Source Latex: Cours de mathématiques en Seconde

Statistiques

Cours de mathématiques en 2nde: statistiques descriptives: descrition de séries statistiques par le couple moyenne/écart type, ou par la médiane et les quantiles.
Calculs de proportions, fréquences, pourcentages et pourcentages d'évolution
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en 2nde: statistiques descriptives
Niveau
Seconde
Table des matières
Description par la moyenne et l'écart type
Description par la médiane et les quantiles
Fréquence des valeurs d'une série statistique
Pourcentages et pourcentages d'évolution
Effet de structure
Mots clé
statistiques, moyenne, variance, écart type, médiane, quantile, quartile, décile, centile, diagramme en boite, boite à moustache, fréquence, pourcentage, pourcentage d'évolution, Cours de mathématiques
Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
Source $LaTex icone$
Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage{calc}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de math�matiques: statistiques},
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    pdfkeywords={math�matiques, 2nde, seconde, lyc�e, 
      statistiques, 
      moyenne, �cart type, m�dianne, quantile, fr�quence, pourcentage}
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}
\voffset=-1.8cm

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\scp}[1]{\scriptstyle#1}
\nwc{\scpp}[1]{\scriptscriptstyle#1}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\nwc{\tm}{\times}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

% Concernant la mise en page des algo:
\definecolor{grayp}{gray}{0.8}
\definecolor{graypc}{gray}{0.65}
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.6cm}

\nwc{\PI}{\hspace*{\ProgIndent}}
\nwc{\DPI}{\hspace*{2\ProgIndent}}
\nwc{\TPI}{\hspace*{3\ProgIndent}}
\nwc{\QPI}{\hspace*{4\ProgIndent}}

\newlength{\lgcoin}\setlength{\lgcoin}{3ex}
\newlength{\lgshadow}\setlength{\lgshadow}{0.5ex}
\newlength{\phgn}\newlength{\phgnp}
\newlength{\phgng}
\newlength{\plgn}\newlength{\plgng}
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\newlength{\plgtq}\newlength{\plgtqg}
\newlength{\plgcoin}\setlength{\plgcoin}{3ex}
\newlength{\plgshadow}\setlength{\plgshadow}{0.5ex}
\nwc{\Prog}[3]{%
  %\par\vspd%
  \bgmp[t]{#2+0.5cm}%\linewidth}
  \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
  \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
    \emph{\textcolor{white}{\!\!#1}}} \\
  \vspace*{-0.5ex}\\
  \bgmp{#2}
  %\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
  \settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}}
  \setlength{\phgn}{\phgn-2ex}
  \setlength{\plgn}{\linewidth}
  \setlength{\phgtq}{-\phgn}%\addtolength{\hgtq}{-3ex}
  \setlength{\phgtqg}{\phgtq}\addtolength{\phgtqg}{-\lgshadow}
  \setlength{\plgng}{\plgn}\addtolength{\plgng}{\lgshadow}
  \setlength{\plgtq}{\plgn}\addtolength{\plgtq}{-\lgcoin}
  \setlength{\plgtqg}{\plgtq}\addtolength{\plgtqg}{\lgshadow}
  \setlength{\phgnp}{\phgn}\addtolength{\phgnp}{\lgcoin}
  \setlength{\phgng}{\phgnp}\addtolength{\phgng}{\lgshadow}
  \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
  (\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
  \pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \par
  \bgmp{\linewidth}#3\enmp
  \enmp
  \enmp
  \vspd
}

% et pour les progs casio:
\nwc{\return}{
  \psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
  \psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk\noindent{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}


\newcommand{\ct}{\centerline}
\newcommand{\ctbf}[1]{\ct{\bf #1}}


\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}


%\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Th�or�me:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}

%\newtheorem{lemme}{Lemme} % si on les veut num�rot�s
\newenvironment{lemme}{\paragraph{Lemme:} \it}{}
\nwc{\bglem}{\begin{lemme}}\nwc{\enlem}{\end{lemme}}

\newtheorem{corol}{Corollaire}

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulb}[1]{\textcolor{blue}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
\nwc{\ulg}[1]{\textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}

\nwc{\sectionc}[1]{\section{\ulr{#1}}}
\nwc{\subsectionc}[1]{\subsection{\ulr{#1}}}
\nwc{\subsubsectionc}[1]{\subsubsection{\ulr{#1}}}

\newenvironment{definitioncolor}{\paragraph{\ulb{D�finition:}} \it}{}
\nwc{\bgdefc}{\begin{definitioncolor}}
\nwc{\enefc}{\end{definitioncolor}}


\newenvironment{propcolor}{\paragraph{\ulr{Propri�t�:}} \it}{}
\nwc{\bgpropc}{\begin{propcolor}}
\nwc{\enpropc}{\end{propcolor}}



\nwc{\deftitle}{D�finition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Propri�t�}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ulb{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\headsep=0cm
\textheight=27.6cm
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\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm


\newcommand{\TITLE}{Statistiques descriptives}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\, - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\hfill{\huge\bf \TITLE}\hfill$2^{\text{nde}}$

\Obj{On dispose d'une grande s�rie de donn�es (10; 100;
  1\,000\,000;\dots), ou s�rie statistique, d'un caract�re dans unee
  population. 
  \\
  Cet ensemble de donn�es n'est pas \ulb{humainement} comp�r�hensible ou
  interpr�table. 
  \\
  L'objectif des statistiques decriptives est de \ulr{r�duire} 
  ce "grand ensemble" de donn�es � seulement quelques valeurs 
  \ulb{pertinentes} et qui permettent � elles seules de d�crire, ou
  caract�riser, le grand ensemble de d�part. 
}



\sectionc{Description par la moyenne et l'�cart type}

\noindent{\large {\bf Exercice } Six �l�ves ont obtenu les notes suivantes. Ce sont six s�ries
statistiques. Calculer la moyenne de chacune de ces s�ries. 

\medskip
\ul{El�ve A:}\quad 
8 - 7 - 10 - 14 - 12 - 9

\medskip
\ul{El�ve B:}\quad 
9 - 9,5 - 10 - 10,5 - 10,5 - 10,5

\medskip
\ul{El�ve C:}\quad 
10 - 10 - 10 - 10 - 10 - 10 

\medskip
\ul{El�ve D:}\quad 
0 - 0 - 0 - 20 - 20 - 20

\medskip
\ul{El�ve E:}\quad 
5 - 9 - 15 - 4 - 11 - 16

\medskip
\ul{El�ve F:}\quad 
10


\medskip
\noindent Tous ces �l�ves ont la m�me moyenne $\overline{x}=10$, 
ce qui montre bien que si la moyenne est une caract�ristique
statitistique descriptive et pertinente, elle est insuffisante pour
caract�riser la s�rie compl�te. 
On a donc besoin de compl�ter cette caract�ristique par une mesure de
la \ulr{dispersion} des valeurs autour de cette moyenne. 

\bigskip
\noindent
\bgmp[t]{9.5cm}
\ul{Cadre g�n�ral:} S�rie statistique 

\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  \rule[-0.4cm]{0.cm}{1.cm}
  Valeurs $\lp x_i\rp$ & $x_1$&$x_2$&$x_3$&\dots&$x_p$\\\hline
  \rule[-0.4cm]{0.cm}{1.cm}
  Effectifs $\lp n_i\rp$ & $n_1$&$n_2$&$n_3$&\dots&$n_p$\\\hline
\end{tabular}

\vspd
L'effectif total est : $N=n_1+n_2+\dots+n_p$.
\enmp
\bgmp[t]{8.5cm}
Exemple: El�ve G

\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
  \rule[-0.4cm]{0.cm}{1.cm}
  Notes $\lp x_i\rp$ & 7 & 10 & 4 & 2 & 14 \\\hline
  \rule[-0.4cm]{0.cm}{1.cm}
  coefficients $\lp n_i\rp$ & 2 & 2 & 1 & 1 & 5\\\hline
\end{tabular}

\vspd
L'effectif total est : $N=2+2+1+1+5=11$.
\enmp


\bgdef{
  La moyenne de la s�rie, not�e en g�n�ral $\overline{x}$ est: 
  $\overline{x}=\dfrac{n_1 x_1+n_2x_2+\dots +n_kx_k}{N}$.  \\
  La variance de la s�rie est la moyenne des carr�s des �carts � la
  moyenne: 
  \[V=
  \dfrac{n_1 \lp x_1-\overline{x}\rp^2
    +n_2\lp x_2-\overline{x}\rp^2
    +\dots 
    +n_p\lp x_p-\overline{x}\rp^2}{N}
  \]  
  L'�cart type, not� $\sigma$, est alors: $\sigma=\sqrt{V}$. 
}


\medskip
\noindent{\large\bf Exercice} 
Calculer le moyenne, la variance et l'�cart type des notes de l'�l�ve G.


\vspq
\noindent
\ulg{\large\bf Algorithme de calcul de la moyenne d'une s�rie}
\vspd

\bgmp[t]{9cm}Moyenne simple (sans coefficient)

\Prog{Algorithme}{4cm}{
  \texttt{Entrer N}\\
  \texttt{0$\to$ S}\\
  \texttt{Pour I de 1 � N}\\
  \PI\texttt{Entrer X}\\
  \PI\texttt{S+X$\to$ S}\\
  \texttt{Fin Pour}\\
  \texttt{S/N$\to$ M}\\
  \texttt{Afficher M}
}
\enmp
\bgmp[t]{8cm}Moyenne pond�r�e (coefficient�e)

\Prog{Algorithme}{4cm}{
  \texttt{Entrer N}\\
  \texttt{0$\to$ S}\\
  \texttt{0$\to$ T}\\
  \texttt{Pour I de 1 � N}\\
  \PI\texttt{Entrer X}\\
  \PI\texttt{Entrer C}\\
  \PI\texttt{S+C*X$\to$ S}\\
  \PI\texttt{T+C$\to$ T}\\
  \texttt{Fin Pour}\\
  \texttt{S/T$\to$ M}\\
  \texttt{Afficher M}
}
\enmp

\bgprop{La variance est la moyenne des carr�s moins le car� de la
  moyenne: 
\[V=\overline{x^2}-\overline{x}^2\]
}

\noindent\ul{D�monstration:} 
$\bgar[t]{lll}
V=&
\dfrac{n_1 \lp x_1-\overline{x}\rp^2
  +n_2\lp x_2-\overline{x}\rp^2
  +\dots 
  +n_p\lp x_p-\overline{x}\rp^2}{N}\\[0.5cm]
&\hspace*{-1cm}
=\dfrac{n_1 \lp x_1^2-2x_1\overline{x}+x_1^2\rp^2
  +n_2\lp x_2-2x_2\overline{x}+x_2^2\rp^2
  +\dots 
  +n_p\lp x_p-2x_p\overline{x}+x_p^2\rp^2}{N}\\[0.5cm]
&\hspace*{-1cm}
=\underbrace{\dfrac{n_1 x_1^2 + n_2 x_2^2+\dots+n_px_p^2}{N}}_{\overline{x^2}}
-2\overline{x}\underbrace{\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\dots+n_px_p}{N}}_{\overline{x}}
+\overline{x}^2\underbrace{\dfrac{n_1+n_2+\dots+n_p}{N}}_{\frac{N}{N}=1}
\\[1cm]
&\hspace*{-1cm}
=\hspace{1.5cm}\overline{x^2}
\hspace{2.1cm}-2\overline{x}\tm\hspace{1.2cm}\ \overline{x}
\hspace{2.cm}+\overline{x}^2\\[0.5cm]
&\hspace*{-1cm}=\overline{x^2}-\overline{x}^2
\enar$  

\bigskip\noindent
{\large\bf Exercice} 
Modifier l'algorithme du calcul de la moyenne afin qu'il calcule et
affiche la moyenne, la variance et l'�cart type d'une s�rie de
valeur. 


\bgex
Le tableau suivant donne les tailles de 34 �l�ves d'une classe. 
\[\begin{tabular}{|c|*{15}{c|}}\hline
  taille(cm) & 151 & 152 & 155 & 160 & 165 & 170 & 172 &
  176 & 180 & 186 & 188 \\\hline
  effectif  & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 4 & 6 & 3 & 3 & 2 & 1   \\\hline
\end{tabular}\]
Calculer la moyenne et l'�cart type de cette s�rie. 
\enex


\vspace{-.2em}
\bgprop{{\bf Propri�t�s de la moyenne.} 

\bgit
\item Si $\overline{x_1}$ et $\overline{x_2}$ sont les moyennes des deux
sous groupes d'effectifs respectifs $n_1$ et $n_2$, alors la moyenne
de l'ensemble est 
\[
\overline{x}=\dfrac{n_1 \overline{x_1}+n_2\overline{x_2}}{n_1+n_2}
\]

\item La moyenne de la s�rie des valeurs $ax_i+b$ est $a\overline{x}+b$. 
\enit
}

\bgex
Dans une classe de 35 �l�ves, la moyenne des 20 filles de la classe
est de 13. 
La moyenne des gar�ons est de 11. 
Quelle est la moyenne de la classe ?
\enex

\bgex
Un relev� de temp�rature (tr�s pr�cis) a donn� les valeurs, en degr�
Celsius: \vspd

\ct{
$37,2408$ \ - \ 
$37,2407$ \ - \ 
$37,2410$ \ - \ 
$37,2414$ \ - \  
$37,2412$ \ - \  
$37,2409$. }

\bgen 
\item Calculer (sans calculatrice !) la moyenne de ces valeurs. 
\item On convertit les degr�s Celsius en degr�s Kelvin en ajoutant
  273,15 � la temp�rature en degr�s Celsius. 
  Calculer la moyenne, en degr� Kelvin, des temp�ratures pr�c�dentes. 
\enen
\enex


\sectionc{Description par la m�diane et les quantiles}

\bgdef{\ul{Caract�ristiques de position, ou de tendance centrale}}\vspd

On consid�re une s�rie statistique d'effectif total $N$.

{\it\bgit
  \item[$\bullet$] La {\bf m�diane} $M_e$ est une valeur qui partage la
    s�rie ordonn�e en deux s�ries de m�me effectif. 

    \vspd
    Si $N$ est impair, $N=2p+1$, alors la m�diane est la 
    $(p+1)^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ valeur de la s�rie ordonn�e. 

    Si $N$ est pair, $N=2p$, alors la m�diane est la moyenne de la 
    $p^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ et de la 
    $(p+1)^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ valeur.
    \vspd
  \item[$\bullet$] Le {\bf premier quartile} $Q_1$ est la plus petite
    valeur de la s�rie telle que 25\,\% des valeurs  (un quart) de la
    s�rie lui soient inf�rieures. 

    Le {\bf trosi�me quartile} $Q_3$ est la plus petite valeur de 
    la s�rie telle que 75\,\% des valeurs (les trois quarts) de la
    s�rie lui soient inf�rieures. 
    \vspq
  \item[$\bullet$] De m�me avec les d�ciles ($D_1$ avec 10\,\%, $D_9$ avec
    90\,\%) et les centiles ($C_1$ avec 1\,\%; \dots). 
  \enit
}

\bgdef{\ul{Caract�ristiques de dispersion}} \vspd

\bgit
\item[$\bullet$] {\bf L'�tendue} d'une s�rie est la diff�rence entre
  sa plus grande et sa plus petite valeur. 
\item[$\bullet$] L'{\bf �cart inter-quartile} est la diff�rence entre
  le troisi�me et le premier quartile: $Q_3-Q_1$. 
\enit

\bigskip\noindent
{\large\bf Exercice} 
Donner la m�diane, l'�tendue, les quartiles et l'�cart inter-quartile
des notes de l'�l�ve G.


\paragraph{\ul{Diagrammes en bo�te} (boites � moustaches)}
On peut alors repr�senter les donn�es de la s�rie statistique par un
diagramme en bo�te, aussi connu sous le nom de "bo�te � moustaches": 

\psset{arrowsize=5pt,unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(10,6)
  \psline{->}(-2,0)(12,0)
  \rput(14,0.2){Echelle des valeurs}
  \rput(14,-0.2){de la s�rie}
  \multido{\i=-1+1}{13}{\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)}
  \psline[linewidth=1.4pt](0.5,2)(3.9,2)
  % quartiles
  \psline[linewidth=1.4pt](3.9,1)(7.3,1)(7.3,3)(3.9,3)(3.9,1)
  \psline{->}(3.5,4.5)(3.9,3.2)
  \rput(3.5,5.1){$1^{\text{er}}$ quartile}
  \rput(3.6,4.7){$Q_1$}
  \psline{->}(7.5,4.5)(7.3,3.2)
  \rput(7.8,5.1){$3^{\text{�me}}$ quartile}
  \rput(7.9,4.7){$Q_3$}
  %
  \psline[linewidth=1.4pt](7.3,2)(10.2,2)
  % mediane
  \psline[linewidth=1.4pt](5.9,0.6)(5.9,3.4)
  \psline{->}(5.9,4.2)(5.9,3.5)
  \rput(5.7,4.8){m�diane}
  \rput(6,4.4){$M_e$}
  % deciles
  %\psline(2,1.7)(2,2.3)
  %\psline{->}(2,3.5)(2,2.5)
  %\rput(2,3.7){$1^{\text{er}}$ d�cile}
  %\psline(8.8,1.7)(8.8,2.3)
  %\psline{->}(8.8,3.5)(8.8,2.5)
  %\rput(8.8,3.7){$9^{\text{�me}}$ d�cile}
  % min
  %\pscircle[linewidth=1.4pt](0.5,2){0.1}
  \psline[linewidth=1.4pt](0.5,1.8)(0.5,2.2)
  \psline{->}(0.,4)(0.5,2.4)
  \rput(0,4.2){minimum}
  % max
  %\pscircle[linewidth=1.4pt](10.2,2){0.1}
  \psline[linewidth=1.4pt](10.2,1.8)(10.2,2.2)
  \psline{->}(10.5,4)(10.2,2.4)
  \rput(10.5,4.2){maximum}
\end{pspicture}




\vspd
\bgex Le tableau suivant donne les notes des �l�ves d'une classe. 
\[\begin{tabular}{|*{18}{c|}}\hline
  El�ves & A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q\\\hline
  Notes & 15&10&12&8&10&18&12&8&8&15&10&8&6&18&12&8&12\\\hline
\end{tabular}\]
On ordonne la s�rie:
\[\begin{tabular}{|c|*6{p{1.2cm}|}}\hline
  \raisebox{0.2cm}[1cm]{Notes $x_i$} &  &  &  &  &  &  \\\hline
  \raisebox{0.2cm}[1cm]{Effectifs $n_i$} &  &  &  &  &  &  \\\hline
  \raisebox{0.2cm}[1cm]{Effectifs cumul�s croissants} & & & & & & \\\hline
\end{tabular}\]
L'effectif total de la s�rie: $N=\ \dots\ $

\vspd
La m�diane de la s�rie: $M_e=\ \dots\ $

\vspd
Les $1^{\text{er}}$ et $3^{\text{�me}}$ quartiles sont: 
$Q_1=\ \dots\ $ \quad ,\quad $Q_3=\ \dots\ $

\vspd
L'�tendue de la s�rie est: \quad \dots 

\vspd
L'�cart inter-quartile est: \quad \dots 

Tracer le diagramme en bo�te de cette s�rie. 
\enex


\vspd
\bgex
On compare les temp�ratures moyennes (en $^{\circ}$ C) de chaque mois
de l'ann�e pour deux communes de Haute-Savoie situ�es � 1000 m
d'altitude: Chamonix et La Clusaz. 
\[\begin{tabular}{|c|*{15}{p{0.8cm}|}}\hline
  Mois & 1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12 \\\hline
  Chamonix &1,5&4&7,5&12&15,5&20&23&22&19&14&6,5&2\\\hline
  La Clusaz &2,5&3,5&6&9,5&14&17&20,5&20,0&17&13&7&3,5\\\hline
\end{tabular}\]
D�terminer pour ces deux communes la m�diane et les quartiles des
temp�ratures. 

Tracer ensuite les diagrammes en bo�te de ces deux s�ries en utilisant
la m�me �chelle, de mani�re � pouvoir les comparer. 
\enex




\sectionc{Fr�quence des valeurs d'une s�rie statistique}


\bgdef{La fr�quence, ou pourcentage, $f_i$ de la valeur $x_i$ du
  caract�re est �gale 
  au quotient de l'effectif $n_i$ par l'effectif total: 
  $\dsp f_i=\frac{n_i}{N}$
}
  

\bgmp{7cm}
\ul{Exemple:} 

\vspd
Etude du nombre de gar�ons et de filles dans une classe de 34 �l�ves: 
\enmp\hfill
\bgmp{9cm}
\ct{\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
    \rule[-0.3cm]{0cm}{0.8cm}
    & Gar�ons & Filles \\\hline
    \rule[-0.3cm]{0cm}{0.8cm}
    Effectifs ($n_i$) & 14 & 20 \\\hline
    \rule[-0.4cm]{0cm}{1.1cm}
    Fr�quences ($f_i$) & $\dsp\frac{14}{34}=\frac{7}{17}\sim 0,41$
    &$\dsp\frac{20}{34}=\frac{10}{17}\sim 0,59$ \\\hline
    \rule[-0.3cm]{0cm}{0.8cm}
    Pourcentages & $\sim 41\%$ & $\sim 59\%$ \\\hline
\end{tabular}}
\enmp

\bgprop{
  La somme des fr�quences d'une s�rie statistique est �gale � 1.
}

\vspd
\ul{D�monstration:} 
$\dsp f_1+f_2+\dots+f_p=\frac{n_1}{N}+\frac{n_2}{N}+\dots+\frac{n_p}{N}
=\frac{n_1+n_2+\dots+n_p}{N}=\frac{N}{N}=1$

\bgprop{La moyenne d'une s�rie statistique dont le caract�re prend
  les valeurs $x_1$, $x_2$, \dots, $x_p$ avec les fr�quences $f_1$,
  $f_2$, \dots, $f_p$ est 
  $\dsp \overline{x}=f_1 x_1+f_2 x_2+\dots+f_p x_p$
}

\vspt
\ul{D�monstration:} 
$\dsp \overline{x}=\frac{n_1 x_1+n_2 x_2+\dots+n_p x_p}{N}
=\frac{n_1}{N}x_1+\frac{n_2}{N}x_2+\dots+\frac{n_p}{N}x_p
=f_1 x_1+f_2 x_2+\dots+f_p x_p$

\bgex
Dans un �tablissement, 350 �l�ves ont particip� � une �preuve. 
Cette �preuve �tait not�e de telle fa�on que seulement 4 notes �taient
possibles: 0; 8; 14 ou 20. 

\noindent 
Les r�sultats ont �t� les suivants: 
8\,\% des �l�ves ont eu 0; 
28\,\% ont eu 8; 
48\,\% ont eu 14; 
et 16\,\% ont eu 20

Quelle est la moyenne � cette �preuve dans l'�tablissement ? 
\enex

\bgex Calculer la moyenne, la variance et l'�cart type de la s�rie: 
\vspace{-.5em}
\[\begin{tabular}[m]{|*4{c|}}\hline
  Valeur du caract�re & -5 & 3 & 8 \\\hline
  Fr�quence & 0,2 & 0,3 & 0,5 \\\hline
\end{tabular}\]
\enex

\vspace{-.8em}
\bgex
On donne la r�partition des individus constituant un �chantillon d'une
population suivant deux crit�res qualitatifs: le sexe et le groupe
sanguin. 

\vspd
\ct{\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|c|}\hline
  \begin{pspicture}(0,0)(3,0.6)
    \psline(-0.2,0.6)(3.2,-0.1)
    \put(0,0){groupe}
    \put(2,0.25){sexe}
  \end{pspicture}
  &masculin & f�minin & total\\\hline
  AB & 25  & 15 & \\\hline
  A  & 250 & 200& \\\hline
  O  & 200 & 200& \\\hline
  B  & 60  &  50& \\\hline
  total & & &\\\hline
\end{tabular}
}

\vspd
\bgen
\item Quel est le pourcentage d'hommes du groupe O dans
  l'�chantillon ?
\vspd
\item Quel est le pourcentage de femmes du groupe AB dans
  l'�chantillon ? 

\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.82cm}
\begin{pspicture}(0,0.5)(5,8.5)
\psline(0,4)(2,7)\rput(2,7.2){AB}\rput(.7,5.7){4\%}
  \psline(2,7)(3.5,7.5)\rput(3.7,7.5){H}\rput(2.8,7.5){$\scp{62,5\%}$}
  \psline(2,7)(3.5,6.5)\rput(3.7,6.5){F}

\psline(0,4)(2,5)\rput(2,5.2){A}
  \psline(2,5)(3.5,5.5)\rput(3.7,5.5){H}
  \psline(2,5)(3.5,4.5)\rput(3.7,4.5){F}

\psline(0,4)(2,3)\rput(2,2.7){O}
  \psline(2,3)(3.5,3.5)\rput(3.7,3.5){H}
  \psline(2,3)(3.5,2.5)\rput(3.7,2.5){F}\put(3.2,2.){$\scp{50\%}$}

\psline(0,4)(2,1)\rput(2,0.7){B}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){H}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){F}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[c]{11cm}

\item Compl�ter l'arbre ci-contre. 
  % en indiquant les pourcentages correspondant � chaque branches. 
\vspace{0.3cm}
\item Quel est le pourcentage d'hommes du groupe AB ? 
  
  Le pourcentage de femmes du groupe A ? 

\vspace{.8cm}
\item Parmi les personnes du groupe B, quel est le pourcentage d'hommes ?
  
  de femmes ? 

\vspace{1.4cm}

\enmp
\enen
\enex


\bgex
L'arbre ci-dessous donne la r�partition des r�ussites (R) et des
�checs (E) au permis de conduire des moins de 25 ans (M) et plus de 25
ans (P) dans une auto-�cole. 


\bgmp{8cm}
\begin{pspicture}(0,0.5)(6,5.5)
\psline(0,3)(3,4.5)\put(2.5,4.5){M}\put(1,4){80\%}
  \psline(3,4.5)(5.5,5.2)\put(5.6,5.2){R}\put(4,5){70\%}
  \psline(3,4.5)(5.5,3.8)\put(5.6,3.8){E}\put(4,3.8){30\%}
\psline(0,3)(3,1.5)\put(2.5,1.3){P}\put(1,1.8){20\%}
  \psline(3,1.5)(5.5,2.2)\put(5.6,2.2){R}\put(4,2){62\%}
  \psline(3,1.5)(5.5,0.8)\put(5.6,0.8){E}\put(4,0.8){38\%}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{9cm}
Compl�ter le tableau � double entr�e suivant:

\vspq
\ct{\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
  & \ \ \ \ M\ \ \ \ & \ \ \ \ P\ \ \ \  & \ \ total\ \  \\\hline
  R & & & \\\hline
  E & & & \\\hline
  total & & & 500 \\\hline
\end{tabular}
}
\enmp
\enex



\paragraph{\large\ul{Pourcentages d'�volutions:}}
  \ \\

\bgex
\bgen
\item Un article co�te 24\euro. On lui applique une augmentation de 
  5\,\%. 
  Calculer son nouveau prix. 

\item Un article co�te initialement 112 \euro. Calculer son
  nouveau prix, apr�s une r�duction de 20\,\%.   
\enen
\enex

\bgprop{
  Augmenter une quantit� de $t\,\%$ revient � multiplier cette
  quantit� par $(1+t\,\%)$. 
  
  Diminuer une quantit� de $t\,\%$ revient � multiplier cette
  quantit� par $(1-t\,\%)$. 
}
  

\bgex
\bgen
\item Un article co�te 25 \euro. 
  Le vendeur d�cide de l'augmenter successivement de 10\,\%, puis de
  15\,\%, et finalement de le diminuer de 25\,\%. 
  Quel est le prix final de cet article ? 

  \vspd
\item Apr�s une r�duction de 15\,\%, un article co�te 32\euro. 
  Quel �tait son prix initial ?
\enen
\enex  


\bgex
\bgen
\item J'ai achet� une voiture 12\,000 euros. 
  La premi�re ann�e, le prix d'une voiture perd 30\,\% de sa valeur. 
  
  Combien pourrais-je esp�rer revendre mon v�hicule au bout d'un an ? 

\item La deuxi�me ann�e, ainsi que les suivantes, le prix d'une
  voiture perd 20\,\% par rapport � l'ann�e pr�c�dente. 

  Que vaudra alors ma voiture dans 4 ans ? 

  A partir de combien d'ann�es, ma voiture vaudra moins de 2\,000
  euros ?
\enen
\enex

\bgex Dans une entreprise, le salaire moyen est de $1300$ euros. 

La direction d�cide d'accorder � tous les employ�s une augmentation
de $2\%$ et une prime de $10$ euros. 

Tous les salaires sont donc multipli�s par $1,02$ et augment�s de 10
euros. 

Calculer le nouveau salaire moyen. 
%($1,02\tm1300+10=1336$ euros)
\enex

\bgex
Commenter cette annonce d'un journaliste: 
{\sl "Une nouvelle hausse de 15\,\% du prix du tabac sera appliqu�e d�s le
1er janvier qui, ajout�e � la hausse de 10\,\% survenue 1er Septembre
pr�c�dent, aura augment� d'un quart le prix du tabac en quatre mois". 
}
\enex

\bgex
On dispose de 5\,000 euros d'�conomies. 
Quel est le placement le plus avantageux: 

$\bullet$ 5000 euros � 10\,\%
\qquad\quad
$\bullet$ 2000 euros � 9\,\% et 3000 euros � 11\,\% 
\qquad\quad
$\bullet$ 2000 euros � 5\,\% et 3000 euros � 15\,\% 

\enex

\bgex
Un article � 825 euros augmente de 25\,\% puis baisse de 20\,\%. 
\bgen
\item Quel est son prix final ?
\item Quel est le pourcentage d'�volution global, 
  c'est-�-dire entre le prix initial et le prix final ?
\enen
\enex

\bgex
Le b�n�fice d'une entreprise �tait, il y deux ans de 125\,000 euros. 
Ce b�n�fice a baiss� l'ann�e derni�re de 10\,\% avant de r�augmenter
de 10\,\% cette ann�. 
\bgen
\item Calculer le pourcentage global d'�volution du b�n�fice sur ces
  deux derni�res ann�es. 

\item {\sl On appelle pourcentage moyen d'�volution, le pourcentage d'�volution
  qui serait constant, identique � chaque � �volution successive, et
  qui permettrait d'aboutir � la m�me valeur finale.} 

  Calculer le pourcentage moyen annuel d'�volution du b�n�fice. 
\enen
\enex


\bgex
On augmente la longueur d'un rectangle de 20\,\% et on diminue sa
largeur de 20\,\%. 

Son aire a-t'elle vari� ? 
Si oui, pr�ciser cette variation en pourcentage. 
\enex

\bgex{\bf\ul{Effet de structure}}

Lors d'un discours au cours duquel il a donn� les r�sultats des
examens de fin d'�tudes des deux universit�s du pays, le ministre 
a d�clar�: 

\vsp
{\it ``Dans l'universit� du Nord, 82\,\% des gar�ons et 80\,\% des filles
ont r�ussi. 

Dans l'universit� du Sud, 56\,\% des gar�ons et 52\,\% des filles ont
r�ussi. 

\noindent
Je ne suis pas sexiste, mais il faut bien reconna�tre que dans notre
pays, les gar�ons r�ussissent mieux que les filles.''
}

\vspd
Compl�ter le tableau: 

\vspace{-0.3cm}\ 
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|}\cline{2-5}
  & \multicolumn{2}{|c|}{Gar�ons} & \multicolumn{2}{|c|}{Filles}
  \\\cline{2-5}
  & Total & Admis & Total & Admises \\\hline
  \multicolumn{1}{|c|}{Universit� du Nord} & {\bf 500} & 410 & {\bf 500} & 400\\\hline
  \multicolumn{1}{|c|}{Universit� du Sud} & {\bf 800} & 448 & {\bf 200} & 104 \\\hline
  \multicolumn{1}{|c|}{  \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{
      Total}} & 
  \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{1300} & 
  \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{
    \bgmp{3cm}858, soit 66\,\% \\des gar�ons\enmp 
  }
  & 
  \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{700} & 
  \raisebox{0.2cm}[0.8cm]{
    \bgmp{2.5cm}  504, soit 72\,\% \\ des filles\enmp
  }
  \\\hline
  
\end{tabular}

\vspt
Calculer les proportions de filles et de gar�ons qui ont r�ussi dans
le pays. 

La conclusion du ministre est-elle exacte ?
\enex

\vspt
\bgex {\bf\ul{R�partition des salaires dans une entreprise}}

Le tableau ci-dessous donne la r�partition en 2005 et 2010
des ouvriers et cadres dans une entreprise, ainsi que le salaire de
chacun. 

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|}\cline{2-5}
  & \multicolumn{2}{|c|}{2005} 
  & \multicolumn{2}{|c|}{2010}  \\\cline{2-5}
  & Effectifs & Salaires 
  & Effectifs & Salaires \\\hline
  \multicolumn{1}{|c|}{Cadres} & {\bf 30} & {\bf 2500} & {\bf 20} &
              {\bf 2600} \\\hline
  \multicolumn{1}{|c|}{Ouvriers} & {\bf 40} & {\bf 1200} & {\bf 50} &
              {\bf 1300} \\\hline
  \multicolumn{1}{|c|}{Total} & 70 & 123\,000 & 70 & 117\,000 \\\hline
\end{tabular}


\vspd
Le directeur affirme : 
{\it ``dans mon entreprise, en 5 ans, tous les salaires ont augment�, ceux des cadres et ceux des ouvriers''. 
}

\vsp
Le responsable syndical affirme : 
{\it ``dans l'entreprise, en 5 ans, le salaire moyen a diminu�.''}

\vsp
Qui a raison ?

\vspd
Calculer le pourcentage d'�volution (augmentation ou diminution) du
salaire des cadres, du salaire des ouvriers, et du salaire moyen entre
2005 et 2010. 
\enex

\bgdef{{\bf Effet de structure} {\it (D'apr�s l'INSEE, Institut
    National de la Statistique et des Etudes Economiques)}

  \vsp
  Lorsqu'une population est r�partie en sous-populations, il peut
  arriver qu'une grandeur �volue dans un sens pour chaque
  sous-population et dans le sens contraire sur l'ensemble de la
  population. 

  Ce paradoxe s'explique parce que les effectifs de certaines
  sous-populations augmentent alors que d'autres r�gressent: 
  \ul{c'est l'effet de structure}.

}




\label{LastPage}
\end{document}
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