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Devoir surveillé de mathématiques

Y. Morel



Exercice 1 Déterminer l'ensemble de définition des fonctions
  1. $\displaystyle f:x\mapsto \frac{1}{x^2-36}
  2. $\displaystyle g:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{3x-6}}
  3. $\displaystyle h:x\mapsto \sqrt{(2x-3)(5-x)}



Exercice 2 Résoudre les inéquations :
 
$\dsp(I_1) :\ (x+2)(2x-9)\geq 0
 
$\dsp(I_2) :\ \frac{4}{5x-3}\leq 1
Exercice 3 On considère les fonctions $\displaystyle f:x\mapsto x^3-5x^2+11x-6 et $\displaystyle g:x\mapsto x^2.
 
Le but de l'exercice est de comparer les positions des courbes $\mathcal{C}_f et $\mathcal{C}_g représentatives des fonctions $f et $g.
 
  1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $g.
     
  2. Montrer que, pour tout nombre $x réel, $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6
     
  3. Montrer que pour tout nombre $x réel, $(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6
     
    En déduire le signe de l'expression $x^3-6x^2+11x-6.
     
  4. A l'aide de ce qui précède, déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_f et $\mathcal{C}_g.

Exercice 4
 
Un fermier décide de réaliser un poulailler rectangulaire le long de sa maison.
Il a à sa disposition 100 m de grillage pour le clôturer (sachant qu'il n'a pas besoin de clôture le long du mur de sa ferme), et souhaite de plus avoir un poulailler le plus grand possible, c'est-à-dire ayant la plus grande surface possible.
 
On note $x la largeur du poulailler rectangulaire, et $y sa longueur, comme indiqué sur la figure ci-contre.
 

(0,0)(5,5) \psline[linewidth=3pt](0,4)(6,4) \psline[linewidth=0.8pt](1,4)(1,1) \psline[linewidth=0.8pt](1,1)(5,1) \psline[linewidth=0.8pt](5,1)(5,4) \rput(3,4.4){Mur de la ferme} \rput(0.7,2.5){$x$} \rput(5.3,2.5){$x$} \rput(3,0.7){$y$} \rput(2.8,2.5){Poulailler}


  1. Sachant que la clôture fait 100 m, exprimer $y en fonction de $x.
     
  2. Montrer que l'aire $\mathcal{A}(x) du poulailler s'exprime par : $\mathcal{A}(x)=-2x^2+100x.
     
  3. Montrer que pour tout $x réel, $-2x^2+100x=-2(x-25)^2+1250.
     
  4. A l'aide de la question précédente, étudier les variations de la fonction $\mathcal{A}(x) sur l'intervalle $[0;25] et sur l'intervalle $[25;50].
     
  5. En déduire l'aire maximale du poulailler que peut réaliser le fermier, et ses dimensions correspondantes.


Solution:


Correction du devoir surveillé de mathématiques




Exercice 1 Déterminer l'ensemble de définition des fonctions
  1. $\displaystyle f:x\mapsto \frac{1}{x^2-36}
    On ne doit pas avoir $x^2-36=0 \iff x^2=36 $\iff x=\sqrt{36}=6 ou $x=-\sqrt{36}=-6.
    Ainsi, l'ensemble de définition de $f est $\mathcal{D}_f=\R\setminus\Bigl\{ -6;6\Bigr\}.
     
  2. $\displaystyle g:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{3x-6}}
    Le dénominateur ne doit pas être nul d'une part, et donc on ne doit pas avoir $\sqrt{3x-6}=0 \iff 3x-6=0 \iff x=2.
    D'autre part, on doit aussi avoir $3x-6\geqslant 0 \iff x\geqslant 2 pour que la racine carrée soit bien définie.
     
    Ainsi, l'ensemble de définition de $g est $\mathcal{D}_g=\Bigl] 2;+\infty\Bigr[.
     
  3. $\displaystyle h:x\mapsto \sqrt{(2x-3)(5-x)}
    Pour que la racine carrée soit définie, on doit le produit $(2x-3)(5-x) doit être positif ou nul.
    On dresse alors le tableau de signe du produit:

    {|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $\frac32$ && $5$ && $+\infty$ \\\hline $2x-3$ && $-$ & $0$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $5-x$ && $+$ & $|$ & $+$ & 0 & $-$ &\\\hline $(2x-3)(5-x)$ && $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ &\\\hline


    Ainsi, l'ensemble de définition de $h est $\mathcal{D}_h=\Bigl[\dfrac32;5\Bigr].



Exercice 2
$(I_1) :\ (x+2)(2x-9)\geq 0
On veut que le produit $(x+2)(2x-9) soit positif ou nul; on dresse donc le tableau de signe de ce produit:

{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $\frac92$ && $+\infty$ \\\hline $x+2$ && $-$ & $0$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $2x-9$ && $-$ & $|$ & $-$ & 0 & $+$ &\\\hline $(x+2)(2x-9)$ && $+$ & 0 & $-$ & 0 & $+$ &\\\hline


Ainsi, les solutions de $I_1 sont $\mathcal{S}_1=\Bigl]-\infty;-2\Bigr]\cup\Bigl[\dfrac92;+\infty\Bigr[.
$(I_2) :\ \dfrac{4}{5x-3}\leq 1 \iff \dfrac{4}{5x-3}-1=\dfrac{7-5x}{5x-3}\leq 0
On dresse alors le tableau de signe de ce quotient:

{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $\frac75$ && $\frac32$ && $+\infty$ \\\hline $7-5x$ && $+$ & $0$ & $-$ & $|$ & $-$ &\\\hline $5x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & $0$ & $+$ &\\\hline $\frac{7-5x}{5x-3}$ && $-$ & 0 & $+$ & $||$ & $-$ &\\\hline


Ainsi, les solutions de $I_2 sont $\mathcal{S}_2=\Bigl]-\infty;\dfrac75\Bigr]\cup\Bigl]\dfrac32;+\infty\Bigr[.


Exercice 3 On considère les fonctions $\displaystyle f:x\mapsto x^3-5x^2+11x-6 et $\displaystyle g:x\mapsto x^2.
  1. La fonction $g est la fonction carré, définie sur $\R.
     
  2. En développant, on on a, pour tout nombre $x réel, $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6
     
  3. De même, en développant et en utilisant le résultat précédant, pour tout nombre $x réel, $(x-1)(x-2)(x-3)=(x-1)\Bigl( x^2-5x+6\Bigr) =x^3-5x^2+6x-x^2+5x-6=x^3-6x^2+11x-6
     
    On en déduit le tableau de signe du produit:

    {|c|ccccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $1$ && $2$ && $3$ && $+\infty$ \\\hline $x-1$ && $-$ & $0$ & $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $x-2$ && $-$ & $|$ & $-$ & 0 & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ & 0 & $+$ &\\\hline $(x-1)(x-2)(x-3)$ && $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & $0$ & $+$ &\\\hline


     
  4. La position relative des courbes $\mathcal{C}_f et $\mathcal{C}_g est donnée par le signe, enb fonction de $x, de la différence $f(x)-g(x)=x^3-5x^2+11x-6-x^2=(x-1)(x-2)(x-3).
    Ici on a donc,
    • $\mathcal{C}_f est au dessus de $\mathcal{C}_g sur $\Bigl]1;2\Bigr[\cup\Bigl]3;+\infty\Bigr[
    • $\mathcal{C}_f est au dessous de $\mathcal{C}_g sur $\Bigl]-\infty;1\Bigr[\cup\Bigl]2;3\Bigr[
    • $\mathcal{C}_f coupe $\mathcal{C}_g aux points d'abscisse $1, $2 et $3.

Exercice 4
 
Un fermier décide de réaliser un poulailler rectangulaire le long de sa maison.
Il a à sa disposition 100 m de grillage pour le clôturer (sachant qu'il n'a pas besoin de clôture le long du mur de sa ferme), et souhaite de plus avoir un poulailler le plus grand possible, c'est-à-dire ayant la plus grande surface possible.
 
On note $x la largeur du poulailler rectangulaire, et $y sa longueur, comme indiqué sur la figure ci-contre.
 

(0,0)(5,5) \psline[linewidth=3pt](0,4)(6,4) \psline[linewidth=0.8pt](1,4)(1,1) \psline[linewidth=0.8pt](1,1)(5,1) \psline[linewidth=0.8pt](5,1)(5,4) \rput(3,4.4){Mur de la ferme} \rput(0.7,2.5){$x$} \rput(5.3,2.5){$x$} \rput(3,0.7){$y$} \rput(2.8,2.5){Poulailler}


  1. On a le périmètre, sans le mur de la ferme, $2x+y=100\iff y=100-2x.
     
  2. L'aire du poulailler s'exprime alors par $\mathcal{A}(x)=xy=x\Bigl( 100-2x\Bigr)=-2x^2+100x.
     
  3. En développant l'expression de droite, on a, pour tout $x réel, $-2(x-25)^2+1250=-2(x^2-50x+25^2)+1250=-2x^2+100x.
     
  4. Soit deux nombres réels $a et $b quelconques de l'intervalle $[0;25] tels que $0\leqslant a<b\leqslant 25,
    alors, en soustrayant 25, $-25\leqslant a-25<b-25\leqslant 0,
    puis, en élevant au carré des nombres négatifs, l'ordre changeant donc, $(-25)^2=625\geqslant (a-25)^2>(b-25)^2\geqslant 0^2=0,
    puis, en multipliant par $-2<0, l'ordre changeant donc à nouveau, $-2\tm625=-1250\leqslant -2(a-25)^2<-2(b-25)^2\leqslant 2\tm0=0,
    et enfin en ajoutant 1250, $-1250+1250=0\leqslant -2(a-25)^2+1250<-2(b-25)^2+1250\leqslant 0+1250=1250,
    c'est-à-dire, $0\leqslant \mathcal{A}(a)<\mathcal{A}(b)\leqslant 1250.
     
    On en conclut donc que la fonction $\mathcal{A} est croissante sur $[0;25].




    De même sur l'intervalle $[25;50], soit deux nombres réels $a et $b quelconques tels que $50\leqslant a<b\leqslant 50,
    alors, en soustrayant 25, $0\leqslant a-25<b-25\leqslant 25,
    puis, en élevant au carré des nombres positifs, l'ordre ne changeant donc pas, $0\leqslant (a-25)^2<(b-25)^2\leqslant 625,
    puis, en multipliant par $-2<0, l'ordre changeant donc, $0\geqslant -2(a-25)^2>-2(b-25)^2\geqslant -1250,
    et enfin en ajoutant 1250, $1250\geqslant -2(a-25)^2+1250>-2(b-25)^2+1250\leqslant 0,
    c'est-à-dire, $1250\geqslant \mathcal{A}(a)>\mathcal{A}(b)\geqslant 0.
     
    On en conclut donc que la fonction $\mathcal{A} est décroissante sur $[25;50].
     
  5. On en déduit que l'aire maximale du poulailler est de $1250\,m^2, obtenue pour $x=25 m, et donc, $y=100-2x=50 m.



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