Source Latex: Cours de mathématiques en Seconde


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Description
Cours de mathématiques en 2nde: Résolution d'équations, 1er degré, équations produits et quotients nuls
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Généralités - Résolution d'une équation
  • Différents types d'équations
    • Equation du premier degré
    • Equation produit nul
    • Equation quotient nul
    • Equation carré
    • Equation avec une racine carrée
    • Equation du second degré
Mots clé
Résolution d'équations, équation produit nul, équation quotient nul, équation du premier degré, Cours de mathématiques
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
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\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\scp}[1]{\scriptstyle#1}
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\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

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\newcounter{ntheo}
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\nwc{\bgth}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
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% Bandeau en bas de page
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\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
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\cfoot{}%\TITLE\\$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-1cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\text{nde}}$

\vspace{-0.4cm}

%\tableofcontents


\section{Généralités}
\vspace*{-0.5cm}

\bgdef{Résoudre l'équation $A(x)=0$, c'est trouver \ul{\bf tous} les nombres
  $x$ tels que $A(x)=0$. 

  $x$ s'appelle l'inconnue de l'équation $A(x)=0$. 
}

\bigskip\noindent
\ul{Exemple:} $A(x)=2x^2-5x+3$. 

\medskip
Soit l'équation $(E) : A(x)=0$, d'inconnue $x$.


Pour $x=2$, on a: $A(2)=2\tm2^2-5\tm2+3=1\not=0$, 
donc $x=2$ n'est pas une solution de $(E)$.

Pour $x=1$, on a $A(1)=2\tm(1)^2-5\tm(1)+3=0$, donc $x=1$ est {\bf\ul{une}}
solution de $(E)$. On n'a pas pour autant résolu l'équation car il
peut y avoir d'autres solutions. 

\medskip
Pour $\dsp x=\frac{3}{2}$, \ 
$\dsp A\lp\frac{3}{2}\rp=2\lp\frac{3}{2}\rp^2-5\tm\frac{3}{2}+3
=\frac{9}{2}-\frac{15}{2}+3=-\frac{6}{2}+3=0$, 
donc $\dsp x=\frac{3}{2}$ est \ul{\bf une} solution de $(E)$.
Il peut y en avoir d'autres\dots

\medskip

\bgex
Soit l'expression algébrique: $A(x)=-2x^3+3x^2-1$. 
On note $(E)$ l'équation $A(x)=0$. 

\bgen
\item Calculer $A(0)$. $x=0$ est-il une solution de $(E)$ ?
\item Calculer $A(1)$. $x=1$ est-il une solution de $(E)$ ?
\item Calculer $A\lp\dfrac12\rp$. $x=-\dfrac12$ est-il une solution de $(E)$ ?
\item A-t'on finalement résolu l'équation $(E)$ ?
\enen
\enex


\bgex
On considère l'expression algébrique 
$B(x)=3x^2+2x-8$, 
et on note $(E)$ l'équation $B(x)=0$. 
Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont solution de $(E)$: 
0; 1; $-2$; $5$; $\dfrac13$; $\dfrac43$ ? 
\enex

\bgex
On considère l'équation $(E): x^2-x-\dfrac14=0$. \\
Les valeurs suivantes sont-elles des solutions de $(E)$ ? 
$x=1$, $x=\dfrac12$, $x=-\dfrac12$, $x=\dfrac{1+\sqrt2}{2}$, $x=\dfrac{1}{2\sqrt2-2}$ 
\enex

\section{Différents types d'équations}

\subsection{Eqation du premier degré}
\vspace{-0.5cm}
\bgprop{
  Une équation du premier degré est une équation qui peut s'écrire
  sous la forme $ax+b=0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, et
  $a\not=0$. 

  L'unique solution de cette équation est $\dsp x=-\frac{b}{a}$.
}

\medskip\noindent
\ul{Exemple:} 
$\bullet$ L'équation $3x+9=0$ a pour solution 
$\dsp x=-\frac{9}{3}=-3$. 

\medskip
$\bullet$ L'équation $2x+1=0$ a pour solution $\dsp x=-\frac{1}{2}$.

\bgex Résoudre les équations:
$(E_1):3x+7=19$\hspace{1cm}
$(E_2):\dfrac{3}{2}x+3=4$

\medskip
$(E_3):\dfrac{5}{3}x+2=\dfrac{3}{2}$\hspace{1cm}
$(E_4):\dfrac{x}{3}+1=2x-1$\hspace{1cm}
$(E_4):\dfrac{x}{3}-1=\dfrac{2x-3}{5}$
\enex

\clearpage
\subsection{Equation produit nul}
\vspace*{-0.4cm}

\bgth{
  Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs
  est nul: 
  \[ A(x)B(x)=0\ 
  \iff\ \la\bgar{ll}  A(x)=0 \\ \text{ou } \\ B(x)=0\enar\right.
  \]
}

%\clearpage
\bgex Résoudre les équations: 

\medskip\noindent
$(E_1): (2x-3)(4x-5)=0$\hspace{1cm}
$(E_2): (x-2)(2x+5)(-2x+1)=0$\hspace{1cm}

\medskip\noindent
$(E_3): (2x+1)(x-3)+(x+6)(2x+1)=0$\hspace{1cm}
$(E_4): (x+5)(-2x+1)=(x+5)(x-2)$

\medskip\noindent
$(E_3): x^2-9=0$\hspace{1cm}
$(E_4): x^2=8$\hspace{1cm}
$(E_5): (2x+3)^2=(3x+2)^2$
\enex


\subsection{Equation quotient nul}
\vspace*{-0.4cm}

\bgth{Un quotient est nul si et seulement son dénominateur est non nul et
  son numérateur est~nul: 
  \[  \frac{A(x)}{B(x)}=0 \ 
  \iff\ \la\bgar{ll}
  B(x)\not=0 \\ \text{ et } \\ A(x)=0\enar\right.
  \]
}

\medskip\noindent
\ul{Exemple:} 
$(E): \dsp\frac{x-2}{x+1}=0$ équivaut à 
$x+1\not=0$ et $x-2=0$, 
soit $x\not=-1$ et $x=2$. 

L'équation $(E)$ a donc une seule solution $x=2$.


\bgex Résoudre les équations: 

\medskip\noindent
$(E_1): \dfrac{x-3}{2x+1}=0$\hspace{0.5cm}
$(E_2): \dfrac{x^2-16}{2x+5}=0$\hspace{0.5cm}
$(E_3): \dfrac{2}{2x+5}-\dfrac{1}{4x-3}=0$

\medskip\noindent
$(E_4): 3+\dfrac{1}{x-5}=0$\hspace{0.5cm}
$(E_5): \dfrac{2x+1}{x}=\dfrac{2x}{x+4}$
\enex

\bigskip
\subsection{Equation $\Bigl[ A(x)\Bigr]^2=a$}

\bgprop{
  Si $a<0$, l'équation $\Bigl[ A(x)\Bigr]^2=a$ n'a pas de solution. 

  \medskip
  Si $a\geq 0$, alors l'équation $\Bigl[ A(x)\Bigr]^2=a$ est
  équivalente à 
  $A(x)=\sqrt{a}$ \textbf{\ul{\ul{ou}}} $A(x)=-\sqrt{a}$. 
}

\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:}
Si $a\geq0$, alors $\sqrt{a}$ existe et $\sqrt{a}^2=a$. 

On a alors, 
$\Bigl[ A(x)\Bigr]^2=a=\sqrt{a}^2
\iff \Bigl[ A(x)\Bigr]^2-(\sqrt{a})^2=0 
\iff \Bigl(A(x)-\sqrt{a}\Bigr)\Bigl(A(x)+\sqrt{a}\Bigr)=0$. 

\noindent
Ce produit de facteurs est nul si et seulement si 
$A(x)-\sqrt{a}=0$ ou $A(x)+\sqrt{a}=0$, 
soit, si $A(x)=\sqrt{a}$ ou $A(x)=-\sqrt{a}$.

\bigskip\noindent
\ul{Ex:} $x^2=9$ a pour solutions $x=\sqrt{9}=3$ \ul{et}
$x=-\sqrt{9}=-3$. 

\medskip
\bgex Résoudre les équations: 

\medskip\noindent
$(E_1): 2x^2=x^2+16$\hspace{0.4cm}
$(E_2): (x+2)^2=9$\hspace{0.4cm}
$(E_3): (2x-5)^2=49$\hspace{0.5cm}
$(E_4): (2x+3)^2=(x-4)^2$

\medskip\noindent
$(E_5):\dsp \lp\frac{25x^3+16x-7}{12x+3}\rp^2=-6$\hspace{0.4cm}
$(E_6):\dsp \lp x^2-10\rp^2=36$
$(E_7):\dsp \lp x^2-17\rp^2=64$
\enex

\bgex
\bgit
\item[a)] Montrer que l'équation $(E): x^4-26x^2+25=0$ 
est équivalente à $\lp x^2-13\rp^2=144$. 
\medskip
\item[b)] Résoudre alors $(E)$.
\enit
\enex

\bigskip
%\clearpage
\subsection{Equation $\sqrt{A(x)}=b$}
\vspace{-0.5cm}

\bgprop{Si $b\geq 0$, l'équation $\sqrt{A(x)}=b$ est équivalente à 
  $A(x)=b^2$ et $A(x)\geqslant 0$. 

  \medskip
  Si $b<0$, l'équation $\sqrt{A(x)}=b$ n'a pas de solution.
}

\bigskip\noindent
\ul{Exemples:} 
$\bullet$ L'équation $\sqrt{x}=5$ a pour solution $x=5^2=25$. 

\medskip
$\bullet$ L'équation $\sqrt{2x+1}=3$ est équivalente à 
$2x+1=3^2=9$ et $2x+1\geqslant0$, soit $x=4$.

\medskip
$\bullet$ L'équation $\sqrt{3x^5-6x^3+3x^2-36}=-2$ n'a pas de solution
car $-2<0$. 

\medskip
$\bullet$ Soit $(E):\sqrt{x^2-13}=6$. 

On a: 
$(E)\iff\la\bgar{ll}x^2-13=6^2=36\\ x^2-13\geqslant0\enar\right.
\iff \la\bgar{ll}x^2=49\\x^2-13\geqslant0\enar\right.
\iff \la\bgar{ll}\la\bgar{ll}x=\sqrt{49}=7\\\text{ou}\\x=-\sqrt{49}=-7\enar\right.\\ x^2-13\geqslant0\enar\right.
$

On vérifie: pour $x=7$, on a $x^2-13=49-13=36\geqslant0$ et 
pour $x=-7$, on a $x^2-13=36\geqslant0$.

Ainsi, $(E)$ a deux solutions: $\mathcal{S}=\Bigl\{-7;7\Bigr\}$. 

\medskip
$\bullet$ Soit $(E'): \lp x^2-16\rp\sqrt{x-3}=0$. 
$(E')$ est une équation produit nul: 
\[(E')=0\iff\la\bgar{ll}x^2-16=0\\\text{ou}\\\sqrt{x-3}=0\enar\right.
\iff 
\la\bgar{ll}
x^2=16\\
\text{ou}\\
\la\bgar{ll} x-3=0\\\text{et}\\x-3\geqslant0\enar\right.
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
\la\bgar{ll}x=4\\\text{ou}\\x=-4\enar\right.\\
\text{ou}\\
\la\bgar{ll} x=3\\\text{et}\\x-3\geqslant0\enar\right.
\enar\right.
\]
Or, pour $x=-4$, on a $x-3=-7<0$, et donc $x=4$ n'est pas solution de
cette équation.

Ainsi, $(E')$ a deux solutions: $\mathcal{S}=\Bigl\{3;4\Bigr\}$.

\bgex Résoudre les équations: 

\medskip
$(E_1)\ \sqrt{x+3}=7$ \hspace{1cm}
$(E_2)\ \sqrt{2x+5}=5$ \hspace{1cm}
$(E_3)\ \sqrt{\dfrac{2x+3}{x-1}}=-3$

$(E_4)\ \sqrt{\dfrac{2x+3}{x-1}}=3$\hspace{0.8cm}
$(E_5)\ \sqrt{\dfrac{2x^2+5x-2}{3x+1}}=-5$\hspace{0.8cm}
$(E_6)\ \sqrt{x^2+x+1}=x$.
\enex


\clearpage
\section{Equations du second degré}
\vspace*{-0.4cm}

\bgdef{
  $\bullet$ On appelle équation du second degré toute équation de la
  forme $ax^2+bx+c=0$, où $a$, $b$, et $c$ sont trois nombres réels
  quelconques, avec $a\not=0$. 

  \medskip
  $\bullet$ Une forme canonique pour l'équation du second degré 
  $ax^2+bx+c=0$ est une expression dans laquelle n'apparaît qu'une
  seule fois l'inconnue $x$. 
}

\medskip\noindent
\ul{Ex:} 
$\bullet$\ 
$x^2+2x+1=0$ est une équation du second degré ($a=1$, $b=2$ et $c=1$), 

et $x^2+2x+1=(x+1)^2=0$ est une forme canonique de cette équation. 

\medskip
$\bullet$\ 
$x^2+2x+3=0$ a pour forme canonique 
$x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2=0$.

\bgex Mettre les expressions sous forme canonique: \medskip

$(E_1): x^2+4x+4=0$\hspace{0.5cm}
$(E_2): x^2+4x+6=0$\hspace{0.5cm}
$(E_3): x^2+4x+2=0$

\medskip
$(E_4): x^2-6x+9=0$\hspace{0.5cm}
$(E_5): x^2-6x+9=0$\hspace{0.5cm}
$(E_6): 2x^2-12x+18=0$
\enex

\bgex Mettre sous forme canonique puis résoudre les équations: \medskip

$(E_7): x^2-6x+9=0$\hspace{1cm}
$(E_8): x^2-6x+5=0$

\medskip
$(E_9): x^2+8x+16=0$\hspace{1cm}
$(E_{10}): x^2+8x+7=0$

\enex


\section{Exercices}

\bgex
Un producteur de tomates a vendu $\dsp\frac{3}{4}$ de sa récolte à une
grande surface et 900 kg à des petits commerçants. 
Il lui reste 350 kg de tomates. 

Quelle quantité de tomates a-t-il produit ?
\enex

\medskip
\bgex
La durée $T$, en secondes, d'un battement d'un pendule de longueur $L$,
en mètres, est donnée par la formule: \ 
{$\dsp T=2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}\,.$}

Calculer $L$, à $10^{-2}$ près, pour que la durée d'un battement soit
de une seconde.
\enex

\bigskip
\bgex

\bgmp{6.5cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,0)(4.6,3)
  \psline[linewidth=0.4pt](0,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=0.4pt](0,0)(2,3)
  \psline[linewidth=0.4pt](2,3)(4.5,0)
  \psarc(0,0){0.8}{0}{56.5}\put(0.8,0.4){$x+20$}
  \psarc(4.5,0){1}{130}{180}\put(2.5,0.4){$2x-30$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
Déterminer $x$ (en degré) pour que $ABC$ soit: \medskip 
\bgit
\item[a)] rectangle
\medskip
\item[b)] isocèle
\enit
\enmp
\enex

\medskip 
\bgex
Trouver trois nombres entiers consécutifs tels que leur somme soit
égale à 261. 
\enex


\bgex
Trouver cinq nombres entiers consécutifs tels que la somme des carrés
des deux plus grands soit égale à la somme des carrés des trois autres.
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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