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Devoir commun de mathématiques

Y. Morel


Exercice 1
  1. Factoriser les expressions suivantes:
     
     
  2. Résoudre

Exercice 2
On considère la fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
 
Les réponses seront données avec la précision permise par le graphique.



 
  1. Déterminer l'ensemble de définition de .
     
  2. Déterminer les images des nombres et .
     
  3. Déterminer les antécédents de et .
     
  4. Dresser le tableau de variations de .
     
  5. Résoudre graphiquement l'équation .
     
  6. Résoudre graphiquement l'équation .
     
  7. Soit la fonction définie sur par .
     
    1. Tracer la représentation graphique dela fonction .
       
    2. En déduire les solutions de l'équation .

     
  8. Quelles valeurs de peut-on choisir pour qu'il y ait exactement deux solutions à l'équation ?

Exercice 3 est un parallélogramme de centre . Les hauteurs des triangles et issues respectivement des sommets et se coupent en .
 
  1. Faire une figure.
     
  2. Dans le triangle , que représentant les droites et ?
     
  3. Que représente le point pour le triangle ?
     
  4. En déduire que les droites et sont perpendiculaires.

 
Exercice 4 Soit la fonction définie sur par .
 
  1. Montrer que .
     
  2. Montrer que .
     
  3. Parmi les expressions de , choisir la plus appropriée pour répondre aux questions suivantes:
     
    1. Déterminer par le calcul les images par de , , et de .
       
    2. Déterminer par le calcul les antécédents éventuels par de .
       
    3. Résoudre .
       
    4. Résoudre .
     
  4. En utilisant l'expression de de la question , étudier les variations de sur et sur , puis dresser le tableau de variations de .
     
  5. En utilisant le tableau de variations de , comparer et pour élément de .
    Justifier votre réponse.

 
Exercice 5 est un réel positif. On considère un cercle de diamètre , un carré de côté , un trianglme équilatéral de côté et un rectangle de côté et .
 

    1. Exprimer leur périmètre en fonction de .
       
    2. Ranger leur périmètre par ordre croissant.

     
  1. Comparer les aires sachant que l'aire d'un triangle équilatéral de côté est .


Solution:



Exercice 1

  1.  
  2. Valeur interdite: , soit .
     



     
    Ainsi, lorsque .

Exercice 2

  1.  
  2. L'image de est ; celle de est .
     
  3. Il y a deux antécédents de : et environ .
    Il y trois antécédents de : environ ; et .
     


  4.  
  5. L'équation admet tois solutions : , environ , et .
     
  6. On a pour .
     
    1. est une fonction affine, sa courbe représentative est donc une droite.
    2. [b.] Les solutions de l'équation sont données par les abscisses des points d'intersections des deux courbes, soit , et environ .
     
  7. L'équation admet exactement deux solutions lorsque ou




 
Exercice 3



  1. Dans le triangle , les droites et sont issues d'un sommet du triangle et perpendiculaires au côté opposé: et sont des hauteurs du triangle .
     
  2. Le point est à l'intersection de deux hauteurs du triangle ; est donc l'orthocentre du triangle .
     
  3. On déduit de ce qui précéde que est la troisième hauteur du triangle , et donc, en particulier, que et sont perpendiculaires.
    Comme est un parallélogramme, les côtés opposés et sont parallèles, et donc, la droite est aussi perpendiculaire à .

 
Exercice 4
  1. .
    On a donc bien, pour tout nombre réel , .
     
  2. .
    On a donc bien, pour tout nombre réel , .
     
    1.  ; 
       
       ; 
       

    2. Les éventuels antécédents de par sont tels que , soit, , ou encore, .
      Cette expression se factorise sous la forme de l'équation produit, , ce qui nous permet d'en déduire que ou que , soit: Les antécédents de par sont et .
       
    3. En utilisant l'expression factorisée de , .
      Ce produit de facteur est nul si et seulement si l'un des deux est nul, soit ou .
       

    4. En utilisant l'expression initiale de ,



    5.  
      On en déduit donc que pour .
     
  3. Soit deux nombres et quelconques de tels que , alors
    d'où,
    ,

    et donc,
    ,

    et ainsi,
    ,

    soit
    .

    On en déduit que est décroissante sur .
  4. Soit deux nombres et quelconques de tels que , alors
    d'où,
    ,

    et donc,
    ,

    et ainsi,
    ,

    soit
    .

    On en déduit que est croissante sur .

     


  5. La fonction est croissante sur , ainsi, si , , tandis que si , .

 
Exercice 5
    1. Le périmètre du cercle de rayon est ; le périmètre du carré est ;
      le périmètre du triangle équilatéral est , et celui du rectangle est
      .
       
    2. On a , et donc en multipliant par (qui est une longueur, donc positive), , soit
     
  1. Les différentes aires sont :  ,    ,    , et . On a alors, comme , en divisant par , , puis en multipliant par , , en d'autres termes,




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