@ccueil Colles

Répétition d'expériences aléatoires - Loi binomiale


La loi binomiale est une distributions de probabilités très utilisée en probabilités et statistiques appliquées: décrite pour la 1ère fois en 1676 par Isaac Newton (le même qui, simultanément à Leibniz, introduisit les dérivées des fonctions) et démontrée pour la 1ère fois par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en 1713.
les arbres de probabilités forment l'outil essentiel utilisé dans un premier temps pour introduire et comprendre cette loi de probabilité.

Expérience simple: épreuve de Bernoulli


Pour répéter plusieurs fois une expérience, aléatoire ou non, on commence par la faire une fois, puis on recommence, ... autant de fois que désiré.

L'expérience "de base", qui est répétée, s'appelle une épreuve de Bernoulli:
Définition
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ayant deux issues contraires S (pour Succès) et E (pour Échec) de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.

C'est un schéma on ne peut plus simple:
\[\psset{yunit=.7cm}\begin{pspicture}(0,-2)(2,2)
\psline(1.5,-1)(0,0)(1.5,1)\rput[l](1.7,1){S}\rput[l](1.7,-1){E}
\rput(.8,.8){$p$}\rput(.8,-.9){$q$}
\end{pspicture}\]

Par exemple:
  • Lancer une pièce avec le succès S:"obtenir Pile" et l'échec E:"obtenir Face", et les probabilités $p=q=1/2$
  • Tirer une carte dans un jeu de 32 cartes avec le succès S:"tirer un as" et l'échec E:"ne pas tirer un as" et les probabilités $p=4/32=1/8$ et $q=28/32=7/8$ (il y a 4 as dans le paquet)
  • Avoir un enfant avec le succès S:"c'est un graçon" et l'échec E:"c'est une fille" et les probabilités $p=q=1/2$
  • Faire un test de dépistage d'une maladie avec le succès S:"être positif" et l'échec E:"être négatif" et les probabilités $p$ et $q=1-p$ selon le contexte
  • Répondre au hasard à une question d'un QCM qui propose 4 réponses possibles, avec le succès S:"j'ai donné la bonne réponse" et l'échec E:"je me suis trompé" et les probabilités $p=1/4$ et $q=3/4$
  • ...


Répétition d'expériences: schéma de Bernoulli

Ceci étant clair, on parle de répétition d'expériences lorsqu'on recommence, successivement, un certain nombre de fois une telle épreuve de Bernoulli:
Par exemple:
  • Lancer plusieurs fois successivement une pièce
  • Tirer une carte, la remettre, et en retirer une, la remettre, ...
  • Avoir plusieurs enfant
  • Faire plusieurs tests de dépistage (pour être plus sûr ?)
  • Répondre au hasard au QCM complet, c'est-à-dire successivement à toutes les questions
  • ...



Une répétition d'épreuves de Bernoulli s'appelle un schéma de Bernoulli:
Définition
Un schéma de Bernoulli, de paramètres n et p, est la répétition n fois successives, identiques et indépendantes, d'une épreuve de Bernoulli de paramètre (ou de probabilité) p.

Lorsque le nombre n de répétitions est petit, on peut représenter la situation avec un arbre et faire facilement les calculs de probabilités souhaités.

Exercice 1
Je lance deux dés non pipés. Quelle est la probabilité que j'obtienne deux six ?


Exercice 2
Je lance trois fois de suite une pièce bien équilibrée.
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 fois Pile exactement ?


Exercice 3
Un QCM est composé de 3 questions à chacune desquelles sont proposées 4 réponses. Une seule des réponses proposées est la bonne. Je décide de répondre au hasard à chaque question.
Quelle est la probabilité pour que je donne 2 bonnes réponse sur 3 ?


Exercice 4
Lorsque j'appelle un ami pour jouer au tennis et qu'il me répond "oui, je viendrai jouer, c'est presque sûr", cela signifie qu'il y a 9 chances sur 10 pour qu'il vienne effectivement jouer.
Afin d'augmenter mes chances d'avoir un partenaire pour jouer, j'appelle 3 amis qui m'ont tous répondu: "oui, je viendrai jouer, c'est presque sûr".
  1. Quelle est la probabilité pour que j'ai effectivement une personne, et une seule, avec qui jouer ?
  2. Quelle est la probabilité pour que j'ai au moins une personne avec qui jouer ?
  3. Quelle est la probabilité pour qu'on puisse jouer en double (à 4 donc) ?



Voir aussi: