Résolution d'équations
Les équations qu'il faut savoir résoudre en seconde (et bien après)
"Une démonstration n'est pas autre chose que la résolution d'une vérité
en d'autres vérités déjà connues."
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Mathématicien, philosophe, scientifique, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand
Mathématicien, philosophe, scientifique, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand
Résoudre une équation, par exemple
où
est une
expression algébrique contenant l'inconnue
,
consiste à trouver toutes les solutions
de l'équation, c'est-à-dire
toutes les valeurs du nombre
telles
que l'égalité
est vraie.





Exemple:
Pour l'équation
,
on peut vérifier que
est une solution.
En effet, si on remplace
par
, on a bien:
Ainsi,
est bien une solution de cette équation.
Par contre on ne peut pas affirmer avoir résolu celle-ci car on ne
sait pas, a priori, si il y en a d'autres.
On ne connaît ainsi pas toutes les solutions.
On pourrait vérifier de même que
est aussi une
solution:
On connaît donc une deuxième solution, mais on ne peut pas encore
affirmer avoir résolu l'équation…


En effet, si on remplace



Ainsi,

On ne connaît ainsi pas toutes les solutions.
On pourrait vérifier de même que


L'objectif de ce qui suit est justement la résolution d'équations,
c'est-à-dire la détermination de toutes les solutions d'une équation
(les trouver, et être sûr de les avoir toutes).
On sait résoudre seulement cinq types d'équation. Toutes les équations vues en seconde, première, terminale, et bien après (équations du 2nd degré, ou de degré supérieur, équations trigonométriques, logarithmiques, …), reposent ensuite sur ces cinq types.
On sait résoudre seulement cinq types d'équation. Toutes les équations vues en seconde, première, terminale, et bien après (équations du 2nd degré, ou de degré supérieur, équations trigonométriques, logarithmiques, …), reposent ensuite sur ces cinq types.
-
Les équations du premier degré:
qui se résolvent par:.
-
Les équations produits nuls:
qui se résolvent simplement, car un produit est nul si et seulement un de ses facteurs est nul, donc,
Remarque 1: Bien sûr, il peut y avoir bien plus de deux facteurs, par exemple pour trois facteurs:
Remarque 2: Les équations produits sont fondamentales. Elles permettent de décomposer, de manière équivalente, une équation en plusieurs équations plus simples.
Lorsqu'une équation n'est pas directement sous la forme de produits de facteurs, il est souvent possible de la transformer pour les faire apparaître: on factorise alors l'expression.
Pour cette raison particulière, savoir factoriser une expression et une opération fondamentale en mathématiques.
-
Les équations quotients nuls:
qui se résolvent simplement, car un quotient est nul si et seulement son numérateur est nul et son dénominateur est non nul, donc,
Remarque: Les valeurs depour lesquelles le dénominateur est nul:
, en dehors même de toute équation, font en sorte que le quotient
n'existe pas (la division par
n'existe pas !).
Ces valeurs des'appellent des valeurs interdites pour l'expression
et ne risquent pas, d'aucune façon, d'être solutions de l'équation.
-
Les équations (de type) carré:
pour lesquelles, selon la valeur du nombre réel:
- si
: l'équation
n'a aucune solution
(un carré ne pouvant être égal à un nombre négatif) - si
: l'équation
est équivalente à
.
- si
: l'équation
est équivalente à
- si
-
Les équations (de type) racine carrée:
pour lesquelles, selon les valeurs du nombre réel,
- si
: l'équation
n'a aucune solution
(une racine carrée ne pouvant être égale à un nombre négatif) - si
: l'équation
est équivalente à
et
.
Remarque: Les valeurs depour lesquelles on a
, en dehors même de toute équation, font en sorte que la racine carrée
n'existe pas (la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les nombres réels !).
Ces valeurs des'appellent des valeurs interdites pour l'expression
et ne risquent pas, d'aucune façon, d'être solutions de l'équation.
- si
On donne maintenant un exemple pour chacun de ces types d'équation.
Exemple 1:



Exemple 2:



Ces deux dernières équations sont maitenant des équations plus simples du 1er degré:

L'équation



Exemple 3:



Ces deux dernières équations sont maitenant des équations plus simples du 1er degré:





L'équation


Exemple 4:





Ces deux dernières équations sont des équations plus simples du 1er degré:

Ainsi, l'équation



Exemple 5:





La première équation est du 1er degré, et se résout simplement:

On vérifie bien de plus, que pour


L'équation


Exercices
Exercices Résoudre les équations: