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Second degré et polynômes


Résolution d'équation, inéquations et problèmes du second degré



Table des matières

$\displaystyle \begin{pspicture}(-4,0)(4,4)\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}\ps...	...t(2.3,-0.3){\large$x_2$}%\rput(0.35,3.7){\Large$ax^2+bx+c$}\end{pspicture}$

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Trinôme du second degré



Equations du second degré


Définition On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme $ ax^2+bx+c$ , où $ a$, $ b$ et $ c$ sont trois nombres réels quelconques, et $ a\not=0$.

Exemple: de trinômes du second degré:

Trinômes $ a$ $ b$ $ c$
$ P(x)=3x^2+2x-5$ $ a=3$ $ b=2$ $ c=-5$
$ Q(x)=\sqrt{2}x^2-3x+\dfrac23$ $ a=\sqrt{2}$ $ b=-3$ $ c=\dfrac23$
$ R(x)=-x^2+\dfrac52x$ $ a=-1$ $ b=\dfrac52$ $ c=0$
$ S(x)=3x^2-\left(1-\sqrt{2}\right)x-\pi$ $ a=3$ $ b=-\left(1-\sqrt{2}\right)$ $ c=-\pi$
$ T(x)=\dfrac65 x^2-3$ $ a=\dfrac65$ $ b=0$ $ c=-3$
$ U(x)=(x-2)^2+3(x+3)$ $ a=\dots$ $ b=\dots$ $ c=\dots$


Définition On appelle discriminant du trinôme du second degré     $ ax^2+bx+c$ , noté $ \Delta$ , le nombre: $\displaystyle \Delta=b^2-4ac .$

Exemple: de discriminant de trinômes du second degré:

Trinômes $ a$ $ b$ $ c$ $ \Delta$
$ P(x)=3x^2+2x-5$ $ a=3$ $ b=2$ $ c=-5$ $ \Delta=64$
$ Q(x)=x^2+2x+1$ $ a=1$ $ b=2$ $ c=1$ $ \Delta=0$
$ R(x)=x^2-\sqrt{2}x-5$ $ a=1$ $ b=\sqrt{2}$ $ c=-5$ $ \Delta=22$


Propriété
$ \bullet$ Si $ \Delta>0$, l'équation $ ax^2+bx+c=0$ (avec $ a\not=0$) admet deux solutions distinctes (aussi appelées racines):
$\displaystyle x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$    et $\displaystyle \quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$ \bullet$ Si $ \Delta=0$, l'équation $ ax^2+bx+c=0$ (avec $ a\not=0$ ) admet une unique solution (ou racine) double: $\displaystyle x_0=\dfrac{-b}{2a}$
$ \bullet$ Si $ \Delta<0$, l'équation $ ax^2+bx+c=0$ n'admet aucune solution réelle.


Exercice 1. Déterminer les solutions des équations:

a) $ x^2-2x+1=0$


b) $ x^2-1=0$

c) $ 4x^2+8x-5=0$

d) $ 3x^2+x+6=0$


Signe d'un trinôme du second degré


Propriété Soit $ f(x)=ax^2+bx+c$, ( $ a\not=0$). Alors:
$ \bullet$ Si $ \Delta>0$, l'équation $ f(x)=0$ admet deux solutions distinctes $ x_1$ et $ x_2$ et
$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$ & $-\infty... ... & Signe de & \\&& de $a$ && de $-a$ && de $a$& \hline\end{tabular} $


$ \bullet$ Si $ \Delta=0$, l'équation $ f(x)=0$ admet une unique solution $ x_0$ et
$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccc\vert}\hline $x$ & $-\infty$\... ...ut(0,-0.2){$0$}& Signe &\\&& de $a$ && de $a$& \hline\end{tabular} $


$ \bullet$ Si $ \Delta<0$, le trinôme $ f(x)$ n'a pas de racine et
$\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccc\vert}\hline $x$ & $-\infty$ && $+\infty$  \hline $f(x)$ && Signe de $a$ & \hline \end{tabular} $


Exercice 2. Etudier le signe de:

a) $ P(x)=x^2-2x+1$

b) $ Q(x)=x^2-1$

c) $ S(x)=-3x^2+5x-2$

d) $ T(x)=2x^2+x+3$

Exercices


Exercice 3. Résoudre les inéquations:

a) $ x^2-2x+1>0$


b) $ -3x^2+5x-2\leqslant 0$


c) $ x(2x-5)\geqslant x-6$



Exercice 4. Etudier le signe de:
a) $ f(x)=-x^2+x-3$



b) $ g(x)=x-\dfrac{1}{x}$



c) $ h(x)=2x+\dfrac{4}{x-3}$



Exercices: Résolution d'équations et inéquations du 2nd degré Lien vers les exercices corrigés



Exercice 5. (Equations bicarrées)
En effectuant le changement de variable $ X=x^2$ , résoudre les équations:

a) $ x^4-13x^2+36=0$



b) $ x^2+\dfrac{1}{x^2}-6=0$




Exercice 6. Déterminer les points d'intersection (s'ils existent) de la parabole $ \mathcal{P}$ et de la droite $ \mathcal{D}$ d'équations: $ \mathcal{P}: y=x^2-3x+1$     et     $ \mathcal{D}: y=-2x+1$



Exercice 7. Déterminer les points d'intersection des paraboles $ \mathcal{P}$ et $ \mathcal{P}'$ d'équations: $ \mathcal{P}: y=x^2-x+2$     et     $ \mathcal{P}': y=-x^2+2x-6$



Exercice 8. Soit $ m$ un nombre réel. On considère l'équation     $ 4x^2+(m-1)x+1=0$.
Déterminer $ m$ pour que cette équation admette une unique solution.
Déterminer alors cette solution.




Polynôme



Théorème fondamental


Définition
Un polynôme est une expression de la forme:
$\displaystyle ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\dots+dx+e$
avec $ a$, $ b$, $ c$, $ d$ et $ e$ des nombres réels quelconques, et $ n$ un entier naturel.
L'entier $ n$ est le degré du polynôme.


Exemple:
$ \bullet$ $ P(x)=3x^4-2x^3+\dfrac12 x^2-\sqrt{2}x+3$ est un polynôme de degré 4.
$ \bullet$ $ Q(x)=5x^7-3x^2+4$ est un polynôme de degré 7.
$ \bullet$ $ R(x)=x^2+x+1$ est un polynôme (trinôme) de degré 2.

Théorème (Propriété fondamentale des polynômes)
Soit $ P(x)$ un polynôme de degré $ n$ et $ a$ une racine de $ P$ (c'es-à-dire que $ P(a)=0$).
Alors, $ P(x)$ se factorise par $ (x-a)$: il existe un polynôme $ Q(x)$ de degré $ n-1$ tel que
$\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)$


Exercice 9. Soit le polynôme $ P(x)=x^3-x^2-x-2$.
  1. Montrer que $ 2$ est une racine de $ P$, puis factoriser $ P$.



  2. Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $ P(x)=0$.



Corollaire
Si le trinôme du second degré $ ax^2+bx+c$ admet deux racines $ x_1$ et $ x_2$, alors il se factorise selon $ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.


Exercice 10. Factoriser les trinômes
  1. $ P(x)=x^2-3x+2$

  2. $ Q(x)=2x^2+2x-4$



Exercices



Exercice 11. Soit le polynôme $ P(x)=2x^3+7x^2+7x+2$.
  1. Montrer que $ -2$ est une racine de $ P$, puis factoriser $ P$.


  2. Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $ P(x)=0$, puis dresser le tableau de signe de  $ P(x)$.




Exercice 12. Déformation d'une poutre
Une poutre de longueur 2 mètres repose sur trois appuis simples $ A$, $ B$ et $ C$, l'appui $ B$ étant situé au milieu de $ [AC]$.
Elle supporte une charge uniformément répartie de 1000 N.m $ ^{-1}$ (newtons par mètre). Sous l'action de cette charge, la poutre se déforme.
$\displaystyle %\fbox{\begin{pspicture}(0,0)(11,2.2)\psset{unit=1cm}\pspolyg... ...\rput(4.5,-0.8){$x_m$}\psline[linestyle=dashed](8,-1)(8,-0.2)\end{pspicture}$


On démontre que le point situé entre $ B$ et $ C$ où la déformation (la flèche) est maximum, a une abscisse $ x_m$ qui est solution de l'équation:
$\displaystyle 32x^3-156x^2+240x-116=0 .$

  1. Vérifier que $ 1$ est solution de cette équation.



  2. Factoriser alors l'équation et la résoudre.


  3. En déduire $ x_m$ , position de la section de poutre de flèche maximum entre les points $ B$ et $ C$.



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