac{2x}{x+4}$
\enex
%\bigskip
\subsection*{\hspace*{-.45cm}$\bullet$ Equation $\Bigl(A(x)\Bigr)^2=a$}
\vspace*{-0.4cm}
\bgex R�soudre les �quations:
\vspd\noindent
$(E_1): 2x^2=x^2+16$\hspace{0.4cm}
$(E_2): (x+2)^2=9$\hspace{0.4cm}
$(E_3): (2x-5)^2=49$\hspace{0.5cm}
$(E_4): (2x+3)^2=(x-4)^2$
\vspd\noindent
$(E_5):\dsp \lp\frac{25x^3+16x-7}{12x+3}\rp^2=-6$\hspace{0.4cm}
$(E_6):\dsp \lp x^2-10\rp^2=36$
$(E_7):\dsp \lp x^2-17\rp^2=64$
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] Montrer que l'�quation $(E): x^4-26x^2+25=0$
est �quivalente � $\lp x^2-13\rp^2=144$.
\vsp
\item[b)] R�soudre alors $(E)$.
\enit
\enex
\subsection*{\hspace*{-.45cm}$\bullet$ Equation $\sqrt{A(x)}=b$}
\vspace{-0.4cm}
\bgex R�soudre les �quations:
\vspd
$(E_1)\ \sqrt{x+3}=7$ \hspace{1cm}
$(E_2)\ \sqrt{2x+5}=5$ \hspace{1cm}
$(E_3)\ \sqrt{\dfrac{2x+3}{x-1}}=-3$
\vspt
$(E_4)\ \sqrt{\dfrac{2x+3}{x-1}}=3$\hspace{0.8cm}
$(E_5)\ \sqrt{\dfrac{2x^2+5x-2}{3x+1}}=-5$\hspace{0.8cm}
$(E_6)\ \sqrt{x^2+x+1}=x$.
\enex
\subsection*{\hspace*{-.45cm}$\bullet$ Equation du second degr�}
\vspace*{-0.4cm}
\bgex Mettre les expressions sous forme canonique: \vspd
$(E_1): x^2+4x+4=0$\hspace{0.5cm}
$(E_2): x^2+4x+6=0$\hspace{0.5cm}
$(E_3): x^2+4x+2=0$
\vspd
$(E_4): x^2-6x+9=0$\hspace{0.5cm}
$(E_5): x^2-6x+9=0$\hspace{0.5cm}
$(E_6): 2x^2-12x+18=0$
\enex
\bgex Mettre les expressions sous forme canonique puis r�soudre les �quations: \vspd
$(E_7): x^2-6x+9=0$\hspace{1cm}
$(E_8): x^2-6x+5=0$
\vspd
$(E_9): x^2+8x+16=0$\hspace{1cm}
$(E_{10}): x^2+8x+7=0$
\enex
\bigskip
\subsection*{\hspace*{-.45cm}$\bullet$ Probl�mes - Mise en �quation}
\vspace{-0.4cm}
\bgex
Un producteur de tomates a vendu $\dsp\frac{3}{4}$ de sa r�colte � une
grande surface et 900 kg � des petits commer�ants.
Il lui reste 350 kg de tomates.
Quelle quantit� de tomates a-t-il produit ?
\enex
\vspd
\bgex
La dur�e $T$, en secondes, d'un battement d'un pendule de longueur $L$,
en m�tres, est donn�e par la formule: \
{$\dsp T=2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}\,.$}
Calculer $L$, � $10^{-2}$ pr�s, pour que la dur�e d'un battement soit
de une seconde.
\enex
\vspt
\bgex
\bgmp{6.5cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4.6,3)
\psline[linewidth=0.4pt](0,0)(4.5,0)
\psline[linewidth=0.4pt](0,0)(2,3)
\psline[linewidth=0.4pt](2,3)(4.5,0)
\psarc(0,0){0.8}{0}{56.5}\put(0.8,0.4){$x+20$}
\psarc(4.5,0){1}{130}{180}\put(2.5,0.4){$2x-30$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
D�terminer $x$ (en degr�) pour que $ABC$ soit: \vspd
\bgit
\item[a)] rectangle
\vspd
\item[b)] isoc�le
\enit
\enmp
\enex
\vspd
\bgex
Trouver trois nombres entiers cons�cutifs tels que leur somme soit
�gale � 261.
\enex
\bgex
Trouver cinq nombres entiers cons�cutifs tels que la somme des carr�s
des deux plus grands soit �gale � la somme des carr�s des trois autres.
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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