Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: Calcul algébrique, fractions, développement et factorisation, puissances, vecteurs},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={calcul algébrique, fraction, développement, factorisation, puissances, vecteurs, mathématiques, seconde, 2nde}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = red,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-1.5cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Q{{\rm \psline[linewidth=.06em](.1,0.01)(.1,.28) Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip\noindent{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
% Dimensions des pages
\textwidth=18.5cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.2cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\footskip=.8cm
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de mathématiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{http://xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}
\bgex
\[x=\lp a^2b^5\rp^6\tm\dfrac{1}{ab}
=\lp a^2\rp^6 \lp b^5\rp^6\tm\dfrac{1}{ab}
=a^{2\tm6}b^{5\tm6}\tm\dfrac{1}{a^1b^1}
=a^{12}b^{30}\tm\dfrac{1}{a^1b^1}
=a^{12-1}b^{30-1}=a^{11}b^{29}
\]
\[y=\dfrac{a^7b^2\lp a^{-2}b^2\rp^3}{\lp a^{-2}b^2\rp^2}
=\dfrac{a^7b^2\lp a^{-2}\rp^3\lp b^2\rp^3}{\lp a^{-2}\rp^2\lp b^2\rp^2}
=\dfrac{a^7b^2 a^{-2\tm3} b^{2\tm3}}{a^{-2\tm2} b^{2\tm2}}
=\dfrac{a^7b^2 a^{-6} b^{6}}{a^{-4} b^{4}}
=a^{7+(-6)-(-4)} b^{2+6-4}
=a^5b^4
\]
\enex
\bgex
\[A(x)=(x+4)^2-(-x-3)(x+4)
=(x+4)\Bigl((x+4)-(-x-3)\Bigr)
=(x+4)(2x+7)
\]
\[B(x)=\lp\dfrac23x-1\rp(x+6)-(x+6)\lp\dfrac13x+2\rp
=(x+6)\lp\lp\dfrac23x-1\rp-\lp\dfrac13x+2\rp\rp
=(x+6)\lp\dfrac13x-3\rp
\]
\enex
\bgex
\[C(x)=\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{4}{x+2}
=\dfrac{3(x+2)-4(x+1)}{(x+1)(x+2)}
=\dfrac{-x+2}{(x+1)(x+2)}
\]
\[D(x)=\dfrac{1}{-x+2}+\dfrac{2}{x+3}-\dfrac34
=\dfrac{1\tm(x+3)\tm4+2\tm(-x+2)\tm4-3(-x+2)(x+3)}{4(-x+2)(x+3)}
=\dfrac{3x^2-x+10}{4(-x+2)(x+3)}
\]
\enex
\bgex Dans le repère orthonormé $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$:
$A(1;3)$; $B(2;-4)$; $C(3;5)$ et $D(-3;-2)$.
\bgen[a)]
\item
\item
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-5)(7,5)
\psline{->}(-5,0)(7,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)\rput(-.3,-.3){$O$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(.5,-.35){$\V{i}$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-.3,.5){$\V{j}$}
\rput(1,3){$\tm$}\rput(.8,3.2){$A$}
\rput(2,-4){$\tm$}\rput(1.8,-4.2){$B$}
\rput(3,5){$\tm$}\rput(2.8,5.2){$C$}
\rput(-3,-2){$\tm$}\rput(-3.2,-2.2){$D$}
%
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(1,3)(2,-4)
\rput(1.8,1){\blue{$\V{AB}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(1,3)(3,5)
\rput(2.2,3.8){\blue{$\V{AC}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(2,-4)(4,-2)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](3,5)(4,-2)
\rput(2.8,-2.6){\blue{$\V{AC}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(4,-2)(6,0)
\rput(4.8,-.7){\blue{$\V{AC}$}}
\rput(6,0){\red$\tm$}
\rput(6,.3){\red$E$}
\end{pspicture}\]
\item De manière générale: $\V{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$,
donc ici: \\
$\V{AB}(2-1;-4-3)$ soit $\V{AB}(1;-7)$ \\
$\V{BC}(3-2;5-(-4))$ soit $\V{BC}(1;9)$ \\
$\V{DA}(1-(-3);3-(-2))$ soit $\V{DA}(4;5)$.
\item De manière générale,
si $\vec{u}(x;y)$, alors $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$,
donc ici, gr\^ace à la question précédente: \\
$AB=\sqrt{1^2+(-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$,
$BC=\sqrt{1^2+9^2}=\sqrt{82}$
et $DA=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$.
\item De manière générale, le milieu $I$ de
$[AB]$ est $I\lp \dfrac{x_A+xx_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\rp$,
donc ici,
$I\lp\dfrac{1+31}{2};\dfrac{3+2}{2}\rp$,
soit $I\lp 16;\dfrac52\rp$.
$\V{AF}\lp 31-1;2-3\rp$ soit $\V{AF}(30;-1)$
et donc $AF=\sqrt{30^2+(-1)^2}=\sqrt{901}$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source