Tous les devoirs de 2nde 
Tous les cours et exercices corrigés 
Télécharger le sujet du devoir 
Télécharger le corrigé du devoir 

Devoir de mathématiques

Y. Morel


Exercice 1 Une usine fabrique des articles en grande quantité, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles, un défaut d'assemblage ou un défaut de dimension.


Une étude statistique a permis de constater que 12 % des articles fabriqués sont défectueux: 8 % des articles fabriqués ont un défaut d'assemblage et 6 % des articles fabriqués ont un défaut de dimension.


On choisit au hasard un article et on note :



  1. Grâce aux données de l'énoncé :
    1. Donner les probabilités $p(A) et $p(B) ;
    2. Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B. Donner la probabilité de l'évènement $A\cup B.

  2. Quelle est la probabilité de l'évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » ?
  3. Exprimer en utilisant les événements $A et $B l'événement « un article prélevé au hasard présente les deux défauts », puis calculer sa probabilité.

Exercice 2 Novak Djokovic et Roger Federer jouent au tennis en finale de Roland Garros. Novak Djokovic a 3 chances sur 5 de remporter le 1er set. Si il gagne le 1er set, alors il a 2 chances sur 3 de gagner le match. Si il perd le 1er set, alors il a 1 chance sur 2 de gagner le match.
 
Quelle est la probabilité que Roger Federer gagne le match?
Exercice 3 En lançant un dé 500 fois successivement, on a obtenu 69 fois le chiffre 6.
 
  1. Quelle est la proportion de l'événement: "obtenir le chiffre 6" ?
  2. Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95 % pour la proportion de l'événement "obtenir le chiffre 6" sur 500 lancers d'un dé bien équilibré (donc non truqué).
  3. Peut-on considérer, au risque d'erreur de 5 %, que le dé n'est pas bien équilibré ?

Exercice 4 On souhaite effectuer un sondage de telle façon que l'intervalle de confiance au seuil de 95 % ait une amplitude de 2 %.
(L'amplitude, ou longueur, d'un intervalle $[\,a\,;\,b\,] est le nombre $b-a)
 
Déterminer le nombre de personnes qu'il faut interroger.

Solution:


Corrigé du devoir de mathématiques



Exercice 1
    1. D'après l'énoncé, $p(A)=8\,\% et $p(B)=6\,\%.
    2. $A\cup B est l'événement: « l'article prélevé au hasard présente soit un défaut d'assemblage, soit un défaut de dimensionnement», c'est-à-dire, $A\cup B est l'événement: « l'article est défectueux».
      La probabilité de l'évènement $A\cup B est donc $P(A\cup B)=12\,\%.

  1. L'évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » est l'événement contraire de $A\cup B. Ainsi, sa probabilité est de $1-12\,\%=88\,\%".
  2. « un article prélevé au hasard présente les deux défauts » est l'événement $A\cap B; il a pour probabilité: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=8\,\%+6\,\%-12\,\%=2\,\%.

Exercice 2 On peut dresser un arbre des probabilités pondéré:

(0,-4)(7,5)
  \psset{unit=1cm}
  %
  \psline[linestyle=dashed](3.25,4)(3.25,-3.5)
  \rput[l](1,4){1$^{\text{er}}$ set}
  \rput[l](4.5,4){match}
  %
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput[l](1.7,1.5){Djokovic}
  \rput(0.8,1.2){\scriptsize$\dfrac35$}
  \psline(3.4,1.5)(4.9,2.5)\rput[l](5,2.5){Djokovic}
  \rput(4.2,2.4){\scriptsize$\dfrac23$}
  \psline(3.4,1.5)(4.9,.5)\rput[l](5,.5){Federer}
  \rput(4.2,.5){\scriptsize$\dfrac13$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput[l](1.7,-1.5){Federer}
  \rput(0.8,-1.2){\scriptsize$\dfrac25$}
  \psline(3.4,-1.5)(4.9,-2.5)\rput[l](5,-2.5){Federer}
  \rput(4.2,-2.4){\scriptsize$\dfrac12$}
  \psline(3.4,-1.5)(4.9,-.5)\rput[l](5,-.5){Djokovic}
  \rput(4.2,-.5){\scriptsize$\dfrac12$}


La probabilité pour que Federer gagne le match est: $p=\dfrac35\tm\dfrac13 + \dfrac25\tm\dfrac12
=\dfrac25.
Exercice 3
  1. La proportion de l'événement: "obtenir le chiffre 6" est: $p'=\dfrac{69}{500}=0,138=13,8\,\%.
  2. La proportion attendue pour un dé non truqué est de $p=\dfrac16.
    L'intervalle de fluctuation à 95 % est:
    
  \left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ 
  p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]
  =
  \left[ \dfrac16-\dfrac{1}{\sqrt{500}}\ ;\ 
  \dfrac16+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right]
  \simeq
  \Bigl[ 0,122\ ;\ 0,211 \Bigr]
  =
  \Bigl[ 12,2\,\%\ ;\ 21,1\,\%\Bigr]

  3. On a $p'\in I. On peut donc dire que le fait que la proportion observé $p' soit différente de celle attendue $p est due au hasard. En particulier, on ne peut pas en conclure, avec un risque d'erreur de 5 %, que le dé est truqué.

Exercice 4 L'intervalle de confiance au seuil de 95 % est

\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\rb\ .

Son amplitude est de

\left( p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) - 
\left( p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) 
=\dfrac{2}{\sqrt{n}}\ .


On cherche donc $n tel que:

\dfrac{2}{\sqrt{n}}=2\,\%=0,02
\iff
\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{0,02}{2}=0,01
\iff
\sqrt{n}=\dfrac{1}{0,01}=100
\iff
n=100^2=10\,000 \ .


Il faut donc interroger 10 000 personnes.



Tous les devoirs de 2nde 
Tous les cours et exercices corrigés 
Télécharger le sujet du devoir 
Télécharger le corrigé du devoir