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Résolution d'inéquations - Tableaux de signes


  1. Signe d'une expression du premier degré
  2. Méthode générale de résolution d'une inéquation
  3. Exercices

Les exercices proposés sont interactifs: en utilisant le bouton "correction", suivant le type d'exercice, les réponses correctes sont surlignées en vert et celles inexactes en rouge, et/ou une correction détaillée est proposée.

I - Signe d'une expression du premier degré


Propriété Soit $ a$ et $ b$ deux nombres réels quelconques, avec $ a\not=0$ , alors
$\dsp ... $


Exercice 1: Compléter les tableaux de signes suivant:

$x$ $ -\infty$ $ -\frac{1}{2}$ $ +\infty$
$ 2x+1$ $ 0\hspace{-0.67em}\mid$
$ x$ $ -\infty$ $ \frac{5}{8}$ $ +\infty$
$ -5x-8$ $ 0\hspace{-0.67em}\mid$

Exercice 2: Dresser le tableau de signe de l'expression $ 3x-7$.

Exercice 3: Dresser le tableau de signe de l'expression $ 3x-7$.


II - Méthode générale pour résoudre une inéquation


On se ramène à une inéquation de la forme $ A(x)\leq0$ , ou $ A(x)<0$ , ou $ A(x)\geq 0$ ou $ A(x)>0$ , en prenant garde à l'ordre (c'est-à-dire au sens de l'inéquation) à chaque opération effectuée, et avec $ A(x)$ une expression algébrique ne contenant que des produits et/ou quotients de termes du premier degré (de la forme $ ax+b$ ).
On peut alors dresser un tableau de signes et appliquer la règle des signes pour les produits et quotients.


Exemple: Résoudre l'inéquation: $ (I) : x(x+2)\geq (2x+1)(x+2)$ .
On transforme tout d'abord l'inéquation pour se ramener à une étude de signes de facteurs du premier degré:
$ ...$
On peut alors dresser le tableau de signes du produit $ (x+2)(-x-1)$:
$...$
On veut que ce produit soit positif ou nul; les solutions de l'inéquation sont donc: $ \mathcal{S}=[-2;-1]$

III - Exercices


Exercice 4: Compléter le tableau de signes du produit $ (2x+1)(-3x+4)$:

$ x$ $ -\infty$ $ -\frac{1}{2}$ $ \frac{4}{3}$ $ +\infty$
$ 2x+1$ $ 0\hspace{-0.67em}\mid$ $ \vert$
$ -3x+4$ $ 0\hspace{-0.67em}\mid$ $ \vert$
$ (2x+1)(-3x+4)$ $ 0\hspace{-0.67em}\mid$ $ \vert$


Exercice 5:Dresser le tableau de signes du produit $ (2x-6)(-x+7)$.


Exercice 6: Résoudre l'inéquation: $ 2x-3\geq -x+2$ .


Exercice 7: Résoudre l'inéquation: $ x(x+2)\leq (-2x+5)(x+2)$


D'autres exercices / tableaux de signes ?? c'est par là