Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: Vecteurs, repère et coordonnées},
pdftitle={Géométrie vectorielle},
pdfkeywords={Mathématiques, 2nde, seconde, vecteurs,
repère, géométrie, coordonnées}
}
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anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18.4cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Repérage dans le plan - Vecteurs}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\psset{arrowsize=7pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\text{nde}}$
\vspace*{-0.5cm}
\section{Introduction au calcul vectoriel - Déplacements}
%\vspace{-0.4cm}
\noindent
\textbf{\large 1) La carte au trésor.}
Placer sur le quadrillage ci-dessous les points $B$, $C$, $P$, $S$,
$G$ et $T$ tels~que:
\bgen[a)]\setlength{\parskip}{0em}\setlength{\itemsep}{0pt}
\item La {\bf B}aie des crabes se trouve au point $B$ tel que
$\V{AB}=-\vec{v}$.
\item La {\bf C}abane de Robinson se trouve au point $C$ tel que
$\V{AC}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$.
\item Les {\bf P}irates se trouvent au point $P$ tel que
$\dsp \V{AP}=\frac{2}{3}\vec{v}$.
\item La {\bf S}ource d'eau se trouve au point $S$ tel que
$\V{AS}=4\vec{u}$.
\item La {\bf G}rotte se trouve au point $G$ tel que
$\V{SG}=4\vec{v}+3\vec{u}-2\vec{w}$.
\item Le {\bf T}resor se trouve au point $T$ tel que $T$ est le
milieu de $SG$.
\enen
\vspd\vspd
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(10,10)
\multido{\n=0+0.5}{29}{\psline[linewidth=.2pt](\n,-2)(\n,10)}
\multido{\n=-2+0.5}{25}{\psline[linewidth=.2pt](0,\n)(14,\n)}
%
\psline[linewidth=1.4pt](2.35,9.15)(2.65,8.85)
\psline[linewidth=1.4pt](2.35,8.85)(2.65,9.15)
\put(2.5,9.2){\Large{$A$}}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(9.5,9)(9.5,7.5)
\put(9.6,8.4){\Large{$\vec{u}$}}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(10.5,9)(12,9)
\put(11,9.2){\Large{$\vec{v}$}}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(11,7)(10,6.5)
\put(10.1,7){\Large{$\vec{w}$}}
\end{pspicture}
\vspd\noindent
\textbf{\large 2) Somme de vecteurs.}\quad
Dans chacun des cas ci-dessous, placer le point $B$ tel que
$\V{AB}=\vec{u}+\vec{v}$.
\vspd
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(15,5)
\psline[linewidth=1pt](-0.1,0.1)(0.1,-0.1)
\psline[linewidth=1pt](-0.1,-0.1)(0.1,0.1)\put(0.1,-0.2){$A$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1.5,1)\put(0.8,0.2){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1.5,1)(2,2.5)\put(1.8,1.5){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.5,-1)(2.5,5)
\psline[linewidth=1pt](2.9,4.6)(3.1,4.4)
\psline[linewidth=1pt](2.9,4.4)(3.1,4.6)\put(2.8,4.8){$A$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(3,4.5)(5,3)\put(4,4){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(5,3)(4,0.)\put(4.,1.6){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](5.5,-1)(5.5,5)
\psline[linewidth=1pt](5.9,4.6)(6.1,4.4)
\psline[linewidth=1pt](5.9,4.4)(6.1,4.6)\put(6,4.8){$A$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(6,4.5)(7,3)\put(6.5,4){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(6.2,2)(7.5,2)\put(6.7,2.2){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](9.5,-1)(9.5,5)
\psline[linewidth=1pt](11.9,2.6)(12.1,2.4)
\psline[linewidth=1pt](11.9,2.4)(12.1,2.6)\put(11.5,2.6){$A$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(10,2)(12,4.6)\put(10.5,3.5){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(11,1.2)(13,0)\put(12,1.){$\vec{v}$}
\end{pspicture}
%\vspace*{-0.3cm}
\clearpage
\section{Définition}
\vspace{-0.6cm}
\bgdef{Soit $A$ et $B$ deux points distincts.
Le vecteur $\V{AB}$ est caractérisé par
\bgit
\item sa direction: celle de la droite $(AB)$
\item son sens: de $A$ vers $B$
\item sa longueur, ou norme, notée $AB$ ou $||\V{AB}||$:
la distance de $A$ à $B$
\enit}
\medskip\noindent
\ul{Vecteurs égaux:} Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement
si ils ont même direction, même sens et même longueur.
\vspace{-0.4cm}
\bgprop{$\V{AB}=\V{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme.}
\hspace{-4cm}
\begin{pspicture}(0,0.4)(3,.4)
\psline{->}(0,0)(2,0)
\psline{->}(1,1)(3,1)
\psline(0,0)(1,1)
\psline(2,0)(3,1)
\put(-.3,-.2){$A$}\put(2,-.2){$B$}\put(1,-.4){$\vec{u}$}
\put(0.7,1){$D$}\put(3,1){$C$}\put(2,1.1){$\vec{u}$}
\end{pspicture}
\vspace{-.8em}
\section{Addition}
\vspace{-.5em}
\subsection{Relation de Chasles}
Soient $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{BC}$ deux vecteurs, alors
$\vec{u}+\vec{v}=\V{AB}+\V{BC}=\V{AC}$
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.)(3,0.2)
\psline{->}(0,0)(3,1.5)\rput(-0.3,0){$A$}
\psline{->}(0,0)(2,0)\rput(2.3,0){$B$}
\psline{->}(2,0)(3,1.5)\rput(3.2,1.7){$C$}
\rput(1.,-0.3){$\vec{u}$}
\rput(2.8,0.7){$\vec{v}$}
\rput(1.,1){$\vec{u}+\vec{v}$}
\end{pspicture}
\vspace{-.5em}
\subsection{Autre construction: \ul{règle du parallélogramme}}
\vspace{-0.8cm}
Soient $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{AC}$ deux vecteurs, alors
$\vec{u}+\vec{v}=\V{AB}+\V{AC}$:
\hspace{0.5cm}
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-.5,0)(3,1.3)
\psline{->}(0,0)(2,0)
\psline{->}(0,0)(1,1)
\psline{->}(2,0)(3,1)
\psline{->}(0,0)(3,1)
\psline{->}(1,1)(3,1)
\put(-.3,-.2){$A$}\put(2,-.2){$B$}\put(0.7,1){$C$}
\put(1,-.3){$\vec{u}$}\put(.1,.4){$\vec{v}$}
\put(1.3,.6){$\vec{u}+\vec{v}$}
\end{pspicture}
\vspace{-.5em}
\subsection{Opposé d'un vecteur}
D'après la relation de Chasles, on a, pour tout point $A$ et $B$,
$\V{AB}+\V{BA}=\vec{0}$ (vecteur nul).
Ainsi, $\V{BA}=-\V{AB}$: on dit que les vecteurs $\V{AB}$ et
$\V{BA}$ sont opposés.
\subsection{Soustraction}
\bgmp{13cm}
Soient $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{AC}$ deux vecteurs, alors on
définit la soustraction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ par:
\vspace{-.9em}
\[\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})=\V{AB}+(-\V{AC})=\V{AB}+\V{CA}\]
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,0)(2,1.)
\psline{->}(0,1)(2,1)
\psline{->}(0,1)(1,2)
\psline{->}(0,1)(-1,0)
\psline{->}(0,1)(1,0)
\psline{->}(2,1)(1,0)
\psline{->}(-1,0)(1,0)
\put(-.5,.9){$A$}\put(2,.8){$B$}\put(.7,2){$C$}
\put(1,.7){$\vec{u}$}
\put(.2,1.5){$\vec{v}$}\put(-1.3,.3){$-\vec{v}$}
\put(-.3,.2){$\vec{u}-\vec{v}$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
$ABC$ est un triangle.
\bgen[a)]
\item Construire le point $D$ tel que $\V{AD}=\V{AB}-\V{AC}$.
Que peut-on dire du quadrilatère $ADBC$ ?
\vsp
\item Construire le point $M$ tel que $\V{BM}=\V{BC}-\V{CA}$.
\enen
\enex
\vspace{-2em}
\noindent\bgmp{12.8cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un rectangle de centre $I$ et $M$ un point quelconque.
Construire le point $N$ tel que $\V{MN}=\V{AB}+\V{CI}+\V{BC}$.
Quelle est la nature du quadrilatère $AINM$ ?
\enex
\bgex On considère un objet soumis à trois force $\V{F_1}$, $\V{F_2}$
et $\V{F_3}$.
L'objet est-il en équilibre ou va-t'il se déplacer ?
Dans quelle direction ?
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{unit=.8cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.)(3.,3.)
\multido{\i=-3+1}{7}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-3)(\i,3)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-3,\i)(3,\i)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-.2,-.2)(-.2,.2)(.2,.2)(.2,-.2)
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,-3)\rput(-.4,2.4){$\V{F_1}$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,3)\rput(-.4,-2.6){$\V{F_2}$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(2,1)\rput(1.6,.3){$\V{F_3}$}
\end{pspicture}
\]\enmp
\vspace{-1em}
\section{Multiplication}
\subsection{Multiplication par un entier naturel}
\noindent
Soit $\vec{u}$ un vecteur et $n$ un entier naturel, alors on note
$n\vec{u}$ le vecteur:
$\bgar[t]{lc}
n\,\vec{u}=&\underbrace{\vec{u}+\vec{u}+\dots+\vec{u}} \\
&\mbox{$n$ fois}
\enar$
\vspace{-1.2em}\noindent
Le vecteur $n\vec{u}$ a:
\bgit
\item même direction que $\vec{u}$,
\item même sens que $\vec{u}$,
\item une longueur égale à celle de $\vec{u}$ multipliée par $n$:
$||n\vec{u}||=n||\vec{u}||$.
\enit
\subsection{Multiplication par un entier relatif}
\noindent
Soit $\vec{u}$ un vecteur et $m$ un entier relatif, alors on note
$m\vec{u}$ le vecteur:
$\bullet$ si $m>0$,
$m\,\vec{u}=\underbrace{\vec{u}+\vec{u}+\dots+\vec{u}}_{\mbox{m fois}}$
\qquad\qquad$\bullet$ si $m<0$,
$m\,\vec{u}=\underbrace{-\vec{u}-\vec{u}-\dots-\vec{u}}_{\mbox{m fois}}$
\vspace{1em}\noindent
Le vecteur $m\vec{u}$ a : même direction, un sens opposé à $\vec{u}$,
et sa longueur est multipliée par $m$ si $m>0$ et par $-m$ si $m<0$.
\vspace{1em}
\noindent
\textit{Exemple:} $-3\vec{u}=-\vec{u}-\vec{u}-\vec{u}$ a:
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgit
\item la même direction que $\vec{u}$ \vsp
\item un sens opposé à celui de $\vec{u}$ \vsp
\item une longueur, ou norme, égale à trois fois celle de $\vec{u}$:
$\|-3\vec{u}\|=3\|\vec{u}\|$
\enit
\enmp
\subsection{Multiplication par un nombre réel}
Soit $\vec{u}$ un vecteur, et $k$ un nombre réel, on note $k\vec{u}$
le vecteur:
\bgit
\item de même direction que $\vec{u}$ \vsp
\item de même sens que $\vec{u}$ si $k>0$, et de sens contraire si
$k<0$ \vsp
\item de longueur égale à la longueur de $\vec{u}$ multipliée par
$|k|$:
$||k\vec{u}||=|k|\,||\vec{u}||$.
\enit
\bgex Soit $A$, $B$ et $C$ trois points.
Placer les points $D$ et $E$ tels que:
\[\V{AD}=\frac{3}{2}\V{AB}+\frac{1}{2}\V{AC} \
\mbox{ et, }\
\V{BE}=0,5\V{AD}-0,8\V{BC} \ .\]
\enex
\vspace{-1.2em}
\bgex $ABC$ est un triangle.
Placer les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que: \\[.7em]
a) $\V{AE}=\V{AB}+2\V{AC}$ \qquad b) $\V{AF}=-2\V{AB}+\V{AC}$ \qquad
c) $\V{AG}=2\V{AB}+3\V{AC}$ \qquad d) $\V{AH}=-3\V{AB}+\V{BC}$
\enex
\vspace{-.8em}
\section{Règles de calcul}
\vspace{-1.5em}
\bgprop{Si $k\vec{u}=\vec{0}$, alors $k=0$ ou $\vec{u}=0$.}
\bgprop{Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs, et $a$ et $b$ deux
nombres réels, alors \vspd
\bgit
\item[$\bullet$] $a(b\vec{u})=(a b)\vec{u}$ \vspd
\item[$\bullet$] $(a+b)\vec{u}=a\vec{u}+b\vec{u}$ \vspd
\item[$\bullet$] $a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+b\vec{v}$
\enit
}
\bgex
$[AB]$ est un segment de longueur $8$cm.
On chercke le point $M$~tel~que:
$\V{MA}+3\V{MB}=\V{0}$.
\bgen[a)]
\item Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que
l'égalité ci-dessus s'écrit:
$4\V{MA}+3\V{AB}=\V{0}$.
\item En déduire l'expression de $\V{AM}$ en fonction de
$\V{AB}$ et construire le point $M$.
\enen
\enex
\bgprop{Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls de même
direction, alors il existe un nombre réel $k$ tel que
$\vec{v}=k\vec{u}$.
On dit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
\ul{colinéaires}.
}
\clearpage
\bgex $ABC$ est un triangle.
$D$ et $E$ sont les points tels que:
$\V{EB}=\V{BA}$ et $\V{ED}=2\V{BC}$.\\[.5em]
Faire une figure, puis démontrer que $C$ est le milieu du segment $[AD]$.
\enex
\bgex\!\!$ABCD$ est un quadrilatère tel que $\V{AB}\!=\!2\V{CD}$.
Soit $E$ le symétrique de $A$ par rapport~à~$C$. \\[.5em]
Démontrer que $E$ est le symétrique de $B$ par rapport~à~$D$.
\enex
\section{Repères et coordonnées}
\bgdef{Un repère du plan est la donnée, dans l'ordre, d'une origine et
de deux vecteurs non colinéaires.}
\bigskip\noindent
\ul{Exemples:} On note $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ le repère dont
l'origine est le point $O$, et la droite passant par $O$ et dirigée
par $\vec{i}$ est l'axe des abscisses et la droite passant par $O$ et
dirigée par $\vec{j}$ est l'axe des ordonnées.
\[\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1)(10.5,1.4)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(1,1)
\put(-.3,-.3){$O$}
\put(.4,-.5){$\vec{i}$}\put(.2,.5){$\vec{j}$}
\put(-.5,-1){Repère quelconque}
%
\psline(3,-1)(3,1.2)
%
\psline{->}(4,0)(6,0)
\psline{->}(4,0)(4,1)
\put(3.7,-.3){$O$}
\put(4.8,-.5){$\vec{i}$}\put(3.6,.4){$\vec{j}$}
\put(3.5,-1){Repère orthogonal}
%
\psline(7,-1)(7,1.2)
%
\psline{->}(8,0)(9,0)
\psline{->}(8,0)(8,1)
\put(7.7,-.3){$O$}
\put(8.3,-.5){$\vec{i}$}\put(7.6,.4){$\vec{j}$}
\put(7.5,-1){Repère orthonormal}
\end{pspicture}\]
\bgprop{Soit $M$ un point quelconque du plan de repère
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, alors il existe un couple unique $(x,y)$ de
nombres réels tels que: $\V{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$.
Le couple $(x,y)$ est le couple de coordonnées du point $M$ ou du
vecteur $\V{OM}$ dans le repère $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\bgit
\item $x$ est l'abscisse du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$
\item $y$ est l'ordonnée du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$
\enit
}
\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:}
Soit $M'$ le point de la droite $(OI)$ tel que $(MM')$ est parallèle
à $(OJ)$, et $M''$ le point de la droite $(OJ)$ tel que $(MM'')$ est
parallèle à $(OI)$, alors on a:
$\V{OM}=\V{OM'}+\V{OM''}$.
\noindent\bgmp{12cm}
Comme $\V{OM'}$ et $\vec{i}$ ont même direction (ils sont
colinéaires), il existe un réel $x$ tel que $\V{OM'}=x\vec{i}$.
De même, $\V{OM''}$ et $\vec{j}$ ont même direction, donc il existe
un réel $y$ tel que $\V{OM''}=y\vec{j}$.
On a alors bien, $\V{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$.
\enmp
\bgmp{6cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{pspicture}(0,3)
\psline{->}(0,0)(2,0)
\psline(-.5,0)(4.5,0)
\psline{->}(0,0)(1,1)
\psline(-.5,-.5)(2.5,2.5)
\put(3.,-.3){\line(1,1){3}}
\psline(0,0)(6,2)
\psline(1,1.7)(6.2,1.7)
\put(-.1,-.4){$O$}
\put(4.5,1.9){$M$}
\put(1.2,1.8){$M''$}\put(3.5,-.4){$M'$}
\put(1,-.4){$\vec{i}$}\put(.1,.4){$\vec{j}$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgprop{
Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$,
\bgen[1)]
\item Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les
mêmes coordonnées:
\[\mbox{ si }\ \vec{u}(x;y) \ \mbox{ et, }\ \vec{v}(x';y')
\ \mbox{alors, }\
\vec{u}=\vec{v}
\Longleftrightarrow \la\bgar{l}x=x'\\y=y'\enar\right.\]
\item Si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$,
alors $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ a pour
coordonnées $\vec{w}(x+x';y+y')$.
\item Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx;ky)$.
\enen
}
\bgprop{Soit dans un repère $\lp O,\vec{i},\vec{j}\rp$
$A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ alors,
\bgen[1)]
\item $\V{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$
\item Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées
$\dsp \lp\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\rp$
\item Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ orthonormal,
\bgen[a)]
\item Si $\vec{u}(x;y)$, alors $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.
\item $\V{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ donc
$AB=\|\V{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
\enen
\enen}
\bgex
Dans un repère orthonormal, représenter les vecteurs
$\vec{u}(1;-2)$ et $\vec{v}(3;4)$:
a) avec pour origine le point $O$ \qquad\qquad
b) avec pour origine le point $A(2;3)$.
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$A(1;2)$, $B(-1;3)$, et $C(4;6)$.
Calculer les coordonnées des vecteurs:
$\V{AB}$, $\V{BA}$, $\V{AC}$ et $\V{BC}$
et les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
\enex
\bgex
Dans un repère, on donne $\vec{u}(2;3)$, $A(-1;4)$ et $B(3;-2)$.
Calculer les coordonnées des points $C$ et $D$ qui vérifient
$\V{AC}=\vec{u}$, et $\V{BA}=2\V{BD}$
\enex
\bgex Dans un repère, on considère les points:
$E(-1;-2)$, $F(3;-4)$ et $G(4;7)$
\bgit
\item[a)] Calculer les coordonnées du vecteur $\V{EF}+\V{EG}$.
\item[b)] En déduire les coordonnées du point $H$ tel que
$EFHG$ soit un parralélogramme.
\enit
\enex
\bgex Dans un repère, on considère les points:
$A(-2;1)$, $B(3;4)$, et $C(-5;2)$
Calculer les coordonnées du point $M$ tel que:
$\V{MA}+\V{MB}+\V{MC}=\V{0}$.
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$A(-2;2)$, $B(1;-3)$, $C(9;-1)$ et $D(6;4)$.
\bgit
\item[a)] Calculer les coordonnées des vecteurs:
$\V{AB}$, $\V{AD}$, $\V{AC}$ et $\V{DC}$.
\item[b)] Quel est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
\item[c)] Quelles sont les coordonnées
des milieux $I$ et $J$ de $[AC]$ et $[BD]$ ?
\enit
\enex
\bgex Soit, dans un repère orthonormé, les points:
$A(-5;1)$, $B(-1;3)$, $C(5;1)$ et $D(1;-1)$.
\bgit
\item[a)] Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
\item[b)] Démontrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un parallélogramme.
\enit
\enex
\bgex
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère le point
$A(2;3)$.
Déterminer les coordonnés du point $B$ situé sur l'axe des abscisses
et tel que $AB=5$.
\enex
\section{Vecteurs colinéaires}
\vspace{-0.6cm}
\bgprop{Si le plan est rapporté à un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, deux
vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, c'est-à-dire
$\vec{u}=k\vec{v}$, si et seulement si leurs coordonnées sont
proportionnelles.}
\vspd\noindent
\textit{Exemple:} $\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}=(6,-4)$ sont colinéaires car
$6=2\tm 3$ et $-4=2\tm (-2)$ (donc $\vec{v}=2\vec{u}$).
\bgprop{Les vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colinéaires
si et seulement si $xy'=x'y$, ou $xy'-x'y=0$.}
\vspd\noindent
\textit{Exemple:} $\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}=(6,-4)$ sont colinéaires car
$3\tm (-4)=-2\tm 6 =12$.
$\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}=(\sqrt{3},-\sqrt{2})$ ne sont
pas colinéaires car $3\tm (-\sqrt{2})-(-2)\tm \sqrt{3}\neq 0$.
\bgprop{
\bgit
\item[1)] Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alignées si et
seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$ sont colinéaires.
\item[2)] Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et
seulenement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ sont
colinéaires.
\enit}
\vspd\noindent
\textit{Exemple:} Soit les points $A(1;2)$, $B(-1;-1)$ et $C(5;8)$.
Représenter ces points dans un repère, et déterminer si ils sont
alignés.
\bgex Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont colinéaires.
\vsp\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-1;\frac{3}{2}\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp\frac{1}{2};\frac{1}{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp\frac{4}{5};\frac{3}{3}\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp\sqrt{2};\sqrt{3}\rp$ et
$\dsp\vec{v}\lp-2;-\sqrt{6}\rp$.
\enex
\bgex Dans chaque cas,
déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ soient colinéaires.
\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;6\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp m;3\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp-m;4m-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp1;-3\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp27;2m\rp$ et
$\dsp\vec{v}\lp2m;3\rp$.
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$A(-2;1)$; $B(3;3)$; $C\lp 1;\dfrac{11}{5}\rp$;
$D\lp\dfrac{45}{2};\dfrac{54}{5}\rp$
\vspace{-.7em}
\bgen[a)]
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\item Les points $A$, $B$ et $D$ sont ils alignés ?
\enen
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$M(0;-3)$; $N(2;3)$; $P(-9;0)$ et $Q(-1;-1)$
\bgen
\item Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$ tels que:
a)\ $\dsp\V{NA}=\frac{1}{2}\V{MN}$
\hspace{1em}
b)\ $\dsp \V{MB}=3\V{MQ}$
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\V{PA}$ et $\V{PB}$.
\item Démontrer que les points $P$, $A$ et $B$ sont alignés.
\enen
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$A(1;-1)$; $B(-1;-2)$ et $C(-2;2)$
\bgen[a)]
\item Déterminer les coordonnées du point $G$ vérifiant:
$\V{GA}+2\V{GB}+\V{GC}=\V{0}$.
\item Déterminer les coordonnées du point $D$ vérifiant:
$\V{BD}=\V{BA}+\V{BC}$.
\item Faire une figure. Que peut-on conjecturer pour les points
$B$, $G$ et $D$ ?
Démontrer cette conjecture.
\enen
\enex
\bgex $ABCD$ est un rectangle.
\bgit
\item[a)] Faire une figure et placer les points $I$, $J$, $K$ et $L$
tels que:
\[ \V{AI}=\frac{1}{5}\V{AB}\ ;\
\V{BJ}=\frac{1}{3}\V{BC}\ ;\
\V{CK}=\frac{1}{5}\V{CD}\ ;\
\V{DL}=\frac{1}{3}\V{DA}
\]
\item[b)] Dans le repère $(A;\V{AD},\V{AB})$,
exprimer les coordonnées des vecteurs $\V{IJ}$ et $\V{LK}$.
\item[c)] En déduire la nature du quadrilatère $IJKL$.
\item[d)] Démontrer que le centre du rectangle est le milieu du
segment $[IK]$.
\enit
\enex
\vspace{-1em}
\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
$ABCD$ est un rectangle.
Soit $I$ le milieu de $[AD]$ et les points $J$ et $K$ tels que
$\V{DJ}=\dfrac45\V{DC}$ et $\V{AK}=\dfrac23\V{AB}$.
Déterminer le point $L$ de $(BC)$ tel que
$(IJ)/\!/(KL)$.
\enex
\enmp
\bgmp{4cm}
\[\psset{xunit=3.6cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(1.5,1.5)
\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\rput(-.1,-.1){$A$}
\rput(1.05,-.1){$B$}
\rput(1.05,1){$C$}
\rput(-.05,1){$D$}
\psline(-.04,.55)(.04,.45)\rput(-.06,.56){$I$}
\psline(.8,.95)(.8,1.05)\rput(.8,1.15){$J$}
\psline(.666,-.05)(.666,.05)\rput(.666,-.2){$K$}
\psplot{-.2}{1.2}{5 8 div x mul .5 add}
\end{pspicture}\]\enmp
\vspace{-.8em}
\bgex
$ABC$ est un triangle et $N$ et $P$ tels que:
$\V{AN}=-\dfrac{3}{4}\V{AB}-\V{BC}$
et $\V{AP}=-\dfrac{1}{2}\V{AB}+2\V{AC}$.
\bgen
\item Faire une figure et placer $N$ et $P$.
\item On choisit le repère $(A;\V{AB},\V{AC})$.
Déterminer les coordonnées des points $N$ et $P$.
\item Démontrer que $A$, $N$ et $P$ sont alignés.
\enen
\enex
\end{document}
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