🔍 Colles

Équations de droites, fonctions affines et systèmes d'équations



Le cours ci-dessous traîte des droites d'un point de vue analytique, c'est-à-dire avec des coordonnées.
Le plan est pour cela rapporté à un repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ .

Équation de droites


Équation réduite

Propriété
Toute droite du plan à une équation de la forme:
  • $ y=ax+b$$a$ et $b$ sont deux nombres réels, si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées;
  • $ x=k$$ k$ est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées.

  Remarque: La droite d'équation $y=ax+b$ est la représentation graphique de la fonction affine $ f(x)=ax+b$ .

L'équation $y=ax+b$ s'appelle équation réduite (ou sous forme réduite) de la droite.
  • $ a$ est le coefficient directeur de la droite;
  • $ b$ est l'ordonnée à l'origine

Exemple La doite $\displaystyle (\mathcal{D})$ d'équation $\displaystyle y=2x-2$ a pour coefficient directeur $\displaystyle a=2
$ et pour ordonnée à l'origine $\displaystyle b=-2
$
Représentation graphique


Propriété
Propriété Le point $ A(x_A;y_A)$ appartient à la droite $ (\mathcal{D}): y=ax+b$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite:
$A(x_A;y_A)\in(\mathcal{D}) \ $    si et seulement si $y_A=ax_A+b$

Exercice 1
Soit la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=3x+1$.
Cocher, parmi les points suivants, ceux qui appartiennent à $(\mathcal{D})$.
A(0;1)
B(2;9)
C(3;10)
D(200;601)
E(-5;-16)
F(-5;-14)

Exercice 2
Tracer les droites $ (\mathcal{D}_1): y=3x-2$ et $ (\mathcal{D}_2): y=-2x+1$.


Propriété
Le coefficient directeur de la droite $\displaystyle (\mathcal{D})$ passant par $ A(x_A;y_A)$ et $ B(x_B;y_B)$ est
$\displaystyle a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
$
Exercice 3
Le coefficient directeur de la droite $\displaystyle (\mathcal{D})$ passant par $ A(3;5)$ et $ B(7;-3)$ est   $ a=$


Exercice 4
Déterminer l'équation de la droite $\displaystyle (\mathcal{D})$ passant par les points $ A(2;3)$ et $ B(5;6)$.


Propriété
Les droites d'équations $ y=ax+b$ et $ y=a'x+b'$ sont parallèles si et seulement si $ a=a'$.


Exercice 5
Soit $\displaystyle (\mathcal{D})$ la droite passant par les points $A(2;3)$ et $B(5;6)$ , et $ (\Delta)$ la droite passant par les points $ C(4;-4)$ et $ D(2;-6)$. Les droites $\displaystyle (\mathcal{D})$ et $ (\Delta)$ sont-elles parallèles ?
Vrai 
Faux


Forme générale de l'équation d'une droite


Propriété
Toute droite du plan a une équation de la forme $ ax+by=c$ , où $ a$, $ b$ et $ c$ sont des nombres réels.
Cette équation s'appelle l'équation cartésienne de la droite.

On passe de l'équation générale à l'équation réduite en isolant $ y$ dans l'équation.
Par exemple, la droite d'équation générale $ 4x+2y=8$ a pour équation réduite $ 4x+2y=8 \iff 2y=8-4x \iff y=4-2x$ .
L'équation réduite de cette droite est donc $ y=-2x+4$ . Son coefficient directeur est $ -2$ et son ordonnée à l'origine $ 4$ .

Exercice 6
Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $12x+6y=9$.
  • Donner l'équation réduite de $(\mathcal{D})$.

  • La droite $(\mathcal{D})$ est-elle parallèle à la droite $(\Delta)$ d'équation $ y=-2x-15$ ?


Fonction affine

Une fonction affine est une fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ et dont l'expression est de la forme $ f(x)=ax+b$ , où $ a$ et $ b$ sont des nombres réels.
La courbe représentative d'une telle fonction $ f$ est l'ensemble des points $ M(x;y)$ tels que $ y=ax+b$ .
En d'autres termes, une fonction affine est une fonction dont la courbe représentative est une droite.


Systèmes linéaires de 2 équations à 2 inconnues

Soit $ a$ et $ b$, $ c$, $ a'$, $ b'$ et $ c'$ six réels. On appelle système linéaires de deux équations à deux inconnues le système:
$\la\bgar ... enar.$
Résoudre le sytème consiste à trouver tous les couples $ (x;y)$ qui vérifient simultanément les deux équations.

On reconnaît dans un tel système deux équations de droite (sous leur forme générale), et donc,

Propriété
Les solutions, si elles existent, d'un système d'équations linéaires à deux inconnues sont les coordonnées des points d'intersection de ces deux droites.

Voir, éventuellement, la méthode de résolution d'un système de deux équations à deux inconnues

Exercice 7
Résoudre les systèmes suivants.

  1. Solution:



  2. Solution:



  3. Solution:

D'autres systèmes à résoudre ? par là Lien vers le cours