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Repérage dans le plan - Vecteurs et calculs vectoriels



Les exercices proposés sont interactifs: en utilisant le bouton "correction", suivant le type d'exercice, les réponses correctes sont surlignées en vert et celles inexactes en rouge, et/ou une correction détaillée est proposée.

I - Lecture graphique de coordonnées de points et de vecteurs


Exercice 1: On considère les points A, B, C, D, E et F représentés dans le repère orthonormal ci-dessous.


Compléter les coordonnées de chacun des points:

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Compléter les coordonnées des vecteurs:

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II - Calculs sur les coordonnées

Le plan est rapporté au repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ .
Propriété 1: Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées:
    si $\displaystyle  \vec{u}(x;y)  $    et $\displaystyle  \vec{v}(x';y')$    alors, $...$


Propriété 2:
  • Si $ \vec{u}$ a pour coordonnées $ (x;y)$ et $ \vec{v}$ a pour coordonnées $ (x';y')$ , alors $ \vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $ (x+x';y+y')$ .
  • Le vecteur $ k\vec{u}$ a pour coordonnées $ (kx;ky)$ .

Exercice 2: Soit les vecteurs $ \vec{u}(3,-2)$ et $ \vec{v}=(6,-4)$.
Déterminer les coordonnées du vecteur $w=3u-2v$ .



Propriété 3: Si $ A$ et $ B$ sont deux points de coordonnées $ (x_A,y_A)$ et $ (x_B,y_B)$ alors,
  • $ \V{AB}$ a pour coordonnées $ (x_B-x_A;y_B-y_A)$
  • le milieu $ I$ de $ [AB]$ a pour coordonnées $ \displaystyle \left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$
  • si le repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormal, alors la longueur du vecteur $ \V{AB}$ est
    $\dsp AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$


Exercice 3: Soit les points $ A(4;5)$ et $ B(-2;1)$ dans un repère orthonormal $ (O;\vec{i},\vec{j})$ .
1) Déterminer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ .

2) Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ .
3) Calculer la longueur $AB$ .


III - Colinéarité

Le plan est rapporté au repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ .
Définition: Deux vecteurs sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
Les droites $ \mathcal{D}$ et $ \mathcal{D}'$ sont parallèles, et les vecteurs $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$ sont colinéaires.


Propriété 1: Deux vecteurs $ \vec{u}$ et $ \vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si ils sont proportionnels: $ \vec{u}=k\vec{v}$ , soit donc aussi si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Exemple: $ \vec{u}(3,-2)$ et $ \vec{v}=(6,-4)$ sont colinéaires car $ 6=2\times 3$ et $ -4=2\times (-2)$ , donc $ \vec{v}=2\vec{u}$ .

Propriété 2: Les vecteurs $ \vec{u}(x;y)$ et $ \vec{v}(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si $ xy'=x'y$ , ou de manière équivalente $ xy'-x'y=0$ .

Exemple: $ \vec{u}(3,-2)$ et $ \vec{v}=(6,-4)$ sont colinéaires car $ 3\times (-4)=-2\times 6 =12$ .

Exercice 4: Les vecteurs $ \vec{u}(3,-2)$ et $ \vec{v}=(6,-4)$ sont-ils colinéaires ?


Exercice 5: Soit $ A(-2;6)$, $ B(3;-4)$, $ C(8;1)$ , et $ D(-2;21)$.
Les vecteurs $AB$ et $CD$ sont-ils colinéaires ?



Propriété 3:
  • Les droites $ (AB)$ et $ (CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
  • Les points $ A$ , $ B$ et $ C$ sont alignés si et seulenement si les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.


Exercice 6: Soit $ A(-2;6)$, $ B(3;-4)$, $ C(8;1)$ , et $ D(-2;21)$.
Les droites $ (AB)$ et $ (CD)$ sont-elles parallèles ?


Exercice 7: Soit les points $ A(-2;6)$, $ B(3;-4)$, et $ C(13;-24)$ .
Ces trois points sont ils alignés ?