Compléments sur les fonctions: équations et inéquations

Résolution d'inéquations

Tout comme pour la résolution d'équations rappelée au tout début de ce cours,
Définition
Résoudre l'inéquation A(x)≥a, c'est trouver tous les nombres x tels que A(x)≥a.

Par exemple, l'inéquation I: x2 − 2x≥0 est l'inéquation A(x)≥a avec le nombre a = 0 et la fonction A définie par l'expression A(x) = x2 − 2x.


Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l'inéquation I: x2 − 2x≥0 on reprend la même démarche que pour la résolution de l'équation correspondante et on trace la courbe de la fonction A
\[\psset{unit=.9cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-3,-2.5)(5,3.6) \psline{->}(-3,0)(5,0) \psline{->}(0,-2.5)(0,3.6) \multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){$\i$}} \multido{\i=-2+1}{6}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$}} \psplot[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{-3}{0}{x 2 exp 2 x mul sub} \psplot[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{2}{4}{x 2 exp 2 x mul sub} \psplot{0}{2}{x 2 exp 2 x mul sub} \rput(0,0){\LARGE\bf\red$\tm$} \rput(2,0){\LARGE\bf\red$\tm$} \end{pspicture*}\]

On trouve graphiquement que pour toutes les valeurs de x négatives et pour toutes les valeurs de x supérieures à 2, on a A(x)≥0.
On écrit alors les solutions sous la forme de la réunion des ces deux intervalles:
S = ]−∞; 0 ] ∪ [ 2; +∞[


Exercice 4
Résoudre, à l'aide du graphique précédent, l'inéquation x2 − 2x≥2


Exercice 5
On considère les inéquations

I1: 2x − 3≥2.  


I2: x2 + 2x + 4≥3  


I3: 3/2x − 3≥2  


I4: (2x − 3)2≥4  


Écrire chaque équation sous la forme f (x)≥a, en précisant à chaque fois l'expression de f (x) et le nombre a.
Tracer alors à l'aide de la calculatrice la courbe représentative de la fonction f et résoudre graphiquement l'équation.



On peut (et doit !) aussi chercher à résoudre algébriquement ces inéquations.

Résolution algébrique

Voir aussi le cours sur la résolution algébrique d'inéquations et les tableaux de signes.
Méthode générale pour résoudre une inéquation
On se ramène à l'étude d'un signe, c'est-à-dire à une inéquation de la forme A(x)≤0, ou A(x)<0, ou A(x)≥0, ou A(x)>0, en prenant garde à l'ordre (c'est-à-dire au sens de l'inéquation) à chaque opération effectuée, et avec A(x) une expression algébrique ne contenant que des produits et/ou quotients de termes du premier degré (de la forme ax + b ).

On peut alors dresser un tableau de signes et appliquer la règle des signes pour les produits et quotients.

Remarque/Rappel: Chercher le signe de l'expression algébrique A(x) est équivalent à résoudre toutes les inéquations A(x)<0, A(x)>0, et l'équation A(x) = 0.


Exemple:
Pour résoudre l'inéquation: x(x + 2)≥ (2x + 1)(x + 2)
on transforme tout d'abord l'inéquation pour se ramener à une étude de signes de facteurs du premier degré:
x(x + 2)≥ (2x + 1)(x + 2) ⇔ x(x + 2) − (2x + 1)(x + 2)≥0 ⇔ (x + 2) [x − (2x + 1)]≥0 ⇔ (x + 2) (−x − 1)≥0
On peut alors dresser le tableau de signes de l'expression (x + 2)(−x − 1):
x −∞ −2 −1 +∞
x + 2 − 0 + | +
−x − 1 + | + 0 −
(x + 2) (−x − 1) − 0 + 0 −

On veut que ce produit soit positif ou nul; les solutions de l'inéquation sont donc:
S = [ − 2 ; −1 ]



Exercice 6
Résoudre algébriquement les inéquations de l'exercice précédent, et retrouver les résultats trouvés graphiquement (et approximatifs donc).



Exercice 7
Résoudre les inéquations:

(2 x + 3)(−3x + 2)>0
  


x(3x + 1)<(2x + 3)x
  


(2x + 4)2≥(2x + 4)(x −3)
  


x2≥9
  


1 + 1/x + 2≤0
  


2x + 3/5x − 20≥3
  


8 − 11x + 12/2x − 3≥2
  


3/2x + 1 < 4/x − 3
  


Position relative de deux courbes


Définition
Étudier la position relative de deux courbes Cf et Cg, c'est déterminer quelle courbe est au-dessous ou au-dessus de l'autre.

Par exemple pour des fonctions f et g définies sur [−5 ; 5], avec les représentations graphiques:
\[\begin{pspicture}(-5.5,-4.2)(5.6,4)\psline{->}(-5.3,0)(5.5,0)\psline{->}(0,-4.2)(0,4) \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.4){$\i$}} \pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.6pt](-5,-4)(-4.3,-1)(-3,1)(-2,0)(-1,-.5)(0,-.5)(1,.1)(2,1)(3,2)(4,2.5)(5,2) \rput(-5.15,-2.9){\blue\large$\mathcal{C}_f$} \pscurve[linecolor=black,linewidth=1.6pt](-5,3)(-4,2)(-3,0)(-2,-.4)(-1,.3)(0,.5)(1,1)(2,-1.5)(3,-2)(4,-2.5)(5,-3) \rput(-4.7,2.2){\large$\mathcal{C}_g$} \psline[linestyle=dashed](-3.46,-4)(-3.46,3.3) \psline[linestyle=dashed](-1.72,-4)(-1.72,3.3) \psline[linestyle=dashed](1.46,-4)(1.46,3.3) \rput[r](-3.5,-.25){$a$}\rput(-1.85,.25){$b$}\rput(1.3,-.3){$c$}\end{pspicture}\]


on a ici,
  • Cf est au-dessous de Cg sur [−5 ; a] et sur [b ; c]
  • Cf est au-dessus de Cg sur [a ; b] et sur [c ; 5 ]

Pour étudier algébriquement ce problème, on pose d(x) = f (x) − g(x) la différence entre les deux fonctions.
Algébriquement, on a alors

Cf au-dessous de Cg ⇔ f (x) ≤ g(x) ⇔ f (x) − g(x)≤0 ⇔ d(x) négatif Cf  au-dessus de  Cg ⇔ f (x) ≥ g(x) ⇔ f (x) − g(x)≥0 ⇔ d(x) positif


On peut donc écrire, en résumé,
Propriété
Pour étudier la position relative des deux courbes Cf et Cg, représentatives des fonctions f et g, on étudie le signe de la différence d(x) = f (x) − g(x) .



Exercice 8
Soit f (x) = 3x2 − 2x − 2 et g(x) = 6x − 2 .
  1. Représenter graphiquement les courbes Cf et Cg et étudier graphiquement leur position relative.
  2. Étudier exactement, algébriquement, leur position relative.


Exercice 9
On considère les trois fonctions de référence f(x) = x , g(x) = x2 et h(x) = x3 définies sur [0 ; +∞[.
On note Cf, Cg et Ch, leur courbes représentatives respectives.
  1. Tracer dans un même repère ces trois courbes et conjecturer leurs positions relatives.
  2. Démontrer algébriquement ces résultats, en étudiant tout d'abord la position relative de Cf et Cg, puis la position relative de Cg et Ch.


Exercice 10
On considère les fonctions f et g définies sur R par les expressions f (x) = x3 + x2 + x + 1 et g(x) = x3 − 3x2 + 5x .
On note Cf et Cg leur courbes représentatives respectives.
  1. Tracer, à l'aide de la calculatrice ou d'un ordinateur, et sur un même graphique, ces courbes représentatives.
    Conjecturer la position relative de ces courbes.
  2. Exprimer f (x) − g(x) et étudier alors algébriquement la position relative des deux courbes.


Exercice 11
On considère les fonctions f et g définies sur R par les expressions f (x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 2 et g(x) = x2 + 5x + 2 .
On note Cf et Cg leur courbes représentatives respectives.
  1. Tracer, à l'aide de la calculatrice ou d'un ordinateur, et sur un même graphique, ces courbes représentatives.
    Conjecturer la position relative de ces courbes.
    1. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a l'égalité: 2x2 + x − 3 = (x −1)(2x + 3).
    2. Exprimer f (x) − g(x) et étudier alors algébriquement la position relative des deux courbes.

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