Source Latex
de la correction du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% http://xymaths.free.fr %
% %
% Genere le: %
% jeudi 08 février 2018 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques: généralités sur les fonctions, inéquations, tableaux de signes},
pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
pdfkeywords={fonction, courbe représentative d'une fonction, inéquations, tableaux de signes, mathématiques, seconde, 2nde}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = red,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-1.5cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.6cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm
\nwc{\TITLE}{Corrigé du devoir de mathématiques}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{http://xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-1cm}
\ct{\LARGE\bf\TITLE}
\bgex
\noindent
\begin{minipage}{8cm}
On consid\`ere une fonction $f$ telle que:
\vspd
\bgit
\item[$\bullet$] l'image de 2 par $f$ est 1
\vspd
\item[$\bullet$] $-2$ est un ant\'ec\'edent de $0$ par $f$
\vspd
\item[$\bullet$] $f(-1)=2$
\vspd
\item[$\bullet$] $f$ est croissante sur $[-2;0]$
\vspd
\item[$\bullet$] l'\'equation $f(x)=-1$ admet exactement 3 solutions;
\vspd
\item[$\bullet$] l'ensemble de d\'efinition de $f$ est $[-4;4]$.
\enit
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{10cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-3.)(5.5,4.5)
\psline{->}(-4.5,0)(5.5,0)
\psline{->}(0,-3.5)(0,4.5)
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline[linewidth=0.4pt](\i,-3.2)(\i,4.2)
\rput(\i,-0.3){\i}
}
\multido{\i=-3+1}{8}{
\psline[linewidth=0.4pt](-4.2,\i)(5.2,\i)
\rput(-0.5,\i){\i}
}
\pscurve[linewidth=1pt,dotstyle=*,showpoints=true]
(-4,-3)(-2,1)(-1,2)(0,3)(2,1)(3,-2)(4,-0.5)
%
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed](-5,1)(6,1)
\psline[linewidth=2pt](-4.5,0)(-2,0)
\psline[linewidth=2pt](1.8,-0.3)(2,-0.3)(2,0.3)(1.8,0.3)
\psline[linewidth=2pt](4.2,-0.3)(4,-0.3)(4,0.3)(4.2,0.3)
\psline[linewidth=2pt](-3.8,-0.3)(-4,-0.3)(-4,0.3)(-3.8,0.3)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(4,0)
\psline[linewidth=2pt](-1.8,-0.3)(-2,-0.3)(-2,0.3)(-1.8,0.3)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\vspace{-0.5cm}
\bgen
\item Voir graphique ci-dessus.
\item R\'esoudre l'in\'equation $f(x)< 1$: \quad
$
\mathcal{S}= \Bigl[-4;-2 \Bigr[ \cup \Bigl]2;4\Bigr]
$
\item Tableau de signes de $f(x)$: \quad
\begin{minipage}{10cm}
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-4$ && $-2,6$ && $2,2$ && 4 \\\hline
$f(x)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb& $-$& \\\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\enen
\enex
\bgex
On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $[-5;5]$ par
l'expression
$f(x)=-3(x-2)^2+2$.
\bgen[a)]
\item
%\hspace{-0.5cm}
\begin{tabular}[t]{p{8.6cm}|p{8.6cm}}
Soit $a$ et $b$ deux r\'eels quelconques de $[-5;2]$ tels que
$-5\leqslant a<b\leqslant 2$
\[\bgar{l}
\text{alors } -7\leqslant a-2<b-2\leqslant 0\\
\text{donc,{\sl on prenant l'inverse de nombres n\'egatifs }} \\
\qquad49\geqslant (a-2)^2>(b-2)^2\geqslant 0\\
\text{puis, } \text{\sl en multipliant par } -3<0\\
\qquad-147\leqslant -3(a-2)^2<-3(b-2)^2\leqslant 0\\
\text{donc } \\
-145\leqslant -3(a-2)^2+2<-3(b-2)^2+2\leqslant 2\\
\text{soit }
-145\leqslant f(a)<f(b)\leqslant 2
\enar\]
$f$ est donc croissante sur $[-5;2]$.
&
Soit $a$ et $b$ deux r\'eels quelconques de $[2;5]$ tels que
$2\leqslant a<b\leqslant 5$
\[\bgar{l}
\text{alors } 0\leqslant a-2<b-2\leqslant 3\\
\text{donc, } \\
\qquad 0\leqslant (a-2)^2<(b-2)^2\leqslant 9\\
\text{puis, } \text{\sl en multipliant par } -3<0\\
\qquad 0\geqslant -3(a-2)^2>-3(b-2)^2\geqslant -27\\
\text{donc } \\
2\geqslant -3(a-2)^2+2>-3(b-2)^2+2\leqslant -25\\
\text{soit }
2\geqslant f(a)>f(b)\leqslant -25
\enar\]
$f$ est donc d\'ecroissante sur $[2;5]$.
\end{tabular}
\item
En r\'esum\'e, on a le tableau de variation:
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-5$ &\hspace*{0.5cm}& $2$ &\hspace*{0.5cm}& $5$ \\\hline
&&&$2$&&\\
$f(x)$&&\psline{->}(-0.5,-0.2)(0.5,0.5)&&
\psline{->}(-0.5,0.5)(0.5,-0.2)&\\
&$-145$&&&&$-25$\\
\hline
\end{tabular}
\item D'après les calculs précédents,
inscrits dans le tableau de variation,
le maximum de $f$ est 2, atteint en $x=2$
et le minimum de $f$ est $-145$, atteint en $x=-5$.
\enen
\enex
\bgex
\begin{enumerate}[a)]
\item $\dsp f:x\mapsto \frac{1}{x^2-16}$. \
$x$ ne doit pas prendre de valeurs telles que $x^2-16=0$, soit
$x^2=16$, et donc, $x=4$ ou $x=-4$.
Ainsi, \ul{$\mathcal{D}_f=\R\setminus \la-4;4\ra$}
\item $\dsp g:x\mapsto \frac{\sqrt{3x-6}}{(x+3)(2x-5)}$. \
$x$ ne doit pas prendre de valeurs telles que $3x-6<0$ et
$(x+3)(2x-5)=0$,
soit $x<2$ et $x=-3$ et $x=\frac{5}{2}$.
Ainsi, \ul{$\mathcal{D}_g=[2;+\infty[\ \setminus \la\frac{5}{2}\ra$}.
\item
\bgmp[t]{6.cm}
$\dsp h:x\mapsto \sqrt{(x-3)(5-x)}$. \
$x$ ne doit pas prendre de valeurs telles que $(x-3)(5-x)<0$,
et donc, d'apr\`es le tableau de signes,
\ul{$\mathcal{D}_h=[3;5]$}.
\enmp
\bgmp[t]{10cm}
\[
\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline
$x$&$-\infty$ & & $3$ & & $5$ & & $+\infty$ \\\hline
$x-3$ & & $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$5-x$ & & $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
$(x-3)(5-x)$ & & $-$ & \zb & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
%\item On dresse le tableau de signe de l'expression:
% $(x+3)(-2x+5)$
% \[
% \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
% $x$ & $-\infty$ && $-3$ && $\frac{5}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
% $x+3$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
% $-2x+5$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
% $(x+3)(-2x+5)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
% \end{tabular}
% \]
% Ainsi, $(x+3)(-2x+5)\geqslant 0 \iff x\in\lb-3;\dfrac{5}{2}\rb$.
% \vspd
\item
$\bgar[t]{ll}
(2x-3) > (2-x)(2x-3)
&\iff
(2x-3)-(2-x)(2x-3)> 0 \\
&\iff
(2x-3)\Bigl[ 1 - (2-x)\Bigr] > 0 \\
&\iff
(2x-3)(x-1)> 0
\enar$
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $1$ && $\frac{3}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
$2x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
$x-1$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$(2x-3)(x-1)$ && $+$ &\zb& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi,
$(2x-3) > (2-x)(2x-3) \iff x\in]-\infty;1[\cup]\frac{3}{2};+\infty[$.
\vsp
\item
$\dfrac{2}{3x-6}\leqslant 3
\iff \dfrac{2}{3x-6} -3 \leqslant 0
\iff \dfrac{-9x+20}{3x-6}\leqslant 0
$
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $2$ && $\frac{20}{9}$ && $+\infty$ \\\hline
$-9x+20$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
$3x-6$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$\dfrac{-9x+20}{3x-6}$ && $-$ &\db& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
\end{tabular}
\]
Ainsi,
$\dfrac{2}{3x-6}\leqslant 3
\iff x\in \Bigl]-\infty;2\Bigr[\cup\Bigl[\frac{20}{9};+\infty\Bigr[$
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source 
