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Description
Cours de mathématiques en 2nde: équations de droite et système d'équations
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Équations de droites
  • Système de deux équations linéaires à deux inconnues
  • Exercices
Mots clé
système linéaire, équation de droite, système d'équations, cours de mathématiques
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de mathématiques: équation de droites et systèmes d'équations},
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    pdfkeywords={équations de droite, fonction affine, système d'équtions, Mathématiques, lycée, 2nde, seconde}
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\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt 
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcounter{nex}%[section]
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

\nwc{\deftitle}{Définition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ul{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\linewidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Propriété}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ul{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\linewidth-\lprop-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{\'Equation de droites et systèmes d'équations}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


\vspace*{0cm}
\ct{\LARGE{\bf \TITLE}}
\vspace{0.5cm}


\section{Equations de droites}

Le plan est rapporté à un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$. 

\bgprop{Toute droite du plan à une équation de la forme: 
  \bgit
\item[$\bullet$] $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels,
  si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées; 
\item[$\bullet$] $x=k$ où $k$ est un nombre réel, si elle est
  parallèle à l'axe des ordonnées. 
\item[$\bullet$] Soit $D:y=ax+b$, alors le point $A(0;b)$ est
  sur la droite $D$; $b$ s'appelle l'ordonnée à l'origine de la
  droite $D$. 
\item[$\bullet$] Lorsque $x$ augmente de $1$, $y$ varie de $a$; 
  $a$ s'appelle le coefficient directeur de la droite. 
  \enit
}

  
\vspq\noindent
\ul{Remarque:} Toute droite d'équation $y=ax+b$ est la
représentation graphique de la fonction affine $f(x)=ax+b$.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,6)
  \rput(-3,5){\ul{Ex.}\ \ $D:y=2x-2$}
  
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2,0)(5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,5)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
  
  \psplot{-0.8}{3.5}{2 x mul -2 add}\rput(4,5){$D$}
  \psline[linestyle=dashed]{->}(2,2)(3,2)
  \rput(2.5,1.7){$1$}
  \psline[linestyle=dashed]{->}(3,2)(3,4)
  \rput(3.8,3){$a=2$}
  
  \psline(-0.2,-2)(0.2,-2)\rput(-1,-2){$b=-2$}
  
\end{pspicture}

\noindent
\ul{Ex.} Tracer les droites $D_1:y=3x-2$ et $D_2:y=-2x+1$.





\bgprop{Les droites d'équations $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$ sont
  parallèles si et seulement si $a=a'$. 
}

\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} 

\bgmp{5cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(5,4)
  \put(0,.5){\vector(1,0){3}}
  \put(.5,0){\vector(0,1){3}}\put(.1,.1){$O$}
  %\put(1.5,.3){\line(0,1){3}}
  \multiput(1.5,.3)(0,0.2){15}{\line(0,1){0.1}}
  \put(1.3,.1){$1$}
  \put(0,1){\line(1,1){2}}
  \put(2,3){$(\mathcal{D}):y=ax+b$}
  \put(.2,1.5){$A$}\put(1.2,2.5){$B$}
  \put(0,.5){\line(2,1){2.5}}
  \put(2,1.8){$(\mathcal{D}'):y=a'x+b'$}
  \put(.1,.8){$A'$}\put(1.1,1.3){$B'$}
\end{picture}
\enmp
\hspace{0.5cm}
\bgmp{12cm}
Les points $A(0,b)$ et $B(1,a+b)$ appartiennent à la droite
$\mathcal{D}$. $\V{AB}(1,a)$ est donc un vecteur directeur de la
droite $\mathcal{D}$. 

De même, $\V{A'B'}(1,a')$ est un vecteur directeur de la droite
$\mathcal{D}'$. 
Alors, 

$\bgar{ll}
\mathcal{D}/\!/\mathcal{D}' 
&\iff 
\V{AB} \mbox{ et } \V{A'B'} \mbox{colinéaires} \\
&\iff 1\tm a - 1\tm a'=0\\
&\iff a=a'\enar$
\enmp

\vspd\noindent
\ul{Ex:} Soit les droites d'équation 
$\mathcal{D}:\ y=2x+2$ et $\mathcal{D}':\ y=-x+5$. 

\vsp
Représenter sur un même
graphique ces deux droites. 

\vsp
Montrer qu'elles sont sécantes en un unique point $I$. 

\vsp
Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection
$I$, puis déterminer ses coordonnées exactes par le calcul.

\vspt\noindent
\ul{Ex:}
Même exercice avec les droites 
$\mathcal{D}:\ y=3x+1$ et $\mathcal{D}':\ y=-6x+4$.

\bgdef{
  L'équation d'une droite sous la forme $y=ax+b$ s'appelle 
  \ul{l'équation réduite} de la droite. 
}

\bgprop{
  Toute droite du plan a une équation de la forme 
  $ax+by=c$, 
  où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
}

\vspq\noindent
\ul{Ex:} Donner l'équation réduite de chacune des droites suivantes,
puis déterminer leur coefficient directeur et ordonnée à l'origine. 

$\bullet\ \mathcal{D}_1:\ 4x+2y=8$ \hspace{1cm}
$\bullet\ \mathcal{D}_2:\ 2x-4y=12$ \hspace{1cm}
$\bullet\ \mathcal{D}_3:\ -3x+2y=6$ \hspace{1cm}
$\bullet\ \mathcal{D}_4:\ x+3y=5$ 

\vspd
Tracer dans un repère ces quatre droites.


\vspq\noindent
\ul{Ex:} Parmi les droites suivantes, lesquelles sont parallèles ?

\vspd
$\bullet\ \mathcal{D}_1:\ 4x+2y=8$ \hspace{0.5cm}
$\bullet\ \mathcal{D}_2:\ -2x+6y=6$ \hspace{0.5cm}
$\bullet\ \mathcal{D}_3:\ -2x-y=-9$ \vspd

$\bullet\ \mathcal{D}_3:\ 4x+12y=12$ \hspace{0.5cm}
$\bullet\ \mathcal{D}_4:\ x+3y=5$ 

\vspq\noindent
\ul{Ex:} Tracer dans un repère les droites 
$\mathcal{D}:\ 6x-2y=-2$ \ 
et $\Delta:\ 6x+y=4$.

Montrer qu'elles sont sécantes, et calculer les coordonnées du leur
point d'intersection. 

\vspd
Vérifier que le couple de coordonnées trouvé est bien solution du
système d'équations:
\[\la\bgar{rcrcc}
6x &-&2y&=&-2\\6x&+&y&=&4\enar\right.
\]

\section{Système de deux équations linéaires à deux inconnues}

\bgdef{Soit $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ six réels. 
  On appelle système linéaires de deux équations à deux inconnues le
  système: 
  \[ \la\bgar{cccl} ax &+ &by &=c\\a'x &+ &b'y &=c'\enar\right.
  \]
  Résoudre le sytème consiste à trouver tous les couples $(x;y)$ qui
  vérifient simultanément les deux équations. 
}

\vspd\noindent
\ul{Ex:} Résoudre les systèmes: 
\[(S_1):\la\bgar{llll} 5x &+&3y&=7\\x&-&2y&=-7\enar\right.\ ;\ 
(S_2):\la\bgar{llll} 2x &+&y&=7\\4x&+&2y&=9\enar\right.
\]

\bgprop{Le système 
  \[ (S):\la\bgar{cccl} ax &+ &by &=c\\a'x &+ &b'y &=c'\enar\right.
  \]
  admet une unique solution si et seulement si le tableau 
  $\lp\bgar{cc} a & b \\ a' & b'\enar\rp$ n'est pas un tableau de
  proportionnalité, soit donc, si $ab'-a'b\neq0$. 
  
  Dans le cas $ab'-a'b=0$, le sytème possède soit aucune solution,
  soit une infinité de solution. 
}

\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} Si $b\neq0$ et $b'\neq0$, alors le système se
réécrit: 
\[ (S):\la\bgar{cccl} \dsp y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}\\
\dsp y=-\frac{a'}{b'}x+\frac{c'}{b'}\enar\right.
\]
Les deux droites sont sécantes, et donc le système admet une unique
solution, si et seulement si les coefficients directeurs ne sont
pas égaux, soit $\dsp \frac{a}{b}\neq \frac{a'}{b'}$, c'est-à-dire, si
$ab'-a'b\neq 0$. 

\ul{Ex:} Par exemple, pour les systèmes $(S_1)$ et $(S_2)$
précédents, on a respectivement : $ab'-a'b=33\neq 0$ et
$ab'-a'b=4-4=0$. 


\vspt\noindent
\ul{Ex:} Résoudre les systèmes suivants:


\[\bgar{lcl}
\la\bgar{rcrcc}
x &-&2y&=&-2\vspd\\x&+&4y&=&10\enar
\right.&\hspace*{3cm}
&\la\bgar{rcrcc}
2x &+&3y&=&21\vspd\\4x&-&y&=&7\enar
\right.
\vspq\\
\la\bgar{rcrcc}
3x &-&4y&=&5\vspd\\5x&-&6y&=&-1\enar
\right.&\hspace{1cm}
&\la\bgar{rcrcc}
-5x &+&2y&=&-9\vspd\\2x&+&5y&=&-8\enar
\right.
\vspq\\
\la\bgar{rcrcc}
2x &-&4y&=&-6\vspd\\-3x&+&6y&=&9\enar
\right.&\hspace{1cm}
&\la\bgar{rcrcc}
2x &-&4y&=&-4\vspd\\-3x&+&6y&=&9\enar
\right.
\enar\]

\vspd
\vspq\noindent
\ul{Ex:} Sachant qu'un éléphant et une souris pèsent ensemble 3 tonnes
et 100 grammmes, et que l'éléphant pèse 3 tonnes de plus que la
souris, combien pèse la souris ?

\vspq\noindent
\ul{Ex:} Après un devoir, Pierre et Paul discutent ensemble de 
leur note de devoir sur 40: 

Pierre: {\it ``Si tu me donnais 3 points, ma note serait le double de
  la tienne''}

Paul : {\it ``Mais si toi tu me donnais 4 points, j'aurais alors la
  même note que toi''}

\vspd
Quelles notes ont-ils eu à ce devoir ?

\vspq\noindent
\ul{Ex:} Une usine fabrique deux sortes d'objets en bois: $A$ et $B$. 

L'objet $A$ nécessite $1,2$ kg de bois et 2 h de fabrication. 

L'objet $B$ nécessite 2 kg de bois et 3 h de fabrication. 

\vsp
Pour produire ces objets, on a utilisé 54 kg de bois et la fabrication
a duré 84 heures. 

\vsp
Combien d'objets $A$ a-t-on fabriqués ? 
d'objets $B$ ?

\vspq\noindent
\ul{Ex:} {\it Un peu d'arithmétique pour une offre intringuante.}

Je vous propose l'offre suivante: 
{\it ``je donnerai 100 euro à celui qui me donnera 5 euro en 20
  pièces de 50 centimes, 20 centimes ou 5 centimes''}. 

Qu'en pensez-vous ?


\end{document}

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