Second degré et polynômes

Résolution d'équation, inéquations et problèmes du second degré

Anglais
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Polynôme

Théorème fondamental


Définition

Un polynôme est une expression de la forme:
axn + bxn−1 + cxn−2 + … + dx + e
avec a, b, c, d et e des nombres réels quelconques, et n un entier naturel.
L'entier n est le degré du polynôme.


Exemples:
  • P(x) = 3x4 − 2x3 + 12x2 − 2x + 3 est un polynôme de degré 4.
  • Q(x) = 5x7 − 3x2 + 4 est un polynôme de degré 7.
  • R(x) = x2 + 2x + 1 est un polynôme (ou aussi trinôme) de degr&é 2.

Théorème: Propriété fondamentale des polynômes
Soit P(x) un polynôme de degré n et a une racine de P (c'est-à-dire que P(a) = 0).
Alors, P(x) se factorise par (x − a) c'est-à-dire qu'il existe un polynôme Q(x) de degré n−1 tel que, pour tout réel x,
P(x) = (x − a) Q(x)


Exercice 9
Soit le polynôme P(x) = x3 − x2 − x − 2
  1. Montrer que 2 est une racine de P, puis factoriser P.

  2. Déterminer alors toutes les solutions de l'équation P(x) = 0


Corollaire

Si le trinôme du second degré ax2 + bx + c admet deux racines x1 et x2 alors il se factorise sous la forme
ax2 + bx + c = a(x − x1) (x − x1)

Exercice 10
Factoriser les trinômes
  1. P(x) = x2 − 3x + 2

  2. Q(x) = 2x2 + 2x − 4


Exercices

Exercice 11
Soit le polynôme P(x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2
  1. Montrer que −2 est une racine de P puis factoriser P.


  2. Déterminer alors toutes les solutions de l'équation P(x) = 0 puis dresser le tableau de signe de P(x)

Exercice 12
Déformation d'une poutre
Une poutre de longueur 2 mètres repose sur trois appuis simples A, B et C, l'appui B étant situé au milieu de AC
Elle supporte une charge uniformément répartie de 1000 N.m−1 (newtons par mètre).
Sous l'action de cette charge, la poutre se déforme.
$\displaystyle %\fbox{\begin{pspicture}(0,0)(11,2.2)\psset{unit=1cm}\pspolyg... ...\rput(4.5,-0.8){$x_m$}\psline[linestyle=dashed](8,-1)(8,-0.2)\end{pspicture}$


On démontre que le point situé entre B et C où la déformation (la flèche) est maximum, a une abscisse xm qui est solution de l'équation:
32x3 − 156x2 + 240x − 116 = 0
  1. Vérifier que 1 est solution de cette équation.

  2. Factoriser alors l'équation et la résoudre.

  3. En déduire xm, position de la section de poutre de flèche maximum entre les points B et C.

Voir aussi:

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