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Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques en 2nde: généralités sur les fonctions
Niveau
Seconde
Mots clé
Exercices de mathématiques, fonction, généralités, 2nde
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: fonctions},
    pdftitle={Généralités sur les fonctions - Exercices},
    pdfkeywords={mathématiques, cours, exercices, 
      fonctions, généralités} 
}
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    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
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}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

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\oddsidemargin=-1.5cm
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

\newcommand{\TITLE}{Généralités sur les fonctions - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\voffset=0cm
\vspace*{-1.5cm}

\hspace{1.7cm}{\bf \LARGE{\TITLE} \hfill \large$2^{\text{nde}}$}


\vspace*{-.5cm}

\paragraph{1 - Relevé de températures: courbes et fonctions}
Voici les relevés des températures de l'eau et de l'air, au bord d'un
lac de montagne, pendant 24 heures. 

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(30,31)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.5,0)(29,0)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-4.5)(0,30)
  \multido{\i=0+1}{29}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4)(\i,28)
  }
  \multido{\i=0+2}{15}{\rput(\i,-1){$\i$}}

  \multido{\i=-4+2}{17}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(28,\i)
    \rput(-0.8,\i){$\i$}
  }
  
  \pscurve[linewidth=1.2pt]
  (0,2)(3,-1)(6,0)(7,2)(8,6)(9,14)(10,20)
  (14.5,26)(22,6)(24,2)

  \pscurve[linewidth=1.2pt]
  (0,4)(6,2)(15.5,7.8)
  (22,4.2)(24,4)

  \rput(18.1,25.2){Air}\rput(18.8,23.2){$y=f(t)$}
  \rput(15.1,6.9){Eau}\rput(15.1,5){$y=g(t)$}
\end{pspicture}


On désigne respectivement par $f$ et par $g$ les fonctions mesurant la
température en degré Celsius de l'air et de l'eau, en fonction du
temps exprimé en heurs et désigné par la variable $t$. 

\vspd
\bgit
\item[1.] Traduire en langage courant les phrases suivantes: 

  \vspd
  \hspace*{-.8cm}
  \begin{tabular}{|c|p{9.2cm}|p{8.5cm}|}\hline
    & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage mathématique} }
    & \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}} \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(17)=24$} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{
      A 17 h, la température de l'air était de $24^\circ$~C.} 
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{L'image de $6$ par $g$ est 2.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 6 h, la température \ \dots}
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{c.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Quels sont les antécédents de $14$ par la fonction $f$ ?}
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A quelle heure\ \dots ? }
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{d.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Le maximum de la fonction $f$ est 26 }
    &
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Si $1<t<6$, alors $f(t)<0$. }
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 1 h et 6 h\ \dots}
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)=g(7)$ }
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{A 7 h, \ \dots}
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{g.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Résoudre $f(t)=g(t)$. }
    & 
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{h.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f$ est strictement décroissante sur $[14;24]$.}
    & 
    \\\hline
  \end{tabular}

  \vspq
\item[2.] Traduire en langage mathématique les phrases suivantes: 

  %\vspd
  \hspace{-.8cm}
  \begin{tabular}{|c|p{10cm}|p{8.5cm}|}\hline
    & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage courant}} 
    & 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{\ct{Langage mathématique}}
    \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{a.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
      A minuit, la température de l'eau était de $4^\circ$ C.}
    & \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{b.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{%
      A quelle heure la température de l'eau est-elle de
      $4^\circ$~C ? } 
    & \\\hline
    \raisebox{0.3cm}[0.6cm]{c.} 
    &\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
      A 8 h, la température de l'eau était inférieure à celle de
      l'air. \enmp}
    & \\\hline
    \raisebox{0.3cm}[0.6cm]{d.} 
    &\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{\bgmp{8.5cm}
      A quelles heures la température de l'air est-elle supérieure
      à celle de l'eau ? \enmp}
    & \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{e.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{La température minimale de l'eau est de
      $2^\circ$ C.}
    & \\\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{f.} 
    &\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{Entre 6 h et 15 h, la température de
      l'eau monte. }
    & \\\hline
  \end{tabular}
\enit

\clearpage
\thispagestyle{empty}
\voffset=0cm
\vspace*{-2cm}
\paragraph{2 - Programme de calcul: définition algébrique d'une fonction}
\ \\

\vspace{-0.4cm}
On considère le programme de calcul suivant: 
\vspd

\begin{tabular}{|l|*3{p{2.5cm}|}}\hline
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\noindent
\bgmp{4cm}Choisir un nombre\\ entier naturel\enmp} & 
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{10}} & 
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{5}} & 
\raisebox{0.5cm}[1.2cm]{\ct{$n$}} \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Multiplier par 2} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Ajouter 1} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Elever au carré} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Soustraire 1} &&&\\
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Multiplier par 3} &&&\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{Résultat} & 
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{\ct{1320}} &&\\\hline
\end{tabular}


\vspq
\bgit
\item[1.] Compléter le tableau et montrer que le résultat, pour un
  nombre réel $x$ quelconque est $12x^2+12x$. 

  \vspt
\item[2.] On a ainsi défini la fonction $f$ par l'expression
  algébrique:  \ul{$f(x)=$\hspace{0.8cm}$\dots$\hspace{1.5cm}}

  \vspd
\item[3.] Quel est le résultat du programme si on introduit le nombre
  15 ?  le nombre $3,5$ ?

  \vspd
\item[4.] Quel nombre peut-on introduire de façon à ce que le résultat
  du programme soit nul ?
\enit


\vspace{-0.4cm}

\paragraph{3 - Une fonction et sa courbe}
\ \\

\vspace{-0.4cm}
A l'aide d'un sonar, un navire sonde le fond marin. 
Pour cela, il se déplace en suivant une ligne droite $d$ à partir d'un
point d'origine et il émet des salves d'ultrasons. 

Il mesure le temps qui s'écoule avant de recevoir l'écho des ultrasons
et en déduit la profondeur $h(x)$ de la mer sous le point situé à la
distance $x$ de son point d'origine. 

Le relevé est donné par le graphique suivant: 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-6.8)(10,1.8)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.5,0)(17,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-6.5)(0,1.5)
  \rput(-0.2,0.2){$0$}

  \multido{\i=-6+1}{6}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,\i)(16.2,\i)
    \rput(-0.8,\i){$\i$00}
  }
  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-0.3,1)(16.2,1)
  \rput(-0.8,1){100}

  \multido{\i=2+2}{8}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-6.2)(\i,1.2)
    \rput(\i,0.2){$\i$0}
  }

  \pscurve[linewidth=1.2pt]
  (0,-0.8)(2,-1.5)(4,-3.2)
  (6,-5)(8,-3.8)(10,-4.2)(12,-5)
  (14,-5.5)(16,-5.1)
\end{pspicture}

\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Donner un titre, utilisant le terme fonction, au graphique, 
  et à ces axes.
  \vsp
\item[2.] Dresser le tableau de variations de la fonction $h$. 
  \vsp
\item[3.] Quelle est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 50 ? 
  d'abscisse 120 ? 
  \vsp
\item[4.] Quelle est l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée -200
  ? 
  d'ordonnée -400 ? 
  d'ordonnée -500 ?

  \vsp
\item[5.] Quels sont les extréma de le fonction $h$ ?
\enit

\clearpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2.cm}
%\voffset=2cm
\paragraph{4 - A propos des fonctions: éléments caractéristiques d'une
  fonction}\ \\

\vspace{-0.5cm}
On dispose au sujet d'une fonction numérique $f$ des renseignements
suivants: 

\bgit
\item[$\bullet$] L'ensemble de définition de $f$ est
  $\mathcal{D}_f=[-2;9]$

  \vspd
\item[$\bullet$] Un tableau de valeurs de $f$ est: 
  \begin{tabular}{|*{12}{c|}}\hline
    $x$ & $-2$ & $-1.5$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 &4 & 5 & 5,5 & 8,5 \\\hline
    $f(x)$ & 0 & 1,5 & 2,7 & 4 & 3 & 0 & $-2$ & $-3$ & $-2$ & $-1,5$ & $-2$ \\\hline
  \end{tabular}

  \vspd
\item[$\bullet$] Le tableau de variations de $f$: 
  \begin{tabular}{|c|*9{c}|}\hline
    $x$ & $-2$ && 0 && 4 && 7 && 9 \\\hline
    &&&4&&&&$-1$&&\\
    $f(x)$&&\Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$} &&
    \Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
    &0&&&&$-3$&&&&$-3$\\\hline
  \end{tabular}

  \vspd
\item[$\bullet$] On sait d'autre part que la représentation graphique
  de $f$, dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, est une courbe que
  l'on peut tracer sans lever le crayon, et dont on fournit l'extrait
  suivant: 

  \vspd
  \psset{unit=0.9cm}
  \begin{pspicture}(-8,-4.5)(10,5)
    \psline[linewidth=1.2pt](-8,0)(10,0)
    \psline[linewidth=1.2pt](0,-4)(0,5)
    \rput(-0.3,-0.3){$O$}
    \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{i}$}
    \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$}
    \multido{\i=-8+1}{19}{
      \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-4)(\i,5)
    }
    
    \multido{\i=-4+1}{10}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-8,\i)(10,\i)
    }
    
    \pscurve[linewidth=1.2pt]
    (-2,0)(-1.5,1.5)(-1,2.7)(-0.85,3)(-0.5,3.6)(0,4)
    (1,3)(1.5,1.6)(2,0)(3,-2)(4,-3)(5,-2)
  \end{pspicture}
\enit


\vspace{-0.2cm}
\bgit
\item[1.] Compléter le tableau suivant: 

  \vspd
  \hspace{-0.8cm}
  \begin{tabular}{|c|*3{p{5.2cm}|}}\hline
  & valeur trouvée & exacte ou approchée & renseignement(s) utilisé(s)
  \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-1)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-0,5)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(7)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(6)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(8)$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(-2,5)$} &&& \\\hline
\end{tabular}

  \vspd
\item[2.] Résoudre les équations proposées, en remplissant le tableau
  comme précédemment: 

  \vsp
  \hspace*{-0.9cm}
  \begin{tabular}{|c|*3{p{5.cm}|}}\hline
  & valeur(s) trouvée(s) & exacte(s) ou approchée(s) & renseignement(s) utilisé(s)
  \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=3$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-0,5$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-1$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=-2,5$} &&& \\\hline
  \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$f(x)=5$} &&& \\\hline
\end{tabular}

\enit



\clearpage
\voffset=-1cm
\setcounter{page}{1}

\hspace{1.7cm}{\bf \LARGE{\TITLE} \hfill \large$2^{\text{nde}}$}

\section*{$\bullet$ Généralités et vocabulaire des fonctions}
  \vspace{-0.4cm}

\bgex
  On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions suivantes: 

  \bgit
  \item[$\bullet$] son ensemble de définition est $D=[-5;4]$;  
  \item[$\bullet$] les nombres $-4$ et $4$ ont la même image $3$; 
  \item[$\bullet$] les solutions de l'équation $f(x)=-2$ sont $1$ et
    $2$; 
  \item[$\bullet$] le nombre $-5$ est un antécédent de $0$ par $f$; 
  \item[$\bullet$] $f(-2)=-1$, $f(0)=-3$ et $f(3)=0,5$. 
  \enit

  \vspd
  Tracer une courbe pouvant représenter la fonction $f$. 
\enex

  \vspace{-0.2cm}

\section*{$\bullet$ Courbe représentative d'une fonction}
  \vspace{-0.4cm}


  \bgex
    Soit la fonction $f$ définie par l'expression
    $f(x)=-3x+2$. 
    
    \bgen
    \item
    Dire si les points suivants appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

    $A(1;-1)$
    \qquad
    $B(-3;11)$
    \qquad
    $C(2;4)$
    \qquad
    $D(-5;17)$
    \qquad
    $E(-2;-8)$
    \qquad
    $F\lp\dfrac12;\dfrac12\rp$
    \item 
      Donner deux autres points appartenant à $\mathcal{C}_f$. 
    \item Placer tous ces points dans un repère du plan, 
      et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$. 
    \enen
  \enex

  \vsp
  \bgex
    Soit la fonction $f$ définie par l'expression
    $f(x)=3x^2-2x+1$. 
    
    \bgen
    \item
    Dire si les points suivants appartiennent à $\mathcal{C}_f$: 

    $A(1;2)$
    \qquad
    $B(-3;34)$
    \qquad
    $C(2;4)$
    \qquad
    $D(5;66)$
    \qquad
    $E(-2;16)$
    \qquad
    $F\lp\dfrac12;\dfrac34\rp$
    \item 
      Donner deux autres points appartenant à $\mathcal{C}_f$. 
    \enen
  \enex

  \bgex
  Soit la fonction $f$ définie par l'expression 
  $f(x)=2x^2-x$. 

  \bgen
  \item Compléter le tableau de valeurs: 
    
    \begin{tabular}{|*{8}{p{1.4cm}|}}\hline
      $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\\hline
      \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)$} &&&&&
      \\\hline
    \end{tabular}

  \item Placer tous ces points dans un repère du plan, 
    et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$. 

  \item Donner, à partir de ce graphique, 
    le tableau de variation de la fonction $f$. 

    Quel est le minimum de la fonction $f$ ?

  \item Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ à l'aide de la calculatrice,
    et chercher alors une valeur plus précise pour ce minimum. 
  \enen
  \enex

  \vspace{-0.4cm}

  \section*{$\bullet$ Sens de variation des fonctions}
  \vspace{-0.4cm}

  \bgex
  Soit la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=-3x+2$. 

  Déterminer le sens de variation de $f$, puis donner son tableau de
  variation. 
  \enex

  \bgex
  Soit la fonction $g$ définie par l'expression $g(x)=3x^2-2$. 
  
  Déterminer le sens de variation de $g$ sur les intervalles 
  $]-\infty;0]$ et $[0;+\infty[$. 

  Donner alors le tableau de variation de la fonction $g$. 
  \enex


  \bgex
    Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-10;10]$ par
    l'expression $g(x)=(x-2)^2+3$. 

    \bgen
    \item Etudier le sens de variation de $g$ sur les intervalles 
      $[-10;2]$ et $[2;10]$. 

      Donner le tableau de variation de $g$. 

    \item Déterminer le minimum de $g$. 
    \enen
  \enex

  \bgex
    Soit la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[4;13]$ par
    l'expression $\dsp \frac{1}{x-3}$. 

    Déterminer le sens de variation de $h$, puis donner le maximum et
    le minimum de $h$. 
  \enex

  

  \bgex
    Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression 
    $f(x)=3(x-2)^2+3$. 

    \bgen
    \item Etudier les sens de variation de $f$ sur les intervalles 
      $]-\infty;2]$ et sur $[2;+\infty[$, puis dresser son tableau de
          variation. 

    \item Donner alors les maxima ou minima éventuels de $f$.
    \enen
  \enex


  \section*{$\bullet$ Ensemble de définition d'une fonction - Tableaux de signes}



  \bgex
    Déterminer l'ensemble de définition des fonctions: 
  
    \vspd

    $\dsp f:x\mapsto\frac{1}{x+3}$ \qquad;\quad
    $\dsp g:x\mapsto\frac{1}{x^2-9}$ \qquad;\quad
    $\dsp h:x\mapsto\frac{1}{x^2-x}$ \qquad;\quad
    $\dsp j:x\mapsto\frac{1}{(x-3)(x+7)}$ 
    %\qquad;\quad

    \vspd
    $\dsp k:x\mapsto\sqrt{x-2}$ \qquad;\quad    
    $\dsp l:x\mapsto\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}$ \qquad;\quad
    $\dsp m:x\mapsto\sqrt{(x-1)(x-5)}$

  \enex



  \bgex
    Déterminer le signe des expressions suivantes: 
    \vspd

    \begin{tabular}{ll}
      $A(x)=(x-5)(x-12)$
      &
      $B(x)=(x-3)(2x+5)$
      \\[0.3cm]
      $C(x)=(x+6)(2x-8)(3x-9)$
      \hspace{1cm}
      &
      $D(x)=(x-3)(-2x+6)$
      \\[0.4cm]
      $E(x)=\dfrac{x+6}{2x-16}$
      \hspace{1cm}
      &
      $F(x)=\dfrac{2x-3}{-2x+6}$
      \\[0.4cm]
      $G(x)=(2x+3)(x-5)-(3x+5)(x-5)$
      \hspace{1cm}
      &
      $H(x)=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{2}{x-3}$
    \end{tabular}
  \enex

  \bgex
    Résoudre les inéquations suivantes: 
    \vspd

    \begin{tabular}{lll}
      $(I_1):\ -3x+2<2x+3$ 
      \hspace{1cm}
      &
      $(I_2):\ (3x-1)(x+2)\leqslant x(x+2)$ 
      \hspace{1cm}
      &
      $(I_3):\ 2x^2>3x$
      \\[0.2cm]
      $(I_4):\ \dfrac{1}{4x-3}\leqslant \dfrac{2}{3x-4}$
      &
      $(I_5):\ \dfrac{2}{x+3}\geqslant 4$
    \end{tabular}
  \enex


  \bgex
  Déterminer l'ensemble de définition des fonctions définies par les
  expressions: 
  
  \vspd
  $f(x)=\sqrt{(x-3)(-x+2)}$ \qquad;\quad
  $g(x)=\sqrt{(x-3)(-x+2)+(x-3)(-4x+3)}$ \qquad;\quad
  $h(x)=\dfrac{1}{(x+3)(2x-1)}$
  \enex
  
  \section*{$\bullet$ Quelques fonctions mises en situation}

  \bgex
    Dans une entreprise, pour $x$ objets produits et vendus, le
    bénéfice est de: 
    \[B(x)=-2x^2-500x+70\,000\,.\]
    \bgen
      \item Montrer que pour tout $x$ réel, 
        $B(x)=(2x+700)(-x+100)$. 
      \item Pour quels nombres d'objets $x$, l'entreprise est-elle
        rentable ? 
    \enen
  \enex


  \bgex
    Dans une entreprise, la recette, en euros, obtenu pour la vente
    journalière de $x$ objets est donnée par la fonction $f$ définie
    sur $[0;50]$ par l'expression: 
    \[
    f(x)=-x^2+52x-480\,.
    \]
    \bgen[a)]
    \item Montrer que, pour tout $x\in[0;50]$,\quad
      $f(x)=-(x-26)^2+196$. 
    \item Etudier le sens de variation de $f$ sur $[0;26]$ puis sur
      $[26;50]$. 
    \item En déduire le bénéfice maximum que l'entreprise peut
      réaliser et la quantité d'objets à vendre pour l'atteindre. 
    \enen
  \enex


  \bgex
    Un projectile est lancé en l'air à un instant initial de date
    $t=0$. 

    On établit que son altitude (en mètres) après $t$ secondes est 
    $h(t)=-5t^2+4t+1$. 
    
    \bgen
    \item 
      \bgen[a)]  
      \item A quelle altitude le projectile a-t-il été lancé ? 
      \item Quelle est l'altitude du projectile après une demie seconde ? 
      \enen
    \item 
      \bgen[a)] 
      \item Montrer que pour tout nombre réel $t$, 
        $h(t)=-(t-1)(5t+1)$
      \item En déduire à quel instant le projectile touchera le sol. 
      \enen
    \item 
      \bgen[a)] 
      \item Montrer que pour tout nombre réel $t$, 
        $h(t)=-5\lp t-\dfrac{2}{5}\rp^2+\dfrac{9}{5}$. 
      \item A l'aide de l'expression précédente, étudier les
        variation de $h$ sur  
        $\Bigl]-\infty;\dfrac{4}{5}\Bigr]$ et sur 
        $\Bigr[\dfrac{4}{5};+\infty\Bigl[$.

        Dresser le tableau de variation de la fonction $h$. 
      \item Déduire de ce qui précède la hauteur maximale atteinte par
        le projectile. 
      \enen
    \enen
  \enex




\bgex{\bf Choisir une forme adaptée} 

  $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-2;5]$ par: 
  $f(x)=(3x-5)^2-4x^2$. 

  \bgen
  \item 
    \bgen[a)] 
    \item Factoriser l'expression de $f(x)$. 
    \item Développer l'expression de $f(x)$. 
    \enen
  \item Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions
    suivantes: 
    \bgen[a)] 
    \item Quelle est l'ordonnée du point $C$ de la courbe
      représentative de $f$ qui a pour abscisse~$\sqrt{2}$ ? 
    \item Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de
      cette courbe avec les axes du repère ? 
    \item résoudre l'équation $f(x)=25$. 
    \enen
  \enen
\enex


\section*{$\bullet$ Fonctions affines}

\bgex
Tracer dans un même repère les courbes représentatives des
fonctions 
$f(x)=3x-2$ et $g(x)=-2x+3$. 
\enex

\bgex
Tracer dans un même repère les courbes représentatives des fonctions 
$f(x)=2x-3$ et $g(x)=x+1$. 

Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point
d'intersection des deux courbes. 
\enex


\bgex
On considère les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations 
respectives $y=-2x-2$ et $y=x+2$. 

Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point
d'intersection des deux droites. 
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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