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Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques en 2nde: vecteurs, repères et coordonnées
Niveau
Seconde
Mots clé
Exercices de mathématiques, vecteur, repère, repérage, coordonnées, géométrie analytique, 2nde
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices mathématiques: Vecteurs, repère et coordonnées},
    pdftitle={Géométrie vectorielle - Exercices},
    pdfkeywords={Mathématiques, 2nde, seconde, vecteurs, 
      repère, géométrie, coordonnées, exercices}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
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\newcounter{nex}%[section]
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Repérage dans le plan - Vecteurs}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\text{nde}}$

\bgex $ABC$ est un triangle. 
\bgen[a)]
\item Construire le point $D$ tel que $\V{AD}=\V{AB}-\V{AC}$. 
  Que peut-on dire du quadrilatère $ADBC$ ?
  \vsp
\item Construire le point $M$ tel que $\V{BM}=\V{BC}-\V{CA}$.
\enen
\enex

\vspace{-2.4em}

\noindent\bgmp{12.8cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un rectangle de centre $I$ et $M$ un point quelconque. 

Construire le point $N$ tel que $\V{MN}=\V{AB}+\V{CI}+\V{BC}$. 

Quelle est la nature du quadrilatère $AINM$ ?
\enex

\bgex On considère un objet soumis à trois force $\V{F_1}$, $\V{F_2}$
et $\V{F_3}$. 

L'objet est-il en équilibre ou va-t'il se déplacer ? 
Dans quelle direction ?
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{unit=.9cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.)(3.,2.8)
  \multido{\i=-3+1}{7}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-3)(\i,3)
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-3,\i)(3,\i)}
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-.2,-.2)(-.2,.2)(.2,.2)(.2,-.2)
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,-3)\rput(-.4,2.4){$\V{F_1}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,3)\rput(-.4,-2.6){$\V{F_2}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(2,1)\rput(1.6,.3){$\V{F_3}$}
\end{pspicture}
\]\enmp

\vspace{-1.8em}

\bgex Soit $A$, $B$ et $C$ trois points. 

Placer les points $D$ et $E$ tels que: 
$\V{AD}=\dfrac{3}{2}\V{AB}+\dfrac{1}{2}\V{AC}$, et 
$\V{BE}=0,5\V{AD}-0,8\V{BC}$. 
\enex

\vspace{-.8em}

\bgex $ABC$ est un triangle. 
Placer les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que: \\[.5em]
a) $\V{AE}=\V{AB}+2\V{AC}$ \qquad b) $\V{AF}=-2\V{AB}+\V{AC}$ \qquad 
c) $\V{AG}=2\V{AB}+3\V{AC}$ \qquad d) $\V{AH}=-3\V{AB}+\V{BC}$
\enex


\bgex
$[AB]$ est un segment de longueur $8$cm. 
On cherche le point $M$~tel~que: 
{$\V{MA}+3\V{MB}=\V{0}$}.
\bgen[a)]
\item Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que 
  l'égalité ci-dessus s'écrit: 
  $4\V{MA}+3\V{AB}=\V{0}$.
\item En déduire l'expression de $\V{AM}$ en fonction de
  $\V{AB}$ et construire le point $M$.
\enen
\enex


\bgex $ABC$ est un triangle. 
$D$ et $E$ sont les points tels que: 
$\V{EB}=\V{BA}$ et $\V{ED}=2\V{BC}$.\\[.5em]
Faire une figure, puis démontrer que $C$ est le milieu du segment $[AD]$. 
\enex

\bgex\!\!$ABCD$ est un quadrilatère tel que $\V{AB}\!=\!2\V{CD}$. 
Soit $E$ le symétrique de $A$ par rapport~à~$C$. \\[.5em]
Démontrer que $E$ est le symétrique de $B$ par rapport~à~$D$. 
\enex

\bgex
Dans un repère orthonormal, représenter les vecteurs 
$\vec{u}(1;-2)$ et $\vec{v}(3;4)$: 

a) avec pour origine le point $O$ \qquad\qquad
b) avec pour origine le point $A(2;3)$.
\enex


\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$A(1;2)$, $B(-1;3)$, et $C(4;6)$. 

Calculer les coordonnées des vecteurs: 
$\V{AB}$, $\V{BA}$, $\V{AC}$ et $\V{BC}$ 
et les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
\enex


\bgex
Dans un repère, on donne $\vec{u}(2;3)$, $A(-1;4)$ et $B(3;-2)$. 

Calculer les coordonnées des points $C$ et $D$ qui vérifient  
$\V{AC}=\vec{u}$, et $\V{BA}=2\V{BD}$
\enex

\bgex Dans un repère, on considère les points: 
$E(-1;-2)\ ;\ F(3;-4)\ ;\ G(4;7)$.
\bgit
\item[a)] Calculer les coordonnées du vecteur $\V{EF}+\V{EG}$. 
\item[b)] En déduire les coordonnées du point $H$ tel que 
  $EFHG$ soit un parralélogramme.
\enit
\enex

\bgex Dans un repère, on considère les points: 
$A(-2;1)\ ;\ B(3;4)\ ;\ C(-5;2)$. 

Calculer les coordonnées du point $M$ tel que: 
$\V{MA}+\V{MB}+\V{MC}=\V{0}$.
\enex

\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$A(-2;2)$, $B(1;-3)$, $C(9;-1)$ et $D(6;4)$.
\bgit
\item[a)] Calculer les coordonnées des vecteurs: 
  $\V{AB}$, $\V{AD}$, $\V{AC}$ et $\V{DC}$. 
\item[b)] Quel est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? 
\item[c)] Quelles sont les coordonnées 
  des milieux $I$ et $J$ de $[AC]$ et $[BD]$ ?
\enit
\enex

\bgex Soit, dans un repère orthonormé, les points: 
$A(-5;1)$, $B(-1;3)$, $C(5;1)$ et $D(1;-1)$. 
\bgit
\item[a)] Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
\item[b)] Démontrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un parallélogramme. 
\enit
\enex
  

\bgex
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère le point 
$A(2;3)$. 

Déterminer les coordonnés du point $B$ situé sur l'axe des abscisses
et tel que $AB=5$. 
\enex

\bgex Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont
colinéaires. 

\vsp\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-1;\frac{3}{2}\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp\frac{1}{2};\frac{1}{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp\frac{4}{5};\frac{3}{3}\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp\sqrt{2};\sqrt{3}\rp$ et 
$\dsp\vec{v}\lp-2;-\sqrt{6}\rp$.
\enex

\bgex Dans chaque cas, 
déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ soient colinéaires. 

\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;6\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp m;3\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp-m;4m-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp1;-3\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp27;2m\rp$ et 
$\dsp\vec{v}\lp2m;3\rp$.
\enex

\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$A(-2;1)$; $B(3;3)$; $C\lp 1;\dfrac{11}{5}\rp$;  
$D\lp\dfrac{45}{2};\dfrac{54}{5}\rp$
\vspace{-.7em}
\bgen[a)]
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\item Les points $A$, $B$ et $D$ sont ils alignés ?
\enen
\enex


\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$M(0;-3)$; $N(2;3)$; $P(-9;0)$ et $Q(-1;-1)$
\bgen
\item Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$ tels que: 
  a)\ $\dsp\V{NA}=\frac{1}{2}\V{MN}$
  \hspace{1em}
  b)\ $\dsp \V{MB}=3\V{MQ}$
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\V{PA}$ et $\V{PB}$. 
\item Démontrer que les points $P$, $A$ et $B$ sont alignés.
\enen
\enex


\bgex Dans un repère, on donne les points: 
$A(1;-1)$; $B(-1;-2)$ et $C(-2;2)$
\bgen[a)]
\item Déterminer les coordonnées du point $G$ vérifiant: 
  $\V{GA}+2\V{GB}+\V{GC}=\V{0}$. 
\item Déterminer les coordonnées du point $D$ vérifiant: 
  $\V{BD}=\V{BA}+\V{BC}$. 
\item Faire une figure. Que peut-on conjecturer pour les points
  $B$, $G$ et $D$ ? 

  Démontrer cette conjecture.
\enen
\enex

\bgex $ABCD$ est un rectangle. 

\bgit
\item[a)] Faire une figure et placer les points $I$, $J$, $K$ et $L$
  tels que: 
  \[ \V{AI}=\frac{1}{5}\V{AB}\ ;\ 
  \V{BJ}=\frac{1}{3}\V{BC}\ ;\ 
  \V{CK}=\frac{1}{5}\V{CD}\ ;\ 
  \V{DL}=\frac{1}{3}\V{DA}
  \]
\item[b)] Dans le repère $(A;\V{AD},\V{AB})$, 
  exprimer les coordonnées des vecteurs $\V{IJ}$ et $\V{LK}$. 
\item[c)] En déduire la nature du quadrilatère $IJKL$. 
\item[d)] Démontrer que le centre du rectangle est le milieu du
  segment $[IK]$. 
\enit
\enex

\vspace{-1.5em}

\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
$ABCD$ est un rectangle. 
Soit $I$ le milieu de $[AD]$ et les points $J$ et $K$ tels que  
$\V{DJ}=\dfrac45\V{DC}$ et  $\V{AK}=\dfrac23\V{AB}$. 

Déterminer le point $L$ de $(BC)$ tel que 
$(IJ)/\!/(KL)$. 
\enex
\enmp
\bgmp{4cm}
\[\psset{xunit=3.6cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-.6,-.5)(1.5,1.3)
    \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
    \rput(-.1,-.1){$A$}
    \rput(1.05,-.1){$B$}
    \rput(1.05,1){$C$}
    \rput(-.05,1){$D$}
    \psline(-.04,.55)(.04,.45)\rput(-.06,.56){$I$}
    \psline(.8,.95)(.8,1.05)\rput(.8,1.15){$J$}
    \psline(.666,-.05)(.666,.05)\rput(.666,-.2){$K$}
    \psplot{-.2}{1.2}{5 8 div x mul .5 add}
\end{pspicture}\]\enmp

\vspace{-.8em}
\bgex
$ABC$ est un triangle et $N$ et $P$ tels que: 
$\V{AN}=-\dfrac{3}{4}\V{AB}-\V{BC}$ 
et $\V{AP}=-\dfrac{1}{2}\V{AB}+2\V{AC}$.
\bgen
\item Faire une figure et placer $N$ et $P$. 
\item On choisit le repère $(A;\V{AB},\V{AC})$. 
  Déterminer les coordonnées des points $N$ et $P$. 
\item Démontrer que $A$, $N$ et $P$ sont alignés. 
\enen
\enex



\end{document}

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