Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: objectif 1èreS},
pdftitle={De la 2nde à une 1ère scientifique},
pdfkeywords={Mathématiques, exercices,
2nde, seconde, 1S,
préparation 1èreS,
fonction, fonctions,
vecteur, vecteurs
}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{De la $2^{\text{nde}}$ à une $1^{\text{ère}}$ scientifique}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
\quad
$f(x)=x^2-6x+5$.
\vspace{-0.2cm}
\bgen
\item Calculer les images par $f$ des réels:
$1$; $-2$; $\dfrac13$; $\sqrt2+4$.
\vspace{-0.1cm}
\item Vérifier que pour tout $x$ réel,
on a $f(x)=(x-3)^2-4$ et $f(x)=(x-5)(x-1)$.
\item Résoudre les équations $f(x)=3$ et $f(x)=5$.
\item Résoudre l'inéquation $f(x)<0$.
\enen
\enex
\vspace{-0.4cm}
\bgex
\bgen
\item Soit, pour un nombre réel $x$,
l'expression $A(x)=x^2-6x$.
Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que,
pour tout nombre réel $x$,
$A(x)=(x-a)^2-b$.
\item Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté 6 cm,
et $M$ un point du segment $[AB]$.
On pose $AM=x$.
La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $Q$.
Les points $M$, $A$ et $Q$ se projettent orthogonalement sur $(BC)$
respectivement en $N$, $H$ et $P$.
\vspace{-0.4cm}
\bgen[a)]
\item Justifier les égalités suivantes:
$\bullet\ BM=6-x$
\quad
$\bullet\ MQ=x$
\quad
$\bullet AH=3\sqrt3$
\quad
$\bullet\ NM=\dfrac{\sqrt3}{2}(6-x)$
\item En déduire que l'aire du rectangle $MNPQ$
est donnée, en fonction de $x$,
par l'expression $f(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}\lp x^2-6\rp$.
\enen
\vspace{-0.6cm}
\item Montrer que, pour tout réel $x$,
$f(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}(x-3)^2+\dfrac{9\sqrt3}{2}$.
Pour quelle position de $M$ sur $[AB]$ l'aire du rectangle $MNPQ$
est-elle la plus grande ?
{\sl (On pourra tracer la courbe représentative de $f$ à l'aide
d'une calculatrice, utiliser un tableau de valeurs, ...
mais on prendra soin de justifier précisément et rigoureusement
pourquoi la valeur trouvée est bien la bonne)}
\item Peut-on trouver une valeur de $x$ pour que l'aire du rectangle
soit égale à $2\sqrt3$ ?
\enen
\enex
\bgex
$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=10$ et $BC=8$.
On construit un carré $AMNP$ avec $M\in[AB]$ et $P\in[AD]$
et un rectangle $NQCR$ avec $Q\in[DC]$ et $R\in[BC]$.
On pose $AM=x$.
On colorie les rectangles $MNRB$ et $DPNQ$.
\bgen
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$.
\item Calculer l'aire coloriée.
\item Pour quelle position de $M$ sur $[AB]$ cette aire est-elle la
plus grande ?
{\sl (On pourra tracer un graphique représentant la valeur de l'aire
coloriée en fonction de $x$, utiliser un tableau de valeurs, ...
mais on prendra soin de justifier précisément et rigoureusement
pourquoi la valeur trouvée est bien exactement la bonne)}
\enen
\enex
\bgex
{\bf Partie A. Une fonction particulière}
On considère la fonction $f$ définie sur $[-5;5]$ par l'expresion
$f(x)=3x^2-2$.
On note $\Cf$ sa courbe représentative.
\bgen
\item Remplir le tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|c|*{11}{p{1cm}|}}\hline
\rule[-0.2cm]{0cm}{0.7cm}
$x$ & $-5$ & $-4$ & $-3$&$-2$&$-1$&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$ \\\hline
\rule[-0.4cm]{0cm}{0.9cm}
$f(x)$ &&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\item Placer dans un repère orthogonal les points correspondants de
$\Cf$.
Quelle propriété de symétrie remarque-t'on ?
\item Soit $x$ un nombre réel quelconque de $[0;5]$.
On note $M$ le point de $\Cf$ d'abscisse $x$ et
$M'$ le point de $\Cf$ d'abscisse $-x$.
Quelles sont les ordonnées des points $M$ et $M'$ ?
Quelle relation y-a-t'il entre ces ordonnées ?
Que peut-on en déduire graphiquement ?
\enen
{\bf Partie B. Cas général}
\bgen
\item Soit $f$ une fonction.
Enoncer une propriété générale qui permet conclure que la courbe
$\Cf$ repré\-sentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées.
\vsp\hspace{1cm}
\bgmp{16cm}
{\sl On appelle {\bf\ul{fonction paire}} une fonction dont la courbe
représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.}
\enmp
\vsp
\item Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont paires ?
\vspace{-0.2cm}
a) $f(x)=-3x^2+6$
\qquad
b) $f(x)=x^4-3x^2+5$
\qquad
c) $f(x)=x^2+3x-2$
\qquad
d) $f(x)=\dfrac{x^2}{3x^2-2}$
\enen
{\bf Partie C. Fonctions impaires}
On considère la fonction $f$ définie sur $[-3;3]$ par
$f(x)=x^3-2x$.
\bgen
\item Remplir le tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|c|*{7}{p{1cm}|}}\hline
\rule[-0.2cm]{0cm}{0.7cm}
$x$ & $-3$&$-2$&$-1$&$0$&$1$&$2$&$3$\\\hline
\rule[-0.4cm]{0cm}{0.9cm}
$f(x)$ &&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\item Placer dans un repère orthogonal les points correspondants de
$\Cf$.
Quelle propriété de symétrie remarque-t'on ?
\item Soit $x$ un nombre réel quelconque de $[0;3]$.
On note $M$ le point de $\Cf$ d'abscisse $x$ et
$M'$ le point de $\Cf$ d'abscisse $-x$.
Quelles sont les ordonnées des points $M$ et $M'$ ?
Quelle relation y-a-t'il entre ces ordonnées ?
Que peut-on en déduire graphiquement ?
\item Comme précédemment, énoncer une propriété générale sur une
fonction $f$ qui permet de conclure que sa courbe est symétrique par
rapport à l'origine.
\vsp\hspace{1cm}
\bgmp{16cm}
{\sl On appelle {\bf\ul{fonctions impaires}} de telles
fonctions, dont la courbe
représentative est symétrique par rapport à l'origine.}
\enmp
\vsp
\item Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont impaires ?
a) $f(x)=2x$
\qquad
b) $f(x)=3x+2$
\qquad
c) $f(x)=x+\dfrac1x$
\qquad
d) $f(x)=2x^5-3x^3+x$
\enen
\enex
\bgex
Le plan est muni d'un repère $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\bgen
\item Placer les points $A(2;4)$,
$B(-2;1)$ et $C(-3;5)$
et représenter le vecteur
$\V{AM}=\dfrac12\V{AB}-\V{AC}$.
\item Calculer les coordonnées de
$\V{AB}$, $\V{AC}$ et $\V{AM}$.
Déterminer alors les coordonnées du point $M$.
\item On considère le point $D\lp 1;\dfrac32\rp$.
Les points $A$, $B$ et $D$ sont-ils alignés ?
\enen
\enex
\bgex
Placer dans un repère orthonormal les points:
$A(1;8)$, $B(4;3)$, $C(-1;0)$ et $D(-4;5)$.
\bgen
\item Calculer les coordonnées de $\V{AB}$ et $\V{DC}$.
Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ABCD$ ?
\item Démontrer que l'angle $\widehat{ABC}$ est droit.
$ABCD$ est-il un carré ?
\item Placer dans le repère précédent le point
$M\lp\dfrac{11}{2};\dfrac12\rp$.
Les points $A$, $B$ et $M$ sont-ils alignés ?
Si oui, déterminer le nombre réel $k$ tel que
$\V{AM}=k\V{AB}$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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