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Exercice 1 Calculer sous forme de fraction irréductible:

a= \frac{\dsp\frac{4}{5}-\frac{2}{3}}{\dsp\frac{1}{4}-\frac{2}{3}}

et
b=-9-5\lp\frac{7}{5}-1\rp^2


Exercice 2 Ecrire sous la forme la plus simple possible (les fractions devront avoir un dénominateur ne contenant pas de racines):
\bullet\ a=\frac{6}{\sqrt{2}} \hspace{0.5cm} \bullet\ b=\frac{2}{2+\sqrt{3}} \hspace{0.5cm} \bullet\ c=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}


Exercice 3
  1. Calculer :
    $\displaystyle a=\frac{4^3\tm3^5}{36^2}
    $\displaystyle b=-\frac{4\tm(-5)^3\tm6^{-2}\tm27}{25}
     
  2. Simplifier l'expression: $\displaystyle c=\frac{a^{-2}(ab^2)^{-2}b^6}{(a^{-1}b)^3a^{-2}b^{-2}}

Exercice 4 Ecrire la décomposition en nombres premiers des nombres $a=84 et $b=210.
 
Déterminer ensuite le pgcd de $a et $b.
Exercice 5 On considère l'expression $A(x)=(2x-3)(5-x)-x(5-x).
 
Résoudre les équations:
 
a) $A(x)=-15
 
b) $A(x)=0

Solution:



Exercice 1

a= \frac{\dsp\frac{4}{5}-\frac{2}{3}}{\dsp\frac{1}{4}-\frac{2}{3}} = \frac{\dsp\frac{2}{3\tm5}}{\dsp\frac{-5}{3\tm4}} = \frac{2}{3\tm5}\tm\frac{3\tm4}{-5} = -\frac{8}{25}


b=-9-5\lp\frac{7}{5}-1\rp^2 =-9-5\left( \frac{7^2}{5^2} - 2\tm\frac{7}{5} +1\right) =-9-\frac{7^2}{5}+14-5 =-\frac{49}{5}


Exercice 2

\bullet\ a=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}


\bullet\ b=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=4-2\sqrt{3}


\bullet\ c=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} =5+2\sqrt{3}\sqrt{2}


Exercice 3

a=\frac{4^3\tm3^5}{36^2} =\frac{(2^2)^3\tm3^5}{(2^2\tm3^2)^2} =\frac{2^6\tm3^5}{2^4\tm3^4} =2^2\tm3=12


\displaystyle b=-\frac{4\tm(-5)^3\tm6^{-2}\tm27}{25} =\frac{2^2\tm5^3\tm(2\tm3)^{-2}\tm3^3}{5^2} =\frac{2^2\tm5^3\tm2^{-2}\tm3^{-2}\tm3^3}{5^2} =4\tm3=12



c=\frac{a^{-2}(ab^2)^{-2}b^6}{(a^{-1}b)^3a^{-2}b^{-2}} =\frac{a^{-2}a^{-2}b^{-4}b^6}{a^{-3}b^3a^{-2}b^{-2}} =ab


Exercice 4
$a=84=2^2\tm3\tm7 et $b=210=2\tm3\tm5\tm7, d'où, $\mbox{pgcd}(a,b)=2\tm3\tm7=42.
Exercice 5
On pense à factoriser et à développer $A(x):
$\bullet Factorisation: $A(x)=(2x-3)(5-x)-x(5-x)=(5-x)\lb(2x-3)-x\rb=(5-x)(x-3)
 
$\bullet Développement : $A(x)=-x^2+8x-15


  1. En utilisant l'expression développée, l'équation $A(x)=-15 est équivalente à : $-x^2+8x-15=-15, soit $-x^2+8x=0, et donc, $x(-x+8)=0.
     
    Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul, d'où $x=0 ou $-x+8=0. On obtient donc deux solutions: $x=0 et $x=8.
     
  2. En utilisant l'expression factorisée, l'équation $A(x)=0 est équivalente à :
    $(5-x)(x-3)=0, soit donc $5-x=0 ou $x-3=0.
    On obtient donc deux solutions : $x=5 et $x=3.



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