Source Latex: Cours de mathématiques en Seconde


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Description
Cours de mathématiques en 2nde: vecteurs, repères et coordonnées
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Introduction au calcul vectoriel - Déplacements
  • Définition et première propriété
  • Addition et soustraction de vecteurs
  • Multiplication d'un vecteur par un nombre réel
  • Règles de calcul algébrique sur les vecteurs
  • Repère et coordonnées de points et de vecteurs
  • Vecteurs colinéaires: alignement et parallélisme
Mots clé
Cours de mathématiques, vecteur, repère, repérage, coordonnées, géométrie analytique, 2nde
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Vecteurs, repère et coordonnées},
    pdftitle={Géométrie vectorielle},
    pdfkeywords={Mathématiques, 2nde, seconde, vecteurs, 
      repère, géométrie, coordonnées}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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  \noindent\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Repérage dans le plan - Vecteurs}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

\psset{arrowsize=7pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\text{nde}}$

\vspace*{-0.5cm}
\section{Introduction au calcul vectoriel - Déplacements}

%\vspace{-0.4cm}

\noindent
\textbf{\large 1) La carte au trésor.} 
Placer sur le quadrillage ci-dessous les points $B$, $C$, $P$, $S$,
$G$ et $T$ tels~que: 

\bgen[a)]\setlength{\parskip}{0em}\setlength{\itemsep}{0pt}
\item La {\bf B}aie des crabes se trouve au point $B$ tel que
  $\V{AB}=-\vec{v}$. 
\item La {\bf C}abane de Robinson se trouve au point $C$ tel que 
  $\V{AC}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$. 
\item Les {\bf P}irates se trouvent au point $P$ tel que 
  $\dsp \V{AP}=\frac{2}{3}\vec{v}$.
\item La {\bf S}ource d'eau se trouve au point $S$ tel que
  $\V{AS}=4\vec{u}$. 
\item La {\bf G}rotte se trouve au point $G$ tel que
  $\V{SG}=4\vec{v}+3\vec{u}-2\vec{w}$. 
\item Le {\bf T}resor se trouve au point $T$ tel que $T$ est le
  milieu de $SG$. 
\enen

\vspd\vspd
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(10,10)
\multido{\n=0+0.5}{29}{\psline[linewidth=.2pt](\n,-2)(\n,10)}
\multido{\n=-2+0.5}{25}{\psline[linewidth=.2pt](0,\n)(14,\n)}
%
\psline[linewidth=1.4pt](2.35,9.15)(2.65,8.85)
\psline[linewidth=1.4pt](2.35,8.85)(2.65,9.15)
\put(2.5,9.2){\Large{$A$}}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(9.5,9)(9.5,7.5)
\put(9.6,8.4){\Large{$\vec{u}$}}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(10.5,9)(12,9)
\put(11,9.2){\Large{$\vec{v}$}}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(11,7)(10,6.5)
\put(10.1,7){\Large{$\vec{w}$}}
\end{pspicture}


\vspd\noindent
\textbf{\large 2) Somme de vecteurs.}\quad 
Dans chacun des cas ci-dessous, placer le point $B$ tel que 
$\V{AB}=\vec{u}+\vec{v}$. 

\vspd
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(15,5)
\psline[linewidth=1pt](-0.1,0.1)(0.1,-0.1)
\psline[linewidth=1pt](-0.1,-0.1)(0.1,0.1)\put(0.1,-0.2){$A$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1.5,1)\put(0.8,0.2){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1.5,1)(2,2.5)\put(1.8,1.5){$\vec{v}$}

\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.5,-1)(2.5,5)
\psline[linewidth=1pt](2.9,4.6)(3.1,4.4)
\psline[linewidth=1pt](2.9,4.4)(3.1,4.6)\put(2.8,4.8){$A$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(3,4.5)(5,3)\put(4,4){$\vec{v}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(5,3)(4,0.)\put(4.,1.6){$\vec{u}$}

\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](5.5,-1)(5.5,5)
\psline[linewidth=1pt](5.9,4.6)(6.1,4.4)
\psline[linewidth=1pt](5.9,4.4)(6.1,4.6)\put(6,4.8){$A$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(6,4.5)(7,3)\put(6.5,4){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(6.2,2)(7.5,2)\put(6.7,2.2){$\vec{v}$}

\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](9.5,-1)(9.5,5)
\psline[linewidth=1pt](11.9,2.6)(12.1,2.4)
\psline[linewidth=1pt](11.9,2.4)(12.1,2.6)\put(11.5,2.6){$A$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(10,2)(12,4.6)\put(10.5,3.5){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(11,1.2)(13,0)\put(12,1.){$\vec{v}$}
\end{pspicture}



%\vspace*{-0.3cm}
\clearpage
\section{Définition}

\vspace{-0.6cm}
\bgdef{Soit $A$ et $B$ deux points distincts. 
Le vecteur $\V{AB}$ est caractérisé par 
\bgit
\item sa direction: celle de la droite $(AB)$
\item son sens: de $A$ vers $B$
\item sa longueur, ou norme, notée $AB$ ou $||\V{AB}||$: 
la distance de $A$ à $B$
\enit}

\medskip\noindent
\ul{Vecteurs égaux:} Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement
si ils ont même direction, même sens et même longueur.  

\vspace{-0.4cm}
\bgprop{$\V{AB}=\V{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme.}
\hspace{-4cm}  
\begin{pspicture}(0,0.4)(3,.4)
  \psline{->}(0,0)(2,0)
  \psline{->}(1,1)(3,1)
  \psline(0,0)(1,1)
  \psline(2,0)(3,1)
  \put(-.3,-.2){$A$}\put(2,-.2){$B$}\put(1,-.4){$\vec{u}$}
  \put(0.7,1){$D$}\put(3,1){$C$}\put(2,1.1){$\vec{u}$}
\end{pspicture}

\vspace{-.8em}
\section{Addition}
  
\vspace{-.5em}
\subsection{Relation de Chasles}
  
Soient $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{BC}$ deux vecteurs, alors 
$\vec{u}+\vec{v}=\V{AB}+\V{BC}=\V{AC}$
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.)(3,0.2)
  \psline{->}(0,0)(3,1.5)\rput(-0.3,0){$A$}
  \psline{->}(0,0)(2,0)\rput(2.3,0){$B$}
  \psline{->}(2,0)(3,1.5)\rput(3.2,1.7){$C$}
  \rput(1.,-0.3){$\vec{u}$}
  \rput(2.8,0.7){$\vec{v}$}
  \rput(1.,1){$\vec{u}+\vec{v}$}
\end{pspicture}

\vspace{-.5em}
\subsection{Autre construction: \ul{règle du parallélogramme}}

\vspace{-0.8cm}
Soient $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{AC}$ deux vecteurs, alors
$\vec{u}+\vec{v}=\V{AB}+\V{AC}$: 
\hspace{0.5cm}
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(-.5,0)(3,1.3)
  \psline{->}(0,0)(2,0)
  \psline{->}(0,0)(1,1)
  \psline{->}(2,0)(3,1)
  \psline{->}(0,0)(3,1)
  \psline{->}(1,1)(3,1)
  \put(-.3,-.2){$A$}\put(2,-.2){$B$}\put(0.7,1){$C$}
  \put(1,-.3){$\vec{u}$}\put(.1,.4){$\vec{v}$}
  \put(1.3,.6){$\vec{u}+\vec{v}$}
\end{pspicture}

\vspace{-.5em}
\subsection{Opposé d'un vecteur}
D'après la relation de Chasles, on a, pour tout point $A$ et $B$, 
$\V{AB}+\V{BA}=\vec{0}$ (vecteur nul). 

Ainsi, $\V{BA}=-\V{AB}$: on dit que les vecteurs $\V{AB}$ et
$\V{BA}$ sont opposés. 
  
\subsection{Soustraction}

\bgmp{13cm}
Soient $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{AC}$ deux vecteurs, alors on
définit la soustraction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ par: 
\vspace{-.9em}
\[\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})=\V{AB}+(-\V{AC})=\V{AB}+\V{CA}\] 
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,0)(2,1.)
  \psline{->}(0,1)(2,1)
  \psline{->}(0,1)(1,2)
  \psline{->}(0,1)(-1,0)
  \psline{->}(0,1)(1,0)
  \psline{->}(2,1)(1,0)
  \psline{->}(-1,0)(1,0)
  \put(-.5,.9){$A$}\put(2,.8){$B$}\put(.7,2){$C$}
  \put(1,.7){$\vec{u}$}
  \put(.2,1.5){$\vec{v}$}\put(-1.3,.3){$-\vec{v}$}
  \put(-.3,.2){$\vec{u}-\vec{v}$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
$ABC$ est un triangle. 
\bgen[a)]
\item Construire le point $D$ tel que $\V{AD}=\V{AB}-\V{AC}$. 
  Que peut-on dire du quadrilatère $ADBC$ ?
  \vsp
\item Construire le point $M$ tel que $\V{BM}=\V{BC}-\V{CA}$.
\enen
\enex


\vspace{-2em}

\noindent\bgmp{12.8cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un rectangle de centre $I$ et $M$ un point quelconque. 

Construire le point $N$ tel que $\V{MN}=\V{AB}+\V{CI}+\V{BC}$. 

Quelle est la nature du quadrilatère $AINM$ ?
\enex

\bgex On considère un objet soumis à trois force $\V{F_1}$, $\V{F_2}$
et $\V{F_3}$. 

L'objet est-il en équilibre ou va-t'il se déplacer ? 
Dans quelle direction ?
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{unit=.8cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.)(3.,3.)
  \multido{\i=-3+1}{7}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-3)(\i,3)
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-3,\i)(3,\i)}
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-.2,-.2)(-.2,.2)(.2,.2)(.2,-.2)
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,-3)\rput(-.4,2.4){$\V{F_1}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,3)\rput(-.4,-2.6){$\V{F_2}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(2,1)\rput(1.6,.3){$\V{F_3}$}
\end{pspicture}
\]\enmp

\vspace{-1em}
\section{Multiplication}

\subsection{Multiplication par un entier naturel}
\noindent 
Soit $\vec{u}$ un vecteur et $n$ un entier naturel, alors on note
$n\vec{u}$ le vecteur: 
$\bgar[t]{lc}
n\,\vec{u}=&\underbrace{\vec{u}+\vec{u}+\dots+\vec{u}} \\
&\mbox{$n$ fois}
\enar$

\vspace{-1.2em}\noindent
Le vecteur $n\vec{u}$ a: 
\bgit
\item même direction que $\vec{u}$, 
\item même sens que $\vec{u}$, 
\item une longueur égale à celle de $\vec{u}$ multipliée par $n$: 
  $||n\vec{u}||=n||\vec{u}||$.
\enit

\subsection{Multiplication par un entier relatif}
  
\noindent 
Soit $\vec{u}$ un vecteur et $m$ un entier relatif, alors on note
$m\vec{u}$ le vecteur: 

$\bullet$ si $m>0$, 
$m\,\vec{u}=\underbrace{\vec{u}+\vec{u}+\dots+\vec{u}}_{\mbox{m fois}}$
\qquad\qquad$\bullet$ si $m<0$, 
$m\,\vec{u}=\underbrace{-\vec{u}-\vec{u}-\dots-\vec{u}}_{\mbox{m fois}}$


\vspace{1em}\noindent  
Le vecteur $m\vec{u}$ a : même direction, un sens opposé à $\vec{u}$,
et sa longueur est multipliée par $m$ si $m>0$ et par $-m$ si $m<0$.
  
\vspace{1em}

\noindent
\textit{Exemple:} $-3\vec{u}=-\vec{u}-\vec{u}-\vec{u}$ a: 
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgit
\item la même direction que $\vec{u}$ \vsp
\item un sens opposé à celui de $\vec{u}$ \vsp
\item une longueur, ou norme, égale à trois fois celle de $\vec{u}$: 
  $\|-3\vec{u}\|=3\|\vec{u}\|$
\enit
\enmp

\subsection{Multiplication par un nombre réel}
  
Soit $\vec{u}$ un vecteur, et $k$ un nombre réel, on note $k\vec{u}$
le vecteur: 
\bgit
\item de même direction que $\vec{u}$ \vsp
\item de même sens que $\vec{u}$ si $k>0$, et de sens contraire si
  $k<0$ \vsp
\item de longueur égale à la longueur de $\vec{u}$ multipliée par
  $|k|$: 
  $||k\vec{u}||=|k|\,||\vec{u}||$.
\enit

\bgex Soit $A$, $B$ et $C$ trois points. 
Placer les points $D$ et $E$ tels que: 
\[\V{AD}=\frac{3}{2}\V{AB}+\frac{1}{2}\V{AC} \ 
\mbox{ et, }\ 
\V{BE}=0,5\V{AD}-0,8\V{BC} \ .\]
\enex

\vspace{-1.2em}

\bgex $ABC$ est un triangle. 
Placer les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que: \\[.7em]
a) $\V{AE}=\V{AB}+2\V{AC}$ \qquad b) $\V{AF}=-2\V{AB}+\V{AC}$ \qquad 
c) $\V{AG}=2\V{AB}+3\V{AC}$ \qquad d) $\V{AH}=-3\V{AB}+\V{BC}$
\enex

\vspace{-.8em}
\section{Règles de calcul}

\vspace{-1.5em}
\bgprop{Si $k\vec{u}=\vec{0}$, alors $k=0$ ou $\vec{u}=0$.}

\bgprop{Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs, et $a$ et $b$ deux
  nombres réels, alors \vspd
\bgit
\item[$\bullet$] $a(b\vec{u})=(a b)\vec{u}$ \vspd
\item[$\bullet$] $(a+b)\vec{u}=a\vec{u}+b\vec{u}$ \vspd
\item[$\bullet$] $a(\vec{u}+\vec{v})=a\vec{u}+b\vec{v}$
\enit
}

\bgex
$[AB]$ est un segment de longueur $8$cm. 
On chercke le point $M$~tel~que: 
$\V{MA}+3\V{MB}=\V{0}$.
\bgen[a)]
\item Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que 
  l'égalité ci-dessus s'écrit: 
  $4\V{MA}+3\V{AB}=\V{0}$.
\item En déduire l'expression de $\V{AM}$ en fonction de
  $\V{AB}$ et construire le point $M$.
\enen
\enex

\bgprop{Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls de même
  direction, alors il existe un nombre réel $k$ tel que
  $\vec{v}=k\vec{u}$. 
  
  On dit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
  \ul{colinéaires}. 
}

\clearpage

\bgex $ABC$ est un triangle. 
$D$ et $E$ sont les points tels que: 
$\V{EB}=\V{BA}$ et $\V{ED}=2\V{BC}$.\\[.5em]
Faire une figure, puis démontrer que $C$ est le milieu du segment $[AD]$. 
\enex

\bgex\!\!$ABCD$ est un quadrilatère tel que $\V{AB}\!=\!2\V{CD}$. 
Soit $E$ le symétrique de $A$ par rapport~à~$C$. \\[.5em]
Démontrer que $E$ est le symétrique de $B$ par rapport~à~$D$. 
\enex

\section{Repères et coordonnées}

\bgdef{Un repère du plan est la donnée, dans l'ordre, d'une origine et
  de deux vecteurs non colinéaires.}

\bigskip\noindent
\ul{Exemples:} On note $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ le repère dont
l'origine est le point $O$, et la droite passant par $O$ et dirigée
par $\vec{i}$ est l'axe des abscisses et la droite passant par $O$ et
dirigée par $\vec{j}$ est l'axe des ordonnées. 

\[\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1)(10.5,1.4)
  \psline{->}(0,0)(1,0)
  \psline{->}(0,0)(1,1)
  \put(-.3,-.3){$O$}
  \put(.4,-.5){$\vec{i}$}\put(.2,.5){$\vec{j}$}
  \put(-.5,-1){Repère quelconque}
  %
  \psline(3,-1)(3,1.2)
  %
  \psline{->}(4,0)(6,0)
  \psline{->}(4,0)(4,1)
  \put(3.7,-.3){$O$}
  \put(4.8,-.5){$\vec{i}$}\put(3.6,.4){$\vec{j}$}
  \put(3.5,-1){Repère orthogonal}
  %
  \psline(7,-1)(7,1.2)
  %
  \psline{->}(8,0)(9,0)
  \psline{->}(8,0)(8,1)
  \put(7.7,-.3){$O$}
  \put(8.3,-.5){$\vec{i}$}\put(7.6,.4){$\vec{j}$}
  \put(7.5,-1){Repère orthonormal}
\end{pspicture}\]

\bgprop{Soit $M$ un point quelconque du plan de repère
  $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, alors il existe un couple unique $(x,y)$ de
  nombres réels tels que: $\V{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$.
  
  Le couple $(x,y)$ est le couple de coordonnées du point $M$ ou du
  vecteur $\V{OM}$ dans le repère $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

  \bgit
  \item $x$ est l'abscisse du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$
  \item $y$ est l'ordonnée du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$
  \enit

}

\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:}
Soit $M'$ le point de la droite $(OI)$ tel que $(MM')$ est parallèle
à $(OJ)$, et $M''$ le point de la droite $(OJ)$ tel que $(MM'')$ est
parallèle à $(OI)$, alors on a: 
$\V{OM}=\V{OM'}+\V{OM''}$. 

\noindent\bgmp{12cm}
Comme $\V{OM'}$ et $\vec{i}$ ont même direction (ils sont
colinéaires), il existe un réel $x$ tel que $\V{OM'}=x\vec{i}$. 

De même, $\V{OM''}$ et $\vec{j}$ ont même direction, donc il existe
un réel $y$ tel que $\V{OM''}=y\vec{j}$. 

On a alors bien, $\V{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}$. 
\enmp
\bgmp{6cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{pspicture}(0,3)
  \psline{->}(0,0)(2,0)
  \psline(-.5,0)(4.5,0)
  \psline{->}(0,0)(1,1)
  \psline(-.5,-.5)(2.5,2.5)
  \put(3.,-.3){\line(1,1){3}}
  \psline(0,0)(6,2)
  \psline(1,1.7)(6.2,1.7)
  \put(-.1,-.4){$O$}
  \put(4.5,1.9){$M$}
  \put(1.2,1.8){$M''$}\put(3.5,-.4){$M'$}
  \put(1,-.4){$\vec{i}$}\put(.1,.4){$\vec{j}$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgprop{
  Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, 
  \bgen[1)]
  \item Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les
  mêmes coordonnées: 
  \[\mbox{ si }\ \vec{u}(x;y) \ \mbox{ et, }\  \vec{v}(x';y')
  \ \mbox{alors, }\ 
  \vec{u}=\vec{v} 
  \Longleftrightarrow \la\bgar{l}x=x'\\y=y'\enar\right.\]
  \item Si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$, 
    alors $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ a pour
    coordonnées $\vec{w}(x+x';y+y')$. 
      
  \item Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx;ky)$.
  \enen 
}

\bgprop{Soit dans un repère $\lp O,\vec{i},\vec{j}\rp$ 
 $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ alors, 
\bgen[1)]
\item $\V{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$
\item Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées
  $\dsp \lp\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\rp$
\item Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ orthonormal, 
  \bgen[a)]
  \item  Si $\vec{u}(x;y)$, alors $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$. 
  \item $\V{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ donc
    $AB=\|\V{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
\enen
\enen}

\bgex
Dans un repère orthonormal, représenter les vecteurs 
$\vec{u}(1;-2)$ et $\vec{v}(3;4)$: 

a) avec pour origine le point $O$ \qquad\qquad
b) avec pour origine le point $A(2;3)$.
\enex

\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$A(1;2)$, $B(-1;3)$, et $C(4;6)$. 

Calculer les coordonnées des vecteurs: 
$\V{AB}$, $\V{BA}$, $\V{AC}$ et $\V{BC}$ 
et les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
\enex

\bgex
Dans un repère, on donne $\vec{u}(2;3)$, $A(-1;4)$ et $B(3;-2)$. 

Calculer les coordonnées des points $C$ et $D$ qui vérifient  
$\V{AC}=\vec{u}$, et $\V{BA}=2\V{BD}$
\enex


\bgex Dans un repère, on considère les points: 
$E(-1;-2)$, $F(3;-4)$ et $G(4;7)$ 
\bgit
\item[a)] Calculer les coordonnées du vecteur $\V{EF}+\V{EG}$. 
\item[b)] En déduire les coordonnées du point $H$ tel que 
  $EFHG$ soit un parralélogramme.
\enit
\enex

\bgex Dans un repère, on considère les points: 
$A(-2;1)$, $B(3;4)$, et $C(-5;2)$ 

Calculer les coordonnées du point $M$ tel que: 
$\V{MA}+\V{MB}+\V{MC}=\V{0}$.
\enex

\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$A(-2;2)$, $B(1;-3)$, $C(9;-1)$ et $D(6;4)$.
\bgit
\item[a)] Calculer les coordonnées des vecteurs: 
  $\V{AB}$, $\V{AD}$, $\V{AC}$ et $\V{DC}$. 
\item[b)] Quel est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? 
\item[c)] Quelles sont les coordonnées 
  des milieux $I$ et $J$ de $[AC]$ et $[BD]$ ?
\enit
\enex

\bgex Soit, dans un repère orthonormé, les points: 
$A(-5;1)$, $B(-1;3)$, $C(5;1)$ et $D(1;-1)$. 
\bgit
\item[a)] Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
\item[b)] Démontrer  de deux façons différentes que $ABCD$ est un parallélogramme. 
\enit
\enex


\bgex
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère le point 
$A(2;3)$. 

Déterminer les coordonnés du point $B$ situé sur l'axe des abscisses
et tel que $AB=5$. 
\enex
  
\section{Vecteurs colinéaires}
  
\vspace{-0.6cm}
\bgprop{Si le plan est rapporté à un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, deux
  vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, c'est-à-dire
  $\vec{u}=k\vec{v}$, si et seulement si leurs coordonnées sont
  proportionnelles.}

\vspd\noindent
\textit{Exemple:} $\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}=(6,-4)$ sont colinéaires car
$6=2\tm 3$ et $-4=2\tm (-2)$ (donc $\vec{v}=2\vec{u}$). 

\bgprop{Les vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colinéaires
    si et seulement si $xy'=x'y$, ou $xy'-x'y=0$.}

\vspd\noindent
\textit{Exemple:} $\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}=(6,-4)$ sont colinéaires car
$3\tm (-4)=-2\tm 6 =12$. 

$\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}=(\sqrt{3},-\sqrt{2})$ ne sont
pas colinéaires car $3\tm (-\sqrt{2})-(-2)\tm \sqrt{3}\neq 0$. 

\bgprop{
\bgit
\item[1)] Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont alignées si et
  seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$ sont colinéaires. 
\item[2)] Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et
  seulenement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ sont
  colinéaires. 
\enit}

\vspd\noindent
\textit{Exemple:} Soit les points $A(1;2)$, $B(-1;-1)$ et $C(5;8)$. 
Représenter ces points dans un repère, et déterminer si ils sont
alignés. 


\bgex Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont colinéaires. 

\vsp\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-1;\frac{3}{2}\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp\frac{1}{2};\frac{1}{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp\frac{4}{5};\frac{3}{3}\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp\sqrt{2};\sqrt{3}\rp$ et 
$\dsp\vec{v}\lp-2;-\sqrt{6}\rp$.
\enex

\bgex Dans chaque cas, 
déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ soient colinéaires. 

\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;6\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp m;3\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp-m;4m-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp1;-3\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp27;2m\rp$ et 
$\dsp\vec{v}\lp2m;3\rp$.
\enex


\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$A(-2;1)$; $B(3;3)$; $C\lp 1;\dfrac{11}{5}\rp$;  
$D\lp\dfrac{45}{2};\dfrac{54}{5}\rp$
\vspace{-.7em}
\bgen[a)]
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\item Les points $A$, $B$ et $D$ sont ils alignés ?
\enen
\enex

\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$M(0;-3)$; $N(2;3)$; $P(-9;0)$ et $Q(-1;-1)$
\bgen
\item Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$ tels que: 
  a)\ $\dsp\V{NA}=\frac{1}{2}\V{MN}$
  \hspace{1em}
  b)\ $\dsp \V{MB}=3\V{MQ}$
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\V{PA}$ et $\V{PB}$. 
\item Démontrer que les points $P$, $A$ et $B$ sont alignés.
\enen
\enex


\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$A(1;-1)$; $B(-1;-2)$ et $C(-2;2)$
\bgen[a)]
\item Déterminer les coordonnées du point $G$ vérifiant: 
  $\V{GA}+2\V{GB}+\V{GC}=\V{0}$. 
\item Déterminer les coordonnées du point $D$ vérifiant: 
  $\V{BD}=\V{BA}+\V{BC}$. 
\item Faire une figure. Que peut-on conjecturer pour les points
  $B$, $G$ et $D$ ? 

  Démontrer cette conjecture.
\enen
\enex

\bgex $ABCD$ est un rectangle. 

\bgit
\item[a)] Faire une figure et placer les points $I$, $J$, $K$ et $L$
  tels que: 
  \[ \V{AI}=\frac{1}{5}\V{AB}\ ;\ 
  \V{BJ}=\frac{1}{3}\V{BC}\ ;\ 
  \V{CK}=\frac{1}{5}\V{CD}\ ;\ 
  \V{DL}=\frac{1}{3}\V{DA}
  \]
\item[b)] Dans le repère $(A;\V{AD},\V{AB})$, 
  exprimer les coordonnées des vecteurs $\V{IJ}$ et $\V{LK}$. 
\item[c)] En déduire la nature du quadrilatère $IJKL$. 
\item[d)] Démontrer que le centre du rectangle est le milieu du
  segment $[IK]$. 
\enit
\enex

\vspace{-1em}

\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
$ABCD$ est un rectangle. 
Soit $I$ le milieu de $[AD]$ et les points $J$ et $K$ tels que  
$\V{DJ}=\dfrac45\V{DC}$ et  $\V{AK}=\dfrac23\V{AB}$. 

Déterminer le point $L$ de $(BC)$ tel que 
$(IJ)/\!/(KL)$. 
\enex
\enmp
\bgmp{4cm}
\[\psset{xunit=3.6cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(1.5,1.5)
    \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
    \rput(-.1,-.1){$A$}
    \rput(1.05,-.1){$B$}
    \rput(1.05,1){$C$}
    \rput(-.05,1){$D$}
    \psline(-.04,.55)(.04,.45)\rput(-.06,.56){$I$}
    \psline(.8,.95)(.8,1.05)\rput(.8,1.15){$J$}
    \psline(.666,-.05)(.666,.05)\rput(.666,-.2){$K$}
    \psplot{-.2}{1.2}{5 8 div x mul .5 add}
\end{pspicture}\]\enmp

\vspace{-.8em}
\bgex
$ABC$ est un triangle et $N$ et $P$ tels que: 
$\V{AN}=-\dfrac{3}{4}\V{AB}-\V{BC}$ 
et $\V{AP}=-\dfrac{1}{2}\V{AB}+2\V{AC}$.
\bgen
\item Faire une figure et placer $N$ et $P$. 
\item On choisit le repère $(A;\V{AB},\V{AC})$. 
  Déterminer les coordonnées des points $N$ et $P$. 
\item Démontrer que $A$, $N$ et $P$ sont alignés. 
\enen
\enex

\end{document}

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