Source Latex
sujet du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% http://xymaths.free.fr %
% %
% Genere le: %
% jeudi 08 février 2018 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques: généralités sur les fonctions, inéquations, tableaus de signes},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={fonction, courbe représentative d'une fonction, algorithme, mathématiques, seconde, 2nde}
}
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linkcolor = red,
anchorcolor = red,
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}
\voffset=-1.5cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{http://xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{Devoir de math\'ematiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\vspace*{-2em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\begin{minipage}{8cm}
On consid\`ere une fonction $f$ telle que:
\vspd
\bgen[$\bullet$]
\item l'image de 2 par $f$ est 1
\vspd
\item $-2$ est un ant\'ec\'edent de $0$ par $f$
\vspd
\item $f(-1)=2$
\vspd
\item $f$ est croissante sur $[-2;0]$
\vspd
\item l'\'equation $f(x)=-1$ admet 3 solutions;
\vspd
\item l'ensemble de d\'efinition de $f$ est $[-4;4]$.
\enen
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{10cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-3.)(5.5,4.5)
\psline{->}(-4.5,0)(5.5,0)
\psline{->}(0,-3.5)(0,4.5)
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline[linewidth=0.4pt](\i,-3.2)(\i,4.2)
\rput(\i,-0.3){\i}
}
\multido{\i=-3+1}{8}{
\psline[linewidth=0.4pt](-4.2,\i)(5.2,\i)
\rput(-0.5,\i){\i}
}
%\pscurve[linewidth=1pt,dotstyle=*,showpoints=true]
%(-3,-3)(-2,1)(-1,2)(1,4)(3,0)(5,3)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\vspd
\bgen
\item Tracer sur le graphique ci-dessus la courbe repr\'esentative d'une
fonction $f$ respectant ces propri\'et\'es.
\item R\'esoudre l'in\'equation $f(x)<1$.
{\sl (On laissera appara\^itre les traits de construction.)}
\vspd
$
\mathcal{S}= \ \dots
$
%\item Donner le tableau de variation de $f$: \hfill
% \fbox{\begin{minipage}{10cm}
% \ \\
% \ \\
% \ \\
% \ \\
% \ \\
% \ \\
% \end{minipage}
% }
\item Donner le tableau de signes de $f(x)$: \hfill
\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\ \\
\ \\
\ \\
\ \\
\ \\
\ \\
\end{minipage}
}
\enen
\enex
\bgex
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $[-5;5]$ par
l'expression
$f(x)=-3(x-2)^2+2$.
\bgen[a)]
\item D\'eterminer le sens de variation de $f$ sur l' intervalle
$[-5;2]$.
% et $[2;5]$.
On admet par la suite que $f$ est décroissante sur l'intervalle $[2;5]$.
\item Dresser alors le tableau de variation de $f$.
\item Donner le maximum de la fonction $f$ et son minimum.
\enen
\enex
\bgex
D\'eterminer l'ensemble de d\'efinition des fonctions
\vspd
a) $\dsp f:x\mapsto \frac{1}{x^2-16}$ \hspace{1cm}
b) $\dsp g:x\mapsto \frac{\sqrt{3x-6}}{(x+3)(2x-5)}$ \hspace{1cm}
c) $\dsp h:x\mapsto \sqrt{(x-3)(5-x)}$
\enex
\bgex
R\'esoudre les in\'equations:% \\[.8em]
%a) $(x+3)(-2x+5)\geqslant 0$
\quad
a) $(2x-3) > (2-x)(2x-3)$
\qquad
b) $\dfrac{2}{3x-6}\leqslant 3$
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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