Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices mathématiques: Vecteurs, repère et coordonnées},
pdftitle={Géométrie vectorielle - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, 2nde, seconde, vecteurs,
repère, géométrie, coordonnées, exercices}
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% Raccourcis diverses:
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Repérage dans le plan - Vecteurs}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths.fr - 2nde}}
\rfoot{\TITLE\ - $2^{\text{nde}}$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $2^{\text{nde}}$
\bgex $ABC$ est un triangle.
\bgen[a)]
\item Construire le point $D$ tel que $\V{AD}=\V{AB}-\V{AC}$.
Que peut-on dire du quadrilatère $ADBC$ ?
\vsp
\item Construire le point $M$ tel que $\V{BM}=\V{BC}-\V{CA}$.
\enen
\enex
\vspace{-2.4em}
\noindent\bgmp{12.8cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un rectangle de centre $I$ et $M$ un point quelconque.
Construire le point $N$ tel que $\V{MN}=\V{AB}+\V{CI}+\V{BC}$.
Quelle est la nature du quadrilatère $AINM$ ?
\enex
\bgex On considère un objet soumis à trois force $\V{F_1}$, $\V{F_2}$
et $\V{F_3}$.
L'objet est-il en équilibre ou va-t'il se déplacer ?
Dans quelle direction ?
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{unit=.9cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.)(3.,2.8)
\multido{\i=-3+1}{7}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](\i,-3)(\i,3)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.3pt](-3,\i)(3,\i)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-.2,-.2)(-.2,.2)(.2,.2)(.2,-.2)
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,-3)\rput(-.4,2.4){$\V{F_1}$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(-1,3)\rput(-.4,-2.6){$\V{F_2}$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(2,1)\rput(1.6,.3){$\V{F_3}$}
\end{pspicture}
\]\enmp
\vspace{-1.8em}
\bgex Soit $A$, $B$ et $C$ trois points.
Placer les points $D$ et $E$ tels que:
$\V{AD}=\dfrac{3}{2}\V{AB}+\dfrac{1}{2}\V{AC}$, et
$\V{BE}=0,5\V{AD}-0,8\V{BC}$.
\enex
\vspace{-.8em}
\bgex $ABC$ est un triangle.
Placer les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que: \\[.5em]
a) $\V{AE}=\V{AB}+2\V{AC}$ \qquad b) $\V{AF}=-2\V{AB}+\V{AC}$ \qquad
c) $\V{AG}=2\V{AB}+3\V{AC}$ \qquad d) $\V{AH}=-3\V{AB}+\V{BC}$
\enex
\bgex
$[AB]$ est un segment de longueur $8$cm.
On cherche le point $M$~tel~que:
{$\V{MA}+3\V{MB}=\V{0}$}.
\bgen[a)]
\item Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que
l'égalité ci-dessus s'écrit:
$4\V{MA}+3\V{AB}=\V{0}$.
\item En déduire l'expression de $\V{AM}$ en fonction de
$\V{AB}$ et construire le point $M$.
\enen
\enex
\bgex $ABC$ est un triangle.
$D$ et $E$ sont les points tels que:
$\V{EB}=\V{BA}$ et $\V{ED}=2\V{BC}$.\\[.5em]
Faire une figure, puis démontrer que $C$ est le milieu du segment $[AD]$.
\enex
\bgex\!\!$ABCD$ est un quadrilatère tel que $\V{AB}\!=\!2\V{CD}$.
Soit $E$ le symétrique de $A$ par rapport~à~$C$. \\[.5em]
Démontrer que $E$ est le symétrique de $B$ par rapport~à~$D$.
\enex
\bgex
Dans un repère orthonormal, représenter les vecteurs
$\vec{u}(1;-2)$ et $\vec{v}(3;4)$:
a) avec pour origine le point $O$ \qquad\qquad
b) avec pour origine le point $A(2;3)$.
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$A(1;2)$, $B(-1;3)$, et $C(4;6)$.
Calculer les coordonnées des vecteurs:
$\V{AB}$, $\V{BA}$, $\V{AC}$ et $\V{BC}$
et les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
\enex
\bgex
Dans un repère, on donne $\vec{u}(2;3)$, $A(-1;4)$ et $B(3;-2)$.
Calculer les coordonnées des points $C$ et $D$ qui vérifient
$\V{AC}=\vec{u}$, et $\V{BA}=2\V{BD}$
\enex
\bgex Dans un repère, on considère les points:
$E(-1;-2)\ ;\ F(3;-4)\ ;\ G(4;7)$.
\bgit
\item[a)] Calculer les coordonnées du vecteur $\V{EF}+\V{EG}$.
\item[b)] En déduire les coordonnées du point $H$ tel que
$EFHG$ soit un parralélogramme.
\enit
\enex
\bgex Dans un repère, on considère les points:
$A(-2;1)\ ;\ B(3;4)\ ;\ C(-5;2)$.
Calculer les coordonnées du point $M$ tel que:
$\V{MA}+\V{MB}+\V{MC}=\V{0}$.
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$A(-2;2)$, $B(1;-3)$, $C(9;-1)$ et $D(6;4)$.
\bgit
\item[a)] Calculer les coordonnées des vecteurs:
$\V{AB}$, $\V{AD}$, $\V{AC}$ et $\V{DC}$.
\item[b)] Quel est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
\item[c)] Quelles sont les coordonnées
des milieux $I$ et $J$ de $[AC]$ et $[BD]$ ?
\enit
\enex
\bgex Soit, dans un repère orthonormé, les points:
$A(-5;1)$, $B(-1;3)$, $C(5;1)$ et $D(1;-1)$.
\bgit
\item[a)] Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
\item[b)] Démontrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un parallélogramme.
\enit
\enex
\bgex
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère le point
$A(2;3)$.
Déterminer les coordonnés du point $B$ situé sur l'axe des abscisses
et tel que $AB=5$.
\enex
\bgex Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont
colinéaires.
\vsp\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-1;\frac{3}{2}\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp\frac{1}{2};\frac{1}{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp\frac{4}{5};\frac{3}{3}\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp\sqrt{2};\sqrt{3}\rp$ et
$\dsp\vec{v}\lp-2;-\sqrt{6}\rp$.
\enex
\bgex Dans chaque cas,
déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ soient colinéaires.
\noindent
a) $\dsp\vec{u}\lp2;6\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp m;3\rp$.
\hspace{1cm}
b) $\dsp\vec{u}\lp-m;4m-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp1;-3\rp$.
\hspace{1cm}
c) $\dsp\vec{u}\lp27;2m\rp$ et
$\dsp\vec{v}\lp2m;3\rp$.
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$A(-2;1)$; $B(3;3)$; $C\lp 1;\dfrac{11}{5}\rp$;
$D\lp\dfrac{45}{2};\dfrac{54}{5}\rp$
\vspace{-.7em}
\bgen[a)]
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\item Les points $A$, $B$ et $D$ sont ils alignés ?
\enen
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$M(0;-3)$; $N(2;3)$; $P(-9;0)$ et $Q(-1;-1)$
\bgen
\item Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$ tels que:
a)\ $\dsp\V{NA}=\frac{1}{2}\V{MN}$
\hspace{1em}
b)\ $\dsp \V{MB}=3\V{MQ}$
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\V{PA}$ et $\V{PB}$.
\item Démontrer que les points $P$, $A$ et $B$ sont alignés.
\enen
\enex
\bgex Dans un repère, on donne les points:
$A(1;-1)$; $B(-1;-2)$ et $C(-2;2)$
\bgen[a)]
\item Déterminer les coordonnées du point $G$ vérifiant:
$\V{GA}+2\V{GB}+\V{GC}=\V{0}$.
\item Déterminer les coordonnées du point $D$ vérifiant:
$\V{BD}=\V{BA}+\V{BC}$.
\item Faire une figure. Que peut-on conjecturer pour les points
$B$, $G$ et $D$ ?
Démontrer cette conjecture.
\enen
\enex
\bgex $ABCD$ est un rectangle.
\bgit
\item[a)] Faire une figure et placer les points $I$, $J$, $K$ et $L$
tels que:
\[ \V{AI}=\frac{1}{5}\V{AB}\ ;\
\V{BJ}=\frac{1}{3}\V{BC}\ ;\
\V{CK}=\frac{1}{5}\V{CD}\ ;\
\V{DL}=\frac{1}{3}\V{DA}
\]
\item[b)] Dans le repère $(A;\V{AD},\V{AB})$,
exprimer les coordonnées des vecteurs $\V{IJ}$ et $\V{LK}$.
\item[c)] En déduire la nature du quadrilatère $IJKL$.
\item[d)] Démontrer que le centre du rectangle est le milieu du
segment $[IK]$.
\enit
\enex
\vspace{-1.5em}
\noindent\bgmp{12cm}
\bgex
$ABCD$ est un rectangle.
Soit $I$ le milieu de $[AD]$ et les points $J$ et $K$ tels que
$\V{DJ}=\dfrac45\V{DC}$ et $\V{AK}=\dfrac23\V{AB}$.
Déterminer le point $L$ de $(BC)$ tel que
$(IJ)/\!/(KL)$.
\enex
\enmp
\bgmp{4cm}
\[\psset{xunit=3.6cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-.6,-.5)(1.5,1.3)
\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\rput(-.1,-.1){$A$}
\rput(1.05,-.1){$B$}
\rput(1.05,1){$C$}
\rput(-.05,1){$D$}
\psline(-.04,.55)(.04,.45)\rput(-.06,.56){$I$}
\psline(.8,.95)(.8,1.05)\rput(.8,1.15){$J$}
\psline(.666,-.05)(.666,.05)\rput(.666,-.2){$K$}
\psplot{-.2}{1.2}{5 8 div x mul .5 add}
\end{pspicture}\]\enmp
\vspace{-.8em}
\bgex
$ABC$ est un triangle et $N$ et $P$ tels que:
$\V{AN}=-\dfrac{3}{4}\V{AB}-\V{BC}$
et $\V{AP}=-\dfrac{1}{2}\V{AB}+2\V{AC}$.
\bgen
\item Faire une figure et placer $N$ et $P$.
\item On choisit le repère $(A;\V{AB},\V{AC})$.
Déterminer les coordonnées des points $N$ et $P$.
\item Démontrer que $A$, $N$ et $P$ sont alignés.
\enen
\enex
\end{document}
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