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Equations de droites, fonctions affines et systèmes d'équations



Le cours ci-dessous traîte des droites d'un point de vue analytique (c'est-à-dire avec des coordonnées). Les exercices proposés sont interactifs: en utilisant le bouton "correction", suivant le type d'exercice, les réponses correctes sont surlignées en vert et celles inexactes en rouge, et/ou une correction détaillée est proposée.
Le plan est rapporté à un repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ .

I - Equation de droites


a. Equation réduite

Propriété Toute droite du plan à une équation de la forme:
  • $ y=ax+b$$ a$ et $ b$ sont deux nombres réels, si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées;
  • $ x=k$$ k$ est un nombre réel, si elle est parallèle à l'axe des ordonnées.

  Remarque: Toute droite d'équation $y=ax+b$ est la représentation graphique de la fonction affine $ f(x)=ax+b$ .

L'équation $y=ax+b$ s'appelle équation réduite (ou sous forme réduite) de la droite.
  • $ a$ est le coefficient directeur de la droite;
  • $ b$ est l'ordonnée à l'origine

Exemple La doite $\displaystyle (\mathcal{D})$ d'équation $\displaystyle y=2x-2$ a pour coefficient directeur $\displaystyle a=2
$ et pour ordonnée à l'origine $\displaystyle b=-2
$
Représentation graphique


Propriété Le point $ A(x_A;y_A)$ appartient à la droite $ (\mathcal{D}): y=ax+b$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite:
$\displaystyle A(x_A;y_A)\in(\mathcal{D}) \ $    si et seulement si $\displaystyle \ \
y_A=ax_A+b
$

Exercice 1 Soit la droite $\displaystyle (\mathcal{D})$ d'équation $\displaystyle y=3x+1$. Cocher, parmi les points suivants, ceux qui appartiennent à $\displaystyle (\mathcal{D})$ .
A(0;1) C(3;10) E(-5;-16)
B(2;9) D(200;601) F(-5;-14)

Exercice 2 Tracer les droites $ (\mathcal{D}_1): y=3x-2$ et $ (\mathcal{D}_2): y=-2x+1$ .


Propriété Le coefficient directeur de la droite $\displaystyle (\mathcal{D})$ passant par $ A(x_A;y_A)$ et $ B(x_B;y_B)$ est
$\displaystyle a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
$


Exercice 3 Le coefficient directeur de la droite $\displaystyle (\mathcal{D})$ passant par $ A(3;5)$ et $ B(7;-3)$ est  
$ a=$


Exercice 4 Déterminer l'équation de la droite $\displaystyle (\mathcal{D})$ passant par les points $ A(2;3)$ et $ B(5;6)$.


Propriété: Les droites d'équations $ y=ax+b$ et $ y=a'x+b'$ sont parallèles si et seulement si $ a=a'$ .


Exercice 5 Soit $\displaystyle (\mathcal{D})$ la droite passant par les points $ A(2;3)$ et $ B(5;6)$ , et $ (\Delta)$ la droite passant par les points $ C(4;-4)$ et $ D(2;-6)$ . Les droites $\displaystyle (\mathcal{D})$ et $ (\Delta)$ sont-elles parallèles ?
Vrai 
Faux


b. Forme générale de l'équation d'une droite


Propriété: Toute droite du plan a une équation de la forme $ ax+by=c$ , où $ a$, $ b$ et $ c$ sont des nombres réels.

On passe de l'équation générale à l'équation réduite en isolant $ y$ dans l'équation.
Par exemple, la droite d'équation générale $ 4x+2y=8$ a pour équation réduite $ 4x+2y=8 \iff 2y=8-4x \iff y=4-2x$ .
L'équation réduite de cette droite est donc $ y=-2x+4$ . Son coefficient directeur est $ -2$ et son ordonnée à l'origine $ 4$ .

Exercice 6 Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $\displaystyle 12x+6y=9$.
  • Donner l'équation réduite de $(\mathcal{D})$.
  • La droite $(\mathcal{D})$ est-elle parallèle à la droite $ (\Delta)$ d'équation $ y=-2x-15$ ?


II - Fonction affine

Une fonction affine est une fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ et dont l'expression est de la forme $ f(x)=ax+b$ , où $ a$ et $ b$ sont des nombres réels.
La courbe représentative d'une telle fonction $ f$ est l'ensemble des points $ M(x;y)$ tels que $ y=ax+b$ .
En d'autres termes, une fonction affine est une fonction dont la courbe représentative est une droite.


III - Systèmes linéaires de 2 équations à 2 inconnues

Soit $ a$ et $ b$, $ c$, $ a'$, $ b'$ et $ c'$ six réels. On appelle système linéaires de deux équations à deux inconnues le système:
$\la\bgar ... enar.$
Résoudre le sytème consiste à trouver tous les couples $ (x;y)$ qui vérifient simultanément les deux équations.

On reconnaît dans un tel système deux équations de droite (sous leur forme générale), et donc,

Propriété: Les solutions, si elles existent, d'un système d'équations linéaires à deux inconnues sont les coordonnées des points d'intersection de ces deux droites.


Exercice 7 Résoudre les systèmes suivants.


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