@ccueil Colles

Identités remarquables

Éléments incontournables de calcul algébrique



I - Les trois identités remarquables


Les identités, ou égalités, remarquables sont les trois formules algébriques:
  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

1. Rappel: développement d'un produit, double distributivité


Algébriquement, ces identités reposent simplement sur les règles de calcul algébrique du développement de produits:
  1. Distributivité:
    a(b+c)=ab+ac
  2. Double produit, ou double distributivité:
    (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bc

2. Première identité remarquable: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$


Algébriquement


Cette identité remarquable résulte du développement du carré et de la double distributivité:

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=axa+axb+bxa+b^2=a^2+2ab+b^2


Géométriquement

Cette identité s'interprète bien évidemment géométriquement. "Bien évidemment" car un carré est bien sûr une figure géométrique.
Ainsi, $(a+b)^2$ est l'aire du carré de côté $a+b$:
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(3,3.2)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline(1,0)(1,3)\psline(0,1)(3,1)
  \rput(.5,-.25){$a$}
  \rput(2,-.25){$b$}
  \rput(-.2,.5){$a$}
  \rput(-.2,2){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$(a+b)$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$(a+b)$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,.5){.22}
  \rput(.5,.5){$a^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](1,1)(3,1)(3,3)(1,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,2){.22}
  \rput(2,2){$b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=black](0,1)(1,1)(1,3)(0,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](.5,2){.22}
  \rput(.5,2){$ab$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=black](1,0)(3,0)(3,1)(1,1)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2,.5){.22}
  \rput(2,.5){$ab$}
\end{pspicture}

et où il apparaît assez clairement que dans le calcul de l'aire (a+b)^2, il ne faut pas oublier le double produit 2ab qui est l'aire des rectangles latéraux:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Exemples

  1. (2+5)^2=2^2+2x2x5+5^2=4+20+25=49, ce qui est bien aussi égal à (2+5)^2=7^2=49
  2. (x+1)^2=x^2+2\tm x\tm1+1^2=x^2+2x+1
  3. (x+\dfrac13)^2=x^2+2\tm x\tm\dfrac13+(\dfrac13)^2=x^2+\dfrac23x+\dfrac19
  4. (2x+3)^2=(2x)^2+2\tm(2x)\tm3+3^2=4x^2+12x+9

3. Deuxième identité remarquable: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$


Algébriquement

Cette identité remarquable résulte aussi du développement du carré et de la double distributivité:

(a-b)^2=(a-b)(a-b)=axa-axb-bxa+b^2=a^2-2ab+b^2


On peut aussi voir cette indentité remarquable comme un cas particulier de la précédente:

(a-b)^2=\Bigl( a+(-b)\Bigr)^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2


Géométriquement

Cette identité remarquable s'interprète bien sûr aussi géomtriquement, avec des aires de … carrés.

\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \rput(2.5,-.25){$b$}
  \rput(-.2,2.5){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$a$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$a$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(2,0)(2,2)(0,2)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1,1.05)(.8,.35)
  \rput(1,1){$(a-b)^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](2,2)(3,2)(3,3)(2,3)
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](3,3)(4,3)(4,4)(3,4)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](3.5,3.5){.22}
  \rput(3.5,3.5){$b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt,hatchcolor=black](0,2)(3,2)(3,3)(0,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1.5,2.5){.22}
  \rput(1.5,2.5){$ab$}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt,hatchcolor=black](2,0)(3,0)(3,2)(2,2)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,1.5){.22}
  \rput(2.5,1.5){$ab$}\end{pspicture}

où en comptant cette fois l'aire ab des deux rectangles latéraux, on compte deux fois l'aire b^2 du carré de côté b, et donc

(a-b)^2+2ab=a^2+b^2

Exemples

  1. (5-2)^2=5^2-2x5x2+2^2=25-20+4=9, ce qui est bien aussi égal à (5-2)^2=3^2=9
  2. (x-1)^2=x^2-2\tm x\tm1+1^2=x^2-2x+1
  3. (x-\dfrac13)^2=x^2-2\tm x\tm\dfrac13+(\dfrac13)^2=x^2-\dfrac23x+\dfrac19
  4. (2x-3)^2=(2x)^2-2\tm(2x)\tm3+3^2=4x^2-12x+9

4. Troisième identité remarquable: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Algébriquement

On développe le produit dans lequel deux termes s'annulent:
(a+b)(a-b)=axa + ax(-)b+bxa +bx(-b)=a^2-ab+ab+b^2=a^2-b^2

Géométriquement

On peut interpréter géométriquement cette dernière égalité à l'aide de carrés et de rectangles; il faut ici déplacer un rectangle pour faire apparaître le rectangle de côté (a+b):
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.6,5.2)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \rput(2.5,-.25){$b$}
  \rput(-.2,2.5){$b$}
  \psline{<->}(0,-.6)(3,-.6)\rput(1.5,-.9){$a$}
  \psline{<->}(-.6,0)(-.6,3)\rput{90}(-.9,1.5){$a$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=red](0,0)(3,0)(3,2)(2,2)(2,3)(0,3)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](1,1.05)(.8,.35)
  \rput(1,1){$a^2-b^2$}
  \pspolygon[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue](2,2)(3,2)(3,3)(2,3)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](2.5,2.5){.22}
  \rput(2.5,2.5){$b^2$}
  \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)
  \psline[linestyle=dashed](0,2)(2,2)
  \rput(-.2,3.5){$b$}
  \psarc[linewidth=1.4pt]{->}(3,2.5){1.5}{270}{125}
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt](2,0)(3,0)(3,2)(2,2)
  \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt](0,3)(2,3)(2,4)(0,4)
  \psline{<->}(0,4.6)(2,4.6)
  \rput(1,4.9){$(a-b)$}\end{pspicture}


a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Exemples

  1. (x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9
  2. (2x+6)(2x-6)=(2x)^2-6^2=4x^2-36
  3. x^2-1=x^2-1^2=(x+1)(x-1)
  4. x^2-5=(x+\sqrt5)(x-\sqrt5)
  5. 4-3=(\sqrt4+\sqrt3)(\sqrt4-\sqrt3)=1

II - Identités remarquables pour le développement d'expressions algébriques


Développer une expression algébrique consiste à transformer les produits en additions et/ou soustractions.
Dans les expressions précédentes des identités remarquables, le terme de gauche de l'égalité est factorisé, celui de droite est développé.

4. Exercices

Développer:
  1. $(x+2)^2$

  2. $(x-3)^2$

  3. $(x-y)^2$

  4. $(x-2)(x+2)$

  5. $(2x-3)(2x+3)$

  6. $(x-2y)(x+2y)$

  7. $(2x+3)^2$

  8. $(3x-2)^2$

  9. $\lp 3x+\dfrac13\rp^2$

  10. $\lp\dfrac12x-4\rp^2$

  11. $(3x-4)^2(x+2)$

  12. $(x+3)^3$

III - Identités remarquables pour la factorisation d'expressions algébriques

Factoriser une expression consiste à tranformer les sommes et différences en produits.

Pour factoriser une expression, on peut soit:
  • identifier un terme commun et le mettre en facteur
  • utiliser une identité remarquable

Dans les expressions précédentes des identités remarquables, le terme de gauche de l'égalité est factorisé, celui de droite est développé.

Exemples de factorisation

  • 3x+2x=x(3+2)=5x
  • 6x-kx=x(6-k)
  • 3(x+2)+(x+1)(x+2)=(x+2)(3+(x+1))=(x+2)(x+4)
  • (x+1)(3x+2)+(x+1)(x+5)=(x+1)((3x+2)+(x+5))=(x+1)(4x+7)
  • x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)
  • (3x+2)^2-(x+2)^2=((3x+2)+(x+2))((3x+2)-(x+2))=(4x+4)(2x),
    On peut encore factoriser cette expression: $(4x+4)(2x)=4(x+1)(2x)=8x(x+1)$

Exercices

Factoriser les expressions suivantes:
  1. $A(x)=(2x-3)(x-2)+(2x-3)(x+4)$

  2. $B(x)=(x-3)(3x-7)-(x-3)(x+4)$

  3. $C(x)=(5x+3)(x+2)+(3-4x)(x+2)$

  4. $D(x)=(2x+2)(3x-3)-(x-3)(2x+2)$

  5. $E(x)=(3x^2+2x)(x-6)-(x+7)(3x^2+2x)$

  6. $F(x)=(-2x+5)^2+(-2x+5)(3x-4)$

  7. $G(x)=(x+2)^2-9$

  8. $H(x)=(2x+3)^2-(x-3)^2$

  9. $I(x)=2(x^2-9)-(x-3)(x+2)$


Voir aussi
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