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Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques en 2nde: préparation de l'entrée en 1ère scientifique
Niveau
Seconde
Mots clé
Exercices de mathématiques, fonction, calcul algébrique, courbe représentative, vecteur, repère, repérage, coordonnées, géométrie analytique, 2nde
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: objectif 1èreS},
    pdftitle={De la 2nde à une 1ère scientifique},
    pdfkeywords={Mathématiques, exercices, 
      2nde, seconde, 1S, 
      préparation 1èreS, 
      fonction, fonctions, 
      vecteur, vecteurs 
    }
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{De la $2^{\text{nde}}$ à une $1^{\text{ère}}$ scientifique}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
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%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\LARGE \bf \TITLE}

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: 
\quad
$f(x)=x^2-6x+5$. 

\vspace{-0.2cm}
\bgen
\item Calculer les images par $f$ des réels: 
  $1$; $-2$; $\dfrac13$; $\sqrt2+4$. 
\vspace{-0.1cm}
\item Vérifier que pour tout $x$ réel, 
  on a $f(x)=(x-3)^2-4$ et $f(x)=(x-5)(x-1)$. 
\item Résoudre les équations $f(x)=3$ et $f(x)=5$. 
\item Résoudre l'inéquation $f(x)<0$. 
\enen
\enex

\vspace{-0.4cm}
\bgex
\bgen
\item Soit, pour un nombre réel $x$, 
  l'expression $A(x)=x^2-6x$.

  Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, 
  pour tout nombre réel $x$, 
  $A(x)=(x-a)^2-b$. 

\item Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté 6 cm, 
  et $M$ un point du segment $[AB]$. 

  On pose $AM=x$. 
  La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $Q$. 
  Les points $M$, $A$ et $Q$ se projettent orthogonalement sur $(BC)$
  respectivement en $N$, $H$ et $P$. 

  \vspace{-0.4cm}
  \bgen[a)]
  \item Justifier les égalités suivantes: 
    $\bullet\ BM=6-x$
    \quad
    $\bullet\ MQ=x$
    \quad
    $\bullet AH=3\sqrt3$ 
    \quad
    $\bullet\ NM=\dfrac{\sqrt3}{2}(6-x)$

  \item En déduire que l'aire du rectangle $MNPQ$ 
    est donnée, en fonction de $x$, 
    par l'expression $f(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}\lp x^2-6\rp$. 
  \enen

\vspace{-0.6cm}
\item Montrer que, pour tout réel $x$, 
  $f(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}(x-3)^2+\dfrac{9\sqrt3}{2}$. 

  Pour quelle position de $M$ sur $[AB]$ l'aire du rectangle $MNPQ$
  est-elle la plus grande ? 

  {\sl (On pourra tracer la courbe représentative de $f$ à l'aide
    d'une calculatrice, utiliser un tableau de valeurs, ... 
    mais on prendra soin de justifier précisément et rigoureusement
    pourquoi la valeur trouvée est bien la bonne)}

\item Peut-on trouver une valeur de $x$ pour que l'aire du rectangle
  soit égale à $2\sqrt3$ ?
\enen
\enex


\bgex
$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=10$ et $BC=8$. 

On construit un carré $AMNP$ avec $M\in[AB]$ et $P\in[AD]$ 
et un rectangle $NQCR$ avec $Q\in[DC]$ et $R\in[BC]$. 
On pose $AM=x$. 

On colorie les rectangles $MNRB$ et $DPNQ$. 


\bgen
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$. 
\item Calculer l'aire coloriée. 
\item Pour quelle position de $M$ sur $[AB]$ cette aire est-elle la
  plus grande ? 

  {\sl (On pourra tracer un graphique représentant la valeur de l'aire
    coloriée en fonction de $x$, utiliser un tableau de valeurs, ... 
    mais on prendra soin de justifier précisément et rigoureusement
    pourquoi la valeur trouvée est bien exactement la bonne)}

\enen
\enex

\bgex

{\bf Partie A. Une fonction particulière} 

On considère la fonction $f$ définie sur $[-5;5]$ par l'expresion 
$f(x)=3x^2-2$. 

On note $\Cf$ sa courbe représentative.

\bgen
\item Remplir le tableau de valeurs: 

  \begin{tabular}{|c|*{11}{p{1cm}|}}\hline
    \rule[-0.2cm]{0cm}{0.7cm}
    $x$ & $-5$ & $-4$ & $-3$&$-2$&$-1$&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$ \\\hline
    \rule[-0.4cm]{0cm}{0.9cm}
    $f(x)$ &&&&&&&&&&&\\\hline
  \end{tabular}
\item Placer dans un repère orthogonal les points correspondants de
  $\Cf$.  

  Quelle propriété de symétrie remarque-t'on ?

\item Soit $x$ un nombre réel quelconque de $[0;5]$. 

  On note $M$ le point de $\Cf$ d'abscisse $x$ et 
  $M'$ le point de $\Cf$ d'abscisse $-x$. 
 
  Quelles sont les ordonnées des points $M$ et $M'$ ?
  Quelle relation y-a-t'il entre ces ordonnées ?

  Que peut-on en déduire graphiquement ? 
\enen

{\bf Partie B. Cas général} 

\bgen

\item Soit $f$ une fonction. 
  Enoncer une propriété générale qui permet conclure que la courbe
  $\Cf$ repré\-sentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des
  ordonnées. 

  \vsp\hspace{1cm}
  \bgmp{16cm}
       {\sl On appelle {\bf\ul{fonction paire}} une fonction dont la courbe
         représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.} 
  \enmp
  \vsp

\item Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont paires ? 

  \vspace{-0.2cm}
  a) $f(x)=-3x^2+6$ 
  \qquad
  b) $f(x)=x^4-3x^2+5$
  \qquad
  c) $f(x)=x^2+3x-2$
  \qquad
  d) $f(x)=\dfrac{x^2}{3x^2-2}$
\enen

{\bf Partie C. Fonctions impaires}

On considère la fonction $f$ définie sur $[-3;3]$ par 
$f(x)=x^3-2x$. 

\bgen
\item Remplir le tableau de valeurs: 
  \begin{tabular}{|c|*{7}{p{1cm}|}}\hline
    \rule[-0.2cm]{0cm}{0.7cm}
    $x$ & $-3$&$-2$&$-1$&$0$&$1$&$2$&$3$\\\hline
    \rule[-0.4cm]{0cm}{0.9cm}
    $f(x)$ &&&&&&&\\\hline
  \end{tabular}
\item Placer dans un repère orthogonal les points correspondants de
  $\Cf$.  

  Quelle propriété de symétrie remarque-t'on ?

\item Soit $x$ un nombre réel quelconque de $[0;3]$. 

  On note $M$ le point de $\Cf$ d'abscisse $x$ et 
  $M'$ le point de $\Cf$ d'abscisse $-x$. 
 
  Quelles sont les ordonnées des points $M$ et $M'$ ?

  Quelle relation y-a-t'il entre ces ordonnées ?
  Que peut-on en déduire graphiquement ? 

\item Comme précédemment, énoncer une propriété générale sur une
  fonction $f$ qui permet de conclure que sa courbe est symétrique par
  rapport à l'origine. 

  \vsp\hspace{1cm}
  \bgmp{16cm}
       {\sl On appelle {\bf\ul{fonctions impaires}} de telles
         fonctions, dont la courbe
         représentative est symétrique par rapport à l'origine.} 
  \enmp
  \vsp

\item Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont impaires ? 

  a) $f(x)=2x$
  \qquad
  b) $f(x)=3x+2$
  \qquad
  c) $f(x)=x+\dfrac1x$
  \qquad
  d) $f(x)=2x^5-3x^3+x$
\enen


\enex

\bgex
Le plan est muni d'un repère $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

\bgen
\item Placer les points $A(2;4)$, 
  $B(-2;1)$ et $C(-3;5)$ 
  et représenter le vecteur 
    $\V{AM}=\dfrac12\V{AB}-\V{AC}$. 
\item Calculer les coordonnées de  
    $\V{AB}$, $\V{AC}$ et $\V{AM}$. 
    Déterminer alors les coordonnées du point $M$. 

\item On considère le point $D\lp 1;\dfrac32\rp$. 
  Les points $A$, $B$ et $D$ sont-ils alignés ?
\enen
\enex


\bgex
Placer dans un repère orthonormal les points: 
$A(1;8)$, $B(4;3)$, $C(-1;0)$ et $D(-4;5)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonnées de $\V{AB}$ et $\V{DC}$. 
  Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ABCD$ ?

\item Démontrer que l'angle $\widehat{ABC}$ est droit. 
  $ABCD$ est-il un carré ?

\item Placer dans le repère précédent le point 
  $M\lp\dfrac{11}{2};\dfrac12\rp$. 
  Les points $A$, $B$ et $M$ sont-ils alignés ? 

  Si oui, déterminer le nombre réel $k$ tel que 
  $\V{AM}=k\V{AB}$. 

\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}


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