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Résoudre les équations:

$(E_1): (2x-3)(-x+2)=0$
$(E_2): \lp x^2-5\rp\lp3x+7\rp=0$
$(E_3): (2x-3)(x+6)-(x+6)=0$
$(E_4): \dfrac{x^2-25}{2x-10}=0$
$(E_5): \dfrac{2}{2x+5}-\dfrac{1}{4x-3}=0$
$(E_6): (2x+3)^2=49$

Solution:



$(E_1)$ est une équation produit nul: $(2x-3)(-x+2)=0$ si et seulement si $2x-3=0$ soit $x=\dfrac32$, ou $-x+2=0$ soit $x=2$. Ainsi, $\mathcal{S}_1=\la\dfrac32;2\ra$.


$(E_2)$ est aussi une équation produit nul. $\lp x^2-5\rp\lp3x+7\rp=0$ si et seulement si $x^2-25=0$ soit $x^2=25$ donc $x=-5$ ou $x=5$, ou $3x+7=0$ soit $x=-\dfrac73$. Ainsi, $\mathcal{S}_2=\la-5;-\dfrac73;5\ra$.


$(E_3)$ se factorise par $(x+6)$: $(E_3)\iff (x+6)\Bigl[(2x-3)-1\Bigr]=0 \iff (x+6)(2x-4)=0$.
C'est maintenant une équation produit nul, donc équivalente à $x+6=0$ soit $x=-6$, ou $2x-4=0$ soit $x=2$. Ainsi, $\mathcal{S}_3=\Bigl\{-6;2\Bigr\}$.


$(E_5)\iff \dfrac{6x-11}{(2x+5)(4x-3)}=0$, qui est une équation quotient nul, donc équivalente à $6x-11=0$ soit $x=\dfrac{11}{6}$ et $(2x+5)(4x-3)\not=0$ soit $x\not=-\dfrac52$ et $x\not=\dfrac34$. Ainsi, $\mathcal{S}_5=\la\dfrac{11}{6}\ra$.


$(E_6)$ est une équation carré: $(2x+3)^2=49$ si et seulement si $2x+3=-\sqrt{49}=-7$ soit $x=-5$, ou $2x+3=\sqrt{49}=7$ soit $x=2$. Ainsi, $\mathcal{S}_6=\Bigl\{-5;2\Bigr\}$.


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