Résolution graphique d'inéquations avec python

Tableaux de signes
On reprend pour commencer des éléments du TP précédent sur les fonctions: plus spécifiquement, en traçant le graphique d'une fonction, on s'intéresse tout d'abord à certains points d'intersection et à son tableau de signes.
Exercice 1: On considère la fonction f définie par l'expression: f (x) = 2x − 5.
  1. Représenter graphiquement la fonction f, et dresser son tableau de variation sur l'intervalle [ -10 ; 10 ].
  2. Déterminer graphiquement, puis par le calcul les coordonnées du point d'intersection de la courbe de f et de l'axe des ordonnées.
  3. Déterminer de même graphiquement, puis par le calcul les coordonnées du point d'intersection de la courbe de f et de l'axe des abscisses.
  4. Donner le tableau de signes de f.

Exercice 2: Reprendre l'exercice précédent avec la fonction g définie par l'expression: g (x) = −3x − 2.

Exercice 3: On considère la fonction f définie par l'expression: f (x) = 2x − 5.
  1. Représenter graphiquement la fonction f.
  2. Résoudre graphiquement l'inégalité f (x) ≥ 3.
  3. Résoudre l'inéquation précédente par le calcul et comparer les résultats.


Exercice 4:
  1. De même que dans l'exercice précédent, résoudre graphiquement l'inégalité x2 + 3x +3 ≥ 1.
  2. Après avoir vérifier l'identité: (x + 1) (x + 2) = x2 + 3x + 2. résoudre par le calcul l'inégalité précédente, à l'aide d'un tableau de signes.

Exercice 5:
  1. Représenter sur un même graphique les deux fonctions définies par f (x) = −x2 + 4x − 1 et g(x) = x − 1,
  2. Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles on a f (x) ≤ g(x).
  3. Après avoir factorisé l'expression − x2 + 3x, déduire, par le calcul à l'aide d'un tableau de signes, les solutions exactes trouvées graphiquement précédement.

Exercice 6: Dans une entreprise, une modélisation des ventes d'un produit à permis d'exprimer le bénéfice, en euros, B (x) en fonction du nombre x d'objets vendus.
Cette expression est B (x) = −2x2 + 900x - 70000
  1. Définir cette fonction dans un programme Python.
    1. Quel est le bénéfice réalisé pour 50 objets vendus ? pour 200 objets ? pour 500 objets ?
    2. Déterminer graphiquement le nombre d'objets vendus et permettant d'être rentable.
    3. Montrer que, pour tout nombre x, on a: −2x2 + 900x - 70000 = ( 2x - 700 ) ( −x + 100 ) .
      Déterminer alors les nombres exacts d'objets, par le calcul, permettant la rentabilité des ventes.
    1. Déterminer graphiquement le nombre d'objets à vendre pour avoir le meilleur bénéfice.
    2. Montrer que, pour tout nombre x, on a: −2x2 + 900x - 70000 = −2( x − 225 )2 + 31250 .
    3. Étudier alors le sens de variation de la fonction B sur [0 ; 225] et sur [225 ; +∞[ et donner le tableau de variation de B.
      Retrouver alors la valeur exacte du bénéfice maximum.

Exercice 7: Un projectile est lancé d'une hauteur h = 1m, et avec une vitesse initiale v = 2m/s.
Sa hauteur y est donnée en fonction de x par l'expression
y(x) = −2g/v2 x2+ 3 x + h
avec g = 9,81 m.s-2 l'accélération de la pesanteur (à la surface de la Terre).
  1. Tracer la trajectoire de ce projectile, avant qu'il ne touche le sol.
  2. À quelle vitesse v faut-il lancer initialement ce projectile pour qu'il retombe sur le sol 5m plus loin ?


Voir aussi:
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