@ccueil Colles


Identités remarquables

Éléments incontournables de calcul algébrique

Y. Morel


  1. Les trois identités
    1. Rappel: développement d'un produit, double distributivité
    2. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    3. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    4. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
  2. Identités remarquables pour le développement d'expressions algébriques
  3. Identités remarquables pour la factorisation d'expressions algébriques



I - Les trois identités


Les identités, ou égalités, remarquables sont les trois formules algébriques:
  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

1. Rappel: développement d'un produit, double distributivité


Algébriquement, ces identités reposent simplement sur les règles de calcul algébrique du développement de produits:
  1. Distributivité:
    \[\psarc[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,arrowsize=7pt]{<-}(.3,.4){.3}{-30}{190}
  \psarc[linecolor=red,linewidth=1.5pt,arrowsize=7pt]{->}(.62,-.1){.52}{180}{360}
  a\,(\,b+\,c)=a{\red b}+a{\blue c}\]




  2. Double produit, ou double distributivité:


    \[\begin{array}{ll}
  \psarc[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,arrowsize=7pt]{<-}(.85,.15){.65}{10}{170}
  \psarc[linecolor=red,linewidth=1.5pt,arrowsize=7pt]{->}(1.2,-.1){.4}{180}{358}
  (a+b)(c+d)
  &=a{\blue(c+d)}+b{\red(c+d)}\\[.8em]
  &=ac+ad+bc+bc
  \end{array}\]


2. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$


Algébriquement


Cette identité remarquable résulte du développement du carré et de la double distributivité:
\[\begin{array}{llclclc}
(a+b)^2&=&\multicolumn{5}{l}{(a+b)(a+b)}  \\[.8em]
&=&a\tm a&+&\underbrace{ab+ba}_{ab+ab=2ab}&+&\ b\tm b \\[1.8em]
&=&a^2&+&2ab&+&b^2
\end{array}\]


Géométriquement

Cette identité s'interprète bien évidemment géométriquement. "Bien évidemment" car un carré est bien sûr une figure géométrique.
Ainsi, $(a+b)^2$ est l'aire du carré de côté $a+b$:
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(3,3.2)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline(1,0)(1,3)\psline(0,1)(3,1)
  \rput(.5,-.25){$a$}
  \rput(2,-.25){$b$}
  \rput(-.2,.5){$a$}
  \rput(-.2,2){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$(a+b)$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$(a+b)$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,.5){.22}
  \rput(.5,.5){$a^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](1,1)(3,1)(3,3)(1,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,2){.22}
  \rput(2,2){$b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=black](0,1)(1,1)(1,3)(0,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,2){.22}
  \rput(.5,2){$ab$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=black](1,0)(3,0)(3,1)(1,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,.5){.22}
  \rput(2,.5){$ab$}
\end{pspicture}\]

et où il apparaît assez clairement que dans le calcul de l'aire $(a+b)^2$, il ne faut pas oublier le double produit $2ab$ qui est l'aire des rectangles latéraux:
\[(a+b)^2={\red a^2}+2ab+{\blue b^2}\]


Exemples


  1. $(2+5)^2=2^2+2\tm2\tm5+5^2=4+20+25=49$, ce qui est bien aussi égal à $(2+5)^2=7^2=49$.
  2. $(x+1)^2=x^2+2\tm x\tm1+1^2=x^2+2x+1$
  3. $\lp x+\dfrac13\rp^2=x^2+2\tm x\tm\dfrac13+\lp\dfrac13\rp^2=x^2+\dfrac23x+\dfrac19$
  4. $(2x+3)^2=\lp2x\rp^2+2\tm\lp2x\rp\tm3+3^2=4x^2+12x+9$

2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$


Algébriquement

Cette identité remarquable résulte aussi du développement du carré et de la double distributivité:
\[\begin{array}{lccclc}
(a-b)^2&=&\multicolumn{4}{l}{(a-b)(a-b)}  \\[.8em]
&=&a\tm a&\underbrace{-ab-ba}_{ab+ab=2ab}&-&\ b\tm (-b) \\[1.8em]
&=&a^2&-2ab&+&b^2
\end{array}\]


On peut aussi voir cette indentité remarquable comme un cas particulier de la précédente:
\[\begin{array}{ll}
(a-b)^2=\Bigl( a+(-b)\Bigr)^2
&=a^2+2a(-b)+(-b)^2\\[.8em]
&=a^2-2ab+b^2
\end{array}\]


Géométriquement

Cette identité remarquable s'interprète bien sûr aussi géomtriquement, avec des aires de … carrés.

\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \rput(2.5,-.25){$b$}
  \rput(-.2,2.5){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$a$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$a$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1,1.05)(.8,.35)
  \rput(1,1){$(a-b)^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](2,2)(3,2)(3,3)(2,3)
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](3,3)(4,3)(4,4)(3,4)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](3.5,3.5){.22}
  \rput(3.5,3.5){$b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt,hatchcolor=black](0,2)(3,2)(3,3)(0,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1.5,2.5){.22}
  \rput(1.5,2.5){$ab$}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt,hatchcolor=black](2,0)(3,0)(3,2)(2,2)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,1.5){.22}
  \rput(2.5,1.5){$ab$}
\end{pspicture}\]

où en comptant cette fois l'aire $ab$ des deux rectangles latéraux, on compte deux fois l'aire $\blue b^2$ du carré de côté $b$, et donc
\[{\red (a-b)^2}+2ab=a^2+{\blue b^2}\]


Exemples


  1. $(5-2)^2=5^2-2\tm5\tm2+2^2=25-20+4=9$, ce qui est bien aussi égal à $(5-2)^2=3^2=9$.
  2. $(x-1)^2=x^2-2\tm x\tm1+1^2=x^2-2x+1$
  3. $\lp x-\dfrac13\rp^2=x^2-2\tm x\tm\dfrac13+\lp\dfrac13\rp^2=x^2-\dfrac23x+\dfrac19$
  4. $(2x-3)^2=\lp2x\rp^2-2\tm\lp2x\rp\tm3+3^2=4x^2-12x+9$

3. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$


Algébriquement

On développe le produit dans lequel deux termes s'annulent:
\[\begin{array}{ll}
(a+b)(a-b)&=a\tm a + a\tm (-)b+b\tm a +b\tm(-b)\\[.8em]
&=a^2\underbrace{-ab+ba}_{=0}-b^2\\[1.6em]
&=a^2-b^2
\end{array}\]


Géométriquement


On peut interpréter géométriquement cette dernière égalité à l'aide de carrés et de rectangles; il faut ici déplacer un rectangle pour faire apparaître le rectangle de côté $(a+b)$:
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.6,5.2)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \rput(2.5,-.25){$b$}
  \rput(-.2,2.5){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$a$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$a$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(3,0)(3,2)(2,2)(2,3)(0,3)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1,1.05)(.8,.35)
  \rput(1,1){$a^2-b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](2,2)(3,2)(3,3)(2,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,2.5){.22}
  \rput(2.5,2.5){$b^2$}
  \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)
  \psline[linestyle=dashed](0,2)(2,2)
  \rput(-.2,3.5){$b$}
  \psarc[linewidth=1.4pt]{->}(3,2.5){1.5}{270}{125}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt](2,0)(3,0)(3,2)(2,2)
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt](0,3)(2,3)(2,4)(0,4)
  \psline{<->}(0,4.6)(2,4.6)
  \rput(1,4.9){$(a-b)$}
\end{pspicture}\]


\[{\red a^2-b^2}=(a+b)(a-b)\]


Exemples


  1. $(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9$
  2. $(2x+6)(2x-6)=(2x)^2-6^2=4x^2-36$
  3. $x^2-1=x^2-1^2=(x+1)(x-1)$
  4. $x^2-5=\lp x+\sqrt5\rp\lp x-\sqrt5\rp$
  5. $4-3=\lp\sqrt4+\sqrt3\rp\lp\sqrt4-\sqrt3\rp=1$

II - Identités remarquables pour le développement d'expressions algébriques


Développer une expression algébrique consiste à transformer les produits en additions et/ou soustractions.
Dans les expressions précédentes des identités remarquables, le terme de gauche de l'égalité est factorisé, celui de droite est développé.

4. Exercices

Développer:
  1. $(x+2)^2$

  2. $(x-3)^2$

  3. $(x-y)^2$

  4. $(x-2)(x+2)$

  5. $(2x-3)(2x+3)$

  6. $(x-2y)(x+2y)$

  7. $(2x+3)^2$

  8. $(3x-2)^2$

  9. $\lp 3x+\dfrac13\rp^2$

  10. $\lp\dfrac12x-4\rp^2$

  11. $(3x-4)^2(x+2)$

  12. $(x+3)^3$

III - Identités remarquables pour la factorisation d'expressions algébriques


Factoriser une expression consiste à tranformer les sommes et différences en produits.

Pour factoriser une expression, on peut soit:
  • identifier un terme commun et le mettre en facteur
  • utiliser une identité remarquable


Dans les expressions précédentes des identités remarquables, le terme de gauche de l'égalité est factorisé, celui de droite est développé.

Exemples de factorisation


  • $3{\red x}+2{\red x}={\red x}(3+2)=5x$

  • $6{\red x}-k{\red x}={\red x}(6-k)$

  • $3{\red (x+2)}+(x+1){\red (x+2)}
  ={\red (x+2)}\Bigl(3+(x+1)\Bigr)=(x+2)(x+4)$

  • ${\red (x+1)}(3x+2)+{\red (x+1)}(x+5)
  ={\red (x+1)}\Bigl((3x+2)+(x+5)\Bigr)=(x+1)(4x+7)$

  • $x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

  • $(3x+2)^2-(x+2)^2=\Bigl((3x+2)+(x+2)\Bigr)\Bigl((3x+2)-(x+2)\Bigl)
  =(4x+4)(2x)$,
    On peut encore factoriser cette expression: $({\red 4}x+{\red 4})(2x)={\red 4}(x+1)(2x)=8x(x+1)$

Exercices

Factoriser les expressions suivantes:
  1. $A(x)=(2x-3)(x-2)+(2x-3)(x+4)$

  2. $B(x)=(x-3)(3x-7)-(x-3)(x+4)$

  3. $C(x)=(5x+3)(x+2)+(3-4x)(x+2)$

  4. $D(x)=(2x+2)(3x-3)-(x-3)(2x+2)$

  5. $E(x)=(3x^2+2x)(x-6)-(x+7)(3x^2+2x)$

  6. $F(x)=(-2x+5)^2+(-2x+5)(3x-4)$

  7. $G(x)=(x+2)^2-9$

  8. $H(x)=(2x+3)^2-(x-3)^2$

  9. $I(x)=2(x^2-9)-(x-3)(x+2)$


Voir aussi