Contrôle de mathématiques

Y. Morel

Exercice 1 Exprimer sous forme de fraction irréductible:

$a= \frac{\dsp\frac{4}{5}-\frac{2}{3}}{\dsp\frac{1}{4}-\frac{2}{3}} \hspace{0.5cm} ; \hspace{0.5cm} b=\frac{15}{8}\tm\frac{2}{21}\tm49 \hspace{0.5cm}; \hspace{0.5cm} A(x)=\frac{2}{3x-2}-\frac{x}{-x+1}$

Exercice 2 Décomposer en nombres premiers les nombres

Déterminer ensuite le pgcd de

.
Exercice 3

Calculer : $$\displaystyle a=\frac{4^3\tm3^5}{36^2}$ ; $$\displaystyle b=-\frac{12\tm(-5)^3\tm4\tm7}{25\tm2^3\tm21\tm5}$
Simplifier l'expression: $$\displaystyle c=\frac{a^9(a^3b)^{-2}}{b^{-3}a^2}$

Exercice 4 Résoudre les équations :

$$\displaystyle \frac{2x^2-18}{x+2}=0$
$$\displaystyle \frac{2x-5}{-x+2} +\frac{6x}{3x+4}=0$

Exercice 5

Pour quelle(s) valeur(s) de

le triangle ci-contre est-il rectangle ?

$(0,0)(3,3) \psline(0,0)(0,3)\put(-1.2,1.5){$x+1$} \psline(0,0)(2,0)\put(0.5,-0.5){$x-1$} \psline(0,3)(2,0)\put(1.5,1.5){$10$}$

Solution:

Corrigé du contrôle de mathématiques

Y. Morel

Exercice 1

$a= \frac{\dsp\frac{4}{5}-\frac{2}{3}}{\dsp\frac{1}{4}-\frac{2}{3}} = \frac{\dsp\frac{2}{3\tm5}}{\dsp\frac{-5}{3\tm4}} = \frac{2}{3\tm5}\tm\frac{3\tm4}{-5} = -\frac{8}{25}$

$b=\dfrac{15}{8}\tm\dfrac{2}{21}\tm49 =\dfrac{5\tm3\tm2\tm7\tm7}{2^3\tm3\tm7} =\dfrac{5\tm7}{2^2}=\dfrac{35}{4}$

$\begin{array}{ll} A(x) &=\dfrac{2}{3x-2}-\dfrac{x}{-x+1} \\[0.5cm] &=\dfrac{2(-x+1)}{(3x-2)(-x+1)}-\dfrac{x(3x-2)}{(3x-2)(-x+1)}\\[0.5cm] &=\dfrac{2(-x+1)-x(3x-2)}{(3x-2)(-x+1)}\\[0.5cm] &=\dfrac{-3x^2+2}{(3x-2)(-x+1)} \enar$

Exercice 2
On a les décompositions en nombres premiers:
$$220=22\tm10=11\tm2\tm2\tm5=2^2\tm5\tm11$
$$154=2\tm77=2\tm7\tm11$
et donc, le pgcd de

est $$\text{pgcd}(154;220)=2\tm11=22$ .
Exercice 3

$$a=\dfrac{4^3\tm3^5}{36^2} =\dfrac{\lp2^2\rp^3\tm3^5}{\lp\lp2\tm3\rp^2\rp^2} =\dfrac{2^6\tm3^5}{2^4\tm3^4} =2^{6-4}\tm3^{5-4}=2^2\tm3^1=12$
$$b=-\dfrac{12\tm(-5)^3\tm4\tm7}{25\tm2^3\tm21\tm5} =(-1)\tm\dfrac{2^2\tm3\tm(-1)^3\tm5^3\tm2^2\tm7}{5^2\tm2^3\tm3\tm7\tm5} =(-1)^4 \tm2=2$
$$c=\dfrac{a^9(a^3b)^{-2}}{b^{-3}a^2} =\dfrac{a^9\times a^{-6} b^{-2}}{b^{-3}a^2} =a^{9-6-2} b^{-2-(-3)}=a^1b^1=ab$

Exercice 4

En factorisant, l'équation est équivalente à une équation produit nul:

$\begin{array}{ll} &(3x+3)(x-2)-(x-5)(x-2)=0 \\[0.4cm] \iff &(x-2)\Bigl[ (3x+3)-(x-5)\Bigr]=0 \\[0.4cm] \iff &(x-2)\Bigl[ 2x+8\Bigr]=0 \enar$

et ainsi on a ou , d'où les solutions $$\mathcal{S}=\Bigl\{ -4; 2\Bigr\}$ .
C'est une équation quotient nul:
$$\dfrac{2x^2-18}{x+2}=0$
$$\iff 2x^2-18=0$ et $$x+2\not=0$
$$\iff x^2=9$ et $$x\not=-2$
La première équation est une équation carré:
$$x^2=9>0 \iff x=\sqrt{9}=3$ ou $$x=-\sqrt{9}=-3$ .
On a donc les solutions $$\mathcal{S}=\Bigl\{-3;3\Bigr\}$ .
On écrivant les fractions sur le même dénominateur, on se ramène à une équation quotient nul:
$$\dfrac{2x-5}{-x+2} +\dfrac{6x}{3x+4}=0$
$$\iff \dfrac{(2x-5)(3x+4)+6x(-x+2)}{(-x+2)(3x+4)}=0$
$$\iff \dfrac{5x-20}{(-x+2)(3x+4)}=0$
$$\iff 5x-20=0$ et $$(-x+2)(3x+4)\not=0$
$$\iff x=4$ et $$x\not=2$ et $$x\not=-\dfrac43$
On a donc la solution $$\mathcal{S}=\Bigl\{4\Bigr\}$ .